(1) 每匝长 \(2\pi a\)，再计入螺距：\(l=\sqrt{(2\pi an)^2+h^2}={9.90\,}\mathrm{m}\)。\(\omega=2\pi f_0={6.22\times 10^{7}\,}\mathrm{s^{-1}}\)，\(\delta=\sqrt{2/(\omega\mu_0\sigma)}={20.8\,}\mathrm{\mu m}\ll b\)，可用式 (4.6)。长 \(\dd s\) 的一小段导线电阻为 \(\dd R=\rho\,\dd s/(2\pi b\delta)\)，平均功率 \(\frac12|I_0|^2\cos^2(\pi s/l)\dd R\)。沿导线积分，\(\cos^2\) 的平均值为 \(\frac12\)： \[\tag{8.1} R_\Omega=\frac12\cdot\frac{\rho\,l}{2\pi b\delta}={0.214\,}\mathrm{\Omega }.\] 这与原文式 (6) \(R_\Omega=\sqrt{\mu_0\omega/2\sigma}\,l/(4\pi b)\) 相同。

(2) 弧长 \(\dd s\) 对应的角度为 \(\dd s/a\)（忽略螺距），所以一小段导线贡献的磁矩为 \(\dd m=I(s)\cdot\pi a^2\cdot\dfrac{\dd s}{2\pi a}\)。积分： \begin{align*} m&=\frac{a}{2}I_0\int_{-l/2}^{l/2}\cos\frac{\pi s}{l}\dd s=\frac{a}{2}I_0\frac{2l}{\pi}\\ &=\frac{al}{\pi}I_0\approx2na^2I_0 , \end{align*} 最后一步用了 \(l\approx2\pi an\)。相当于 \(n\) 匝线圈通以平均电流 \(\frac{2}{\pi}I_0\)。由式 (4.8)，\(\frac12R_{\mathrm{rad,m}}|I_0|^2=\mu_0m^2\omega^4/(12\pi c^3)\)： \[\tag{8.2} \begin{aligned} R_{\mathrm{rad,m}}&=\frac{\mu_0\omega^4(2na^2)^2}{6\pi c^3}\\ &=\frac{2Z_0}{3\pi}n^2\left(\frac{\omega a}{c}\right)^4\\ &={0.0331\,}\mathrm{\Omega } \end{aligned}\] （\(\omega a/c=0.0622\)）。原文用“电流平方的平均值 \(\frac12\)”代替 \((2/\pi)^2\)，得到 \(\frac{\pi Z_0}{12}n^2(\omega a/c)^4={0.0408\,}\mathrm{\Omega }\)；两者之比为 \(8/\pi^2=0.81\)。辐射是各段电流相干叠加的结果，应当先求总偶极矩再平方，所以本讲的写法更合理；这一差别对 \(Q\) 的影响不到 3%。

(3) 电荷守恒（一维连续性方程）：\(\pdv{\lambda}{t}+\pdv{I}{s}=0\)。用复振幅，\(\ii\omega\lambda=-\pdv{I}{s}=\dfrac{\pi I_0}{l}\sin\dfrac{\pi s}{l}\)，所以 \[\lambda(s)=-\ii\frac{\pi I_0}{\omega l}\sin\frac{\pi s}{l} .\] 上半段（\(s>0\)）带一种符号的电荷，下半段带相反电荷；电荷比电流落后 \(90^\circ\)。螺距均匀时导线上一点的高度 \(z=hs/l\)，电偶极矩（沿轴向） \begin{align*} p&=\int_{-l/2}^{l/2}\lambda(s)\,z\,\dd s=-\ii\frac{\pi I_0h}{\omega l^2}\int_{-l/2}^{l/2}s\sin\frac{\pi s}{l}\dd s\\ &=-\ii\frac{\pi I_0h}{\omega l^2}\cdot\frac{2l^2}{\pi^2}=-\ii\frac{2hI_0}{\pi\omega}. \end{align*} （积分 \(\int_{-1/2}^{1/2}x\sin(\pi x)\dd x=2/\pi^2\)，分部积分可得。）由式 (4.7)，\(\frac12R_{\mathrm{rad,e}}|I_0|^2=|p|^2\omega^4/(12\pi\varepsilon_0c^3)\)： \[\tag{8.3} \begin{aligned} R_{\mathrm{rad,e}}&=\frac{4h^2\omega^2}{6\pi^3\varepsilon_0c^3}\\ &=\frac{2Z_0}{3\pi^3}\left(\frac{\omega h}{c}\right)^2={0.0140\,}\mathrm{\Omega }, \end{aligned}\] 与原文式 (7) 的第二项完全相同。

(4) 总电阻 \(R=R_\Omega+R_{\mathrm{rad,m}}+R_{\mathrm{rad,e}}={0.261\,}\mathrm{\Omega }\)，\(\omega L={643\,}\mathrm{\Omega }\)，\(Q_{\mathrm{th}}=\omega L/R\approx2470\)（用原文的 \(R_{\mathrm{rad,m}}\) 则为 2400），与原文“约 2500”一致。实测 \(Q=950\) 对应 \(R=\omega L/Q={0.677\,}\mathrm{\Omega }\)，多出 0.42 Ω。若全部归因于欧姆损耗，需要 \(R_\Omega'={0.677\,}\mathrm{\Omega }-R_{\mathrm{rad,m}}-R_{\mathrm{rad,e}}={0.630\,}\mathrm{\Omega }\)。由 \(R_\Omega\propto\sigma^{-1/2}\)（\(\delta\propto\sigma^{-1/2}\)，\(R_\Omega\propto\rho/\delta\)），\(\sigma_{\mathrm{eff}}=\sigma(0.214/0.630)^2\approx{6.8\times 10^{6}\,}\mathrm{S/m}\)，只有铜的约 12%。原文认为主要原因是表面导电性差的氧化铜层：电流被趋肤效应限制在约 20 μm 的表层，正好受表面状况影响[3]。

(5) 磁偶极–偶极耦合：线圈 1 的磁矩在轴线远处产生 \(B=\mu_0m_1/(2\pi D^3)\)，穿过线圈 2 的磁链等于 \(B\cdot(m_2/I_2)\)（\(m_2/I_2\) 为线圈 2 的“有效匝数 × 面积”），所以 \[M_{\mathrm{m}}=\frac{\mu_0}{2\pi D^3}\frac{m_1}{I_1}\frac{m_2}{I_2}=\frac{\mu_0(2na^2)^2}{2\pi D^3}={22.3\,}\mathrm{nH}.\] 电耦合：\(p_{\mathrm{S}}p_{\mathrm{D}}=(-\ii)^2\left(\dfrac{2h}{\pi\omega}\right)^2I_{\mathrm{S}}I_{\mathrm{D}}=-\left(\dfrac{2h}{\pi\omega}\right)^2I_{\mathrm{S}}I_{\mathrm{D}}\)，所以 \begin{gather*} M_{\mathrm{e}}=\frac{2}{4\pi\varepsilon_0D^3}\left(\frac{2h}{\pi\omega}\right)^2>0,\\ \frac{M_{\mathrm{e}}}{M_{\mathrm{m}}}=\frac{8h^2/(4\pi^3\varepsilon_0\omega^2)}{2\mu_0n^2a^4/\pi}=\left(\frac{ch}{\pi n a^2\omega}\right)^2=0.42 . \end{gather*} （\(M_{\mathrm{e}}\) 的来源：线圈 S 在 D 处产生的电场 \(\vect E_{\mathrm S}=-\ii\omega\vect A_{\mathrm S}-\nabla\phi_{\mathrm S}\) 有两部分。电流感应的部分对 D 中电流的作用 \(\int(-\ii\omega\vect A_{\mathrm S})\cdot\vect J_{\mathrm D}\,\dd V=-\ii\omega M_{\mathrm m}I_{\mathrm S}I_{\mathrm D}\) 给出通常的互感；电荷产生的部分，用分部积分与电荷守恒 \(\nabla\cdot\vect J=-\ii\omega\rho\)，化为 \(\int(-\nabla\phi_{\mathrm S})\cdot\vect J_{\mathrm D}\,\dd V=\int\phi_{\mathrm S}\nabla\cdot\vect J_{\mathrm D}\,\dd V=-\ii\omega\int\phi_{\mathrm S}\rho_{\mathrm D}\,\dd V\)，形式与前者相同，其中的积分就是两组电荷的静电相互作用能。远处这个相互作用能就是两个电偶极子的相互作用能 \(-2p_{\mathrm S}p_{\mathrm D}/(4\pi\varepsilon_0D^3)\)（偶极子 \(p_{\mathrm S}\) 在自身轴线上距离 \(D\) 处产生 \(E=2p_{\mathrm S}/(4\pi\varepsilon_0D^3)\)，另一偶极子在其中的能量为 \(-p_{\mathrm D}E\)）。）两个因子 \(-\ii\) 相乘给出 \(-1\)，使电偶极之间的“吸引型”相互作用能表现为正的等效互感，与磁耦合同号相加。\(M_{\mathrm{e}}/M_{\mathrm{m}}\) 与 \(D\) 无关（两者都按 \(D^{-3}\) 衰减）。总互感 \(M=M_{\mathrm{m}}(1+0.42)={31.7\,}\mathrm{nH}\)， \begin{gather*} k=\frac{M}{L}=3.07\times10^{-3},\\ U=kQ=2.92,\\ \eta_{\max}=\frac{U^2}{(1+\sqrt{1+U^2})^2}=0.51 . \end{gather*} 比较：原文由频率分裂测得 \(D={2\,}\mathrm{m}\) 处 \(\kappa/\Gamma\approx2.5\)，直接测得的效率约 0.4–0.5（图 8）。用原文的准静态模型对真实螺旋线做数值积分（scripts/helix_kurs.py），得 \(k=2.88\times10^{-3}\)，\(U=2.74\)，\(\eta_{\max}=0.49\)。偶极近似高估约 6%。分项看：数值模型给出 \(M_{\mathrm m}={21.9\,}\mathrm{nH}\)、\(M_{\mathrm e}={7.9\,}\mathrm{nH}\)（\(M_{\mathrm e}/M_{\mathrm m}=0.36\)），而点偶极近似为 22.3 与 9.4 nH。磁部分只差 2%，误差主要来自电偶极部分：线圈两半的电荷沿螺旋分布在半径 0.3 m 的圆周上、轴向跨度 \(\pm h/2\)，把它当成点电偶极子高估了电耦合。

(6) 最优负载条件（式 (5.10)）：负载在接收线圈中引起的等效串联电阻应为 \(R_{\mathrm{W}}=\sqrt{1+U^2}\,R_{\mathrm{D}}\)，其中 \(R_{\mathrm{D}}=\omega L/Q={0.677\,}\mathrm{\Omega }\)，所以 \(R_{\mathrm{W}}=3.08\times0.677={2.09\,}\mathrm{\Omega }\)。负载环的自感由式 (3.13)：\(L_{\mathrm{B}}=\mu_0(0.15)[\ln1200-2]={0.96\,}\mathrm{\mu H}\)，电抗 \(X_{\mathrm{B}}=\omega L_{\mathrm{B}}={59.7\,}\mathrm{\Omega }\)。负载环（灯泡 + 环）反射到接收线圈的阻抗为 \[\frac{\omega^2M_{\mathrm{B}}^2}{R_{\mathrm{b}}+\ii X_{\mathrm{B}}}=\frac{\omega^2M_{\mathrm{B}}^2(R_{\mathrm{b}}-\ii X_{\mathrm{B}})}{R_{\mathrm{b}}^2+X_{\mathrm{B}}^2}.\] 令实部等于 \(R_{\mathrm{W}}\)：\(\omega^2M_{\mathrm{B}}^2=R_{\mathrm{W}}(R_{\mathrm{b}}^2+X_{\mathrm{B}}^2)/R_{\mathrm{b}}=533\,\Omega^2\)，\(M_{\mathrm{B}}={0.37\,}\mathrm{\mu H}\)，对应耦合系数 \(M_{\mathrm{B}}/\sqrt{LL_{\mathrm{B}}}=0.12\)。可见用一个“稍微靠近”的负载环，就把 240 Ω 的灯泡变换成了 2.09 Ω 的等效负载：互感耦合本身就是一个阻抗变换器。原文正是靠改变灯泡环与接收线圈的距离来调节 \(\Gamma_{\mathrm{W}}/\Gamma\) 的[3]。

副作用：反射阻抗还有虚部 \(-\omega^2M_{\mathrm{B}}^2X_{\mathrm{B}}/(R_{\mathrm{b}}^2+X_{\mathrm{B}}^2)=-{0.52\,}\mathrm{\Omega }\)，相当于在接收线圈中串入一个小电容，使谐振频率升高 \(\delta f=0.52/(4\pi L)\approx{4.0\,}\mathrm{kHz}\)（由 \(X\approx2L\Delta\)），与半线宽 \(f_0/(2Q)={5.2\,}\mathrm{kHz}\) 相当，必须重新调谐（原文正是“稍微调节线圈”来补偿这一电抗[3]）。

(7) 负载功率 \(\frac12R_{\mathrm{W}}|I_{\mathrm{D}}|^2={60\,}\mathrm{W}\)，\(|I_{\mathrm{D}}|={7.58\,}\mathrm{A}\)。由式 (5.4)，\(|I_{\mathrm{S}}|=|I_{\mathrm{D}}|(R_{\mathrm{D}}+R_{\mathrm{W}})/(\omega M)={10.6\,}\mathrm{A}\)（\(\omega M={1.97\,}\mathrm{\Omega }\)）。中点到两线圈中心各 \(z={1.0\,}\mathrm{m}\)，用圆环轴线场公式 \(H=m/[2\pi(a^2+z^2)^{3/2}]\)：\(H_{\mathrm{S}}={1.40\,}\mathrm{A/m}\)，\(H_{\mathrm{D}}={1.00\,}\mathrm{A/m}\)（振幅）。谐振时由式 (5.4)，两线圈电流相差 \(90^\circ\)，场在时间上正交叠加，有效值 \(H_{\mathrm{rms}}=\sqrt{(H_{\mathrm{S}}^2+H_{\mathrm{D}}^2)/2}={1.2\,}\mathrm{A/m}\)，与原文的 1 A/m 同量级，约为 ICNIRP 参考水平的 5 倍。

评分要点（共 40 分）：(1) \(l\)、\(\delta\) 2 分，余弦分布下的 \(\frac12\) 因子与 \(R_\Omega\) 2 分；(2) 按局部电流加权求 \(m=2na^2I_0\) 3 分，\(R_{\mathrm{rad,m}}\) 3 分；(3) 连续性方程求 \(\lambda\) 2 分，\(p\) 的积分 2 分，\(R_{\mathrm{rad,e}}\) 2 分；(4) \(Q_{\mathrm{th}}\) 2 分，\(\sigma_{\mathrm{eff}}\) 及 \(R_\Omega\propto\sigma^{-1/2}\) 2 分；(5) \(M_{\mathrm m}\) 3 分，\(M_{\mathrm e}\) 的符号与比值 4 分，\(k\)、\(U\)、\(\eta_{\max}\) 3 分；(6) 反射阻抗实部条件与 \(M_{\mathrm B}\) 4 分，虚部引起的失谐 2 分；(7) 电流 2 分，正交叠加求 \(H_{\mathrm{rms}}\) 并与参考水平比较 2 分。

(1) 式 (3.13) 乘 \(N^2\)：\(\Lambda=\ln(8a/b)-2=\ln240-2=3.48\)，\(L=N^2\mu_0a\Lambda={9.45\,}\mathrm{\mu H}\)，\(\omega_0L={5.94\,}\mathrm{\Omega }\)，\(R=\omega_0L/Q={0.074\,}\mathrm{\Omega }\)，\(C=1/(\omega_0^2L)={0.268\,}\mathrm{\mu F}\)。两线圈间距 \(z=a/3\)，用近距离公式 (3.12)（每匝对每匝）： \[k\approx\frac{\ln(8a/z)-2}{\ln(8a/b)-2}=\frac{\ln24-2}{3.48}=0.34 .\] \(z/a=0.33\) 时近距离公式已有约 5% 误差，用精确式 (3.8) 得 \(k=0.355\)。下面取 \(k=0.355\)。这比 Kurs 实验大两个数量级：手机充电是“强几何耦合”，靠的不是很高的 \(Q\)。

(2) \(U=kQ=28.4\)，\(x=R_{\mathrm{L}}/R=54\)，由式 (5.9)，\(\eta=0.919\)（最优负载 \(x=\sqrt{1+U^2}=28.4\) 时为 0.932）。负载功率：由式 (5.6)（\(\omega=\omega_0\)，\(Z_1=R\)，\(Z_2=R+R_{\mathrm{L}}\equiv R_2'\)）， \[P_{\mathrm{L}}=\frac12R_{\mathrm{L}}|I_2|^2=\frac{V^2R_{\mathrm{L}}}{2}\cdot\frac{\omega_0^2M^2}{(RR_2'+\omega_0^2M^2)^2}.\] 记 \(y=\omega_0^2M^2\)，\(y/(RR_2'+y)^2\) 在 \(y=RR_2'\) 处取极大，所以 \begin{gather*} k_{\mathrm{P}}=\frac{\sqrt{RR_2'}}{\omega_0L}=\frac{1}{\sqrt{QQ_{2\mathrm{L}}}}=0.093,\\ Q_{2\mathrm{L}}=\frac{\omega_0L}{R_2'}=1.46 . \end{gather*} （它与第 6.2 节的临界耦合 \(k_{\mathrm c}=1/Q_{\mathrm L}\) 含义相近，但那里两端都接匹配电阻，这里是理想电压源、两端电阻不同，所以公式不同。）\(k=0.355\approx3.8k_{\mathrm{P}}\) 时，\(P_{\mathrm{L}}\) 只有 \(k_{\mathrm{P}}\) 时的 24%：手机放得越近，固定频率、固定电压下得到的功率反而越少。原因是反射电阻 \(\omega_0^2M^2/R_2'\) 随 \(k^2\) 增大，在电压不变时初级电流减小。效率却随 \(k\) 单调增加。所以充电器必须有功率控制：Qi 系统中接收端不断把功率需求发回发射端，发射端据此调节工作频率或驱动电压[7]。

(3) 由式 (5.5)，\(Z_{\mathrm{in}}=R+\ii X+\dfrac{\omega^2M^2}{R_2'+\ii X}\)（两回路 \(X\) 相同）， \[\Im Z_{\mathrm{in}}=X\left[1-\frac{\omega^2M^2}{R_2'^2+X^2}\right].\] 零点为 \(X=0\)（即 \(\omega_0\)），或 \(R_2'^2+X^2=\omega^2M^2\)。令 \(\nu=\omega/\omega_0\)，\(X=\omega_0L(\nu-1/\nu)\)，\(\omega M=\nu k\omega_0L\)，两边除以 \((\omega_0L)^2\)： \begin{align*} &\frac{1}{Q_{2\mathrm{L}}^2}+\frac{(\nu^2-1)^2}{\nu^2}=k^2\nu^2\\ \Rightarrow\ &(1-k^2)y^2-\left(2-\frac{1}{Q_{2\mathrm{L}}^2}\right)y+1=0,\\ &y=\nu^2 . \end{align*} 注意初级电阻 \(R\) 不出现。有两个正实根的条件是判别式非负：\((2-Q_{2\mathrm{L}}^{-2})^2\ge4(1-k^2)\)，即 \[k\ge k_{\mathrm{bif}}=\frac{1}{Q_{2\mathrm{L}}}\sqrt{1-\frac{1}{4Q_{2\mathrm{L}}^2}}\approx\frac{1}{Q_{2\mathrm{L}}}.\] 两根之积为 \(1/(1-k^2)>0\)，两根之和为 \((2-Q_{2\mathrm{L}}^{-2})/(1-k^2)\)，只有 \(Q_{2\mathrm{L}}>1/\sqrt2\) 时才为正。所以分叉的完整条件是 \(Q_{2\mathrm{L}}>1/\sqrt2\) 且 \(k\ge k_{\mathrm{bif}}\)：次级负载品质因数太低（\(Q_{2\mathrm L}<1/\sqrt2\)）时，次级回路对频率几乎没有选择性，根本不会分叉。物理意义：次级负载品质因数越高、耦合越强，越容易分叉。分叉时零相位点不再唯一，控制电路可能锁在“错误”的频率上，或在负载变化时在不同工作点之间跳变。这是感应输电设计中的一个经典问题[20]。

(4) 轻载：\(Q_{2\mathrm{L}}=1.46\)，\(k_{\mathrm{bif}}=0.64>k\)，不分叉，唯一的零相位频率就是 \(f_0\)。重载：\(Q_{2\mathrm{L}}=\omega_0L/(R+{1\,}\mathrm{\Omega })=5.53\)，\(k_{\mathrm{bif}}=0.18<k\)，发生分叉。解二次方程：\(y=0.775\)、\(1.476\)，零相位频率 \(f={88.0\,}\mathrm{kHz}\)、121.5 kHz（再加 \(f_0\) 共三个；数值求 \(\Im Z_{\mathrm{in}}=0\) 核对无误）。无损简正模 (6.1) 给出 85.9、124.6 kHz，损耗把两个频率向 \(f_0\) 拉近了。用式 (5.6) 计算：

在分叉频率上，负载功率是 \(f_0\) 处的 3.5 倍（负载功率谱的两个峰在 86.9、123.0 kHz，靠近零相位频率），效率却低约 4 个百分点。这就是第 6.2 节“过耦合时传输谱分裂”在固定电源、固定负载条件下的表现：过耦合时，功率最大与效率最高发生在不同的频率。

评分要点（共 30 分）：(1) \(L\)、\(R\) 2 分，近距离公式求 \(k\) 2 分；(2) 效率 2 分，\(P_{\mathrm L}(k)\) 的表达式 3 分，极值条件与 24% 3 分；(3) 写出 \(\Im Z_{\mathrm{in}}\) 并因式分解 3 分，化成 \(y\) 的二次方程 3 分，判别式与正根条件（含 \(Q_{2\mathrm L}>1/\sqrt2\)）4 分；(4) 两种负载的判断 2 分，零相位频率 3 分，效率与功率的比较及结论 3 分。

(1) \(M=\dfrac{\mu_0\pi N_1N_2a_1^2a_2^2}{2(a_1^2+d^2)^{3/2}}\)，\(L_1=N_1^2\mu_0a_1\Lambda_1\)，\(L_2=N_2^2\mu_0a_2\Lambda_2\)，匝数在 \(k\) 中相消： \begin{align*} k&=\frac{\pi a_2^{3/2}}{2\sqrt{\Lambda_1\Lambda_2}}\cdot\frac{a_1^{3/2}}{(a_1^2+d^2)^{3/2}}\\ &=\frac{\pi a_2^{3/2}}{2\sqrt{\Lambda_1\Lambda_2}}\left(\frac{a_1}{a_1^2+d^2}\right)^{3/2}. \end{align*} \(a_1/(a_1^2+d^2)\) 在 \(a_1=d\) 时最大（对 \(a_1\) 求导：\(d^2-a_1^2=0\)）。物理图像：线圈太小，磁场伸不到深处；线圈太大，轴线上的场被摊薄，且自感增大。取 \(a_1=d={20\,}\mathrm{mm}\)：\(\Lambda_1=\ln320-2=3.77\)，\(\Lambda_2=\ln400-2=3.99\)， \[k=\frac{\pi}{4\sqrt2}\left(\frac{a_2}{d}\right)^{3/2}\frac{1}{\sqrt{\Lambda_1\Lambda_2}}=0.0179 .\] 计入 \(\Lambda_1\) 随 \(a_1\) 的变化后，数值求得最优 \(a_1={18.3\,}\mathrm{mm}\)，\(k\) 几乎不变。（只在发射端电流固定时求轴线上 \(B\) 的最大值，会得到 \(a_1=\sqrt2d\)；这里优化的是 \(k\)，自感也随 \(a_1\) 增大，所以结果不同。）

(2) 接收线圈导线总长 \(N_2\cdot2\pi a_2\)，由式 (4.6)，\(R_2=\dfrac{\rho N_2\cdot2\pi a_2}{2\pi b_2\delta}=\dfrac{N_2a_2\rho}{b_2\delta}\)。于是 \(Q_2=\dfrac{\omega N_2^2\mu_0a_2\Lambda_2}{N_2a_2\rho/(b_2\delta)}=N_2\Lambda_2b_2\delta\cdot\dfrac{\omega\mu_0}{\rho}\)。由式 (4.5)，\(\omega\mu_0/\rho=2/\delta^2\)，所以 \(Q_2=2N_2\Lambda_2b_2/\delta\propto\sqrt f\)。

(3) 发射线圈电流 \(I_1\) 在组织中产生的磁场 \(B\sim\mu_0N_1I_1/a_1\)，分布在尺度 \(a_1\) 的区域。由法拉第定律，感应电场 \(E\sim\omega Ba_1\sim\omega\mu_0N_1I_1\)，涡流功率 \(\sim\sigma_{\mathrm{t}}E^2a_1^3\sim\sigma_{\mathrm{t}}\omega^2\mu_0^2N_1^2a_1^3I_1^2\)。令其等于 \(\frac12R_{\mathrm{t}}I_1^2\)，即得 \(R_{\mathrm{t}}\propto\sigma_{\mathrm{t}}\mu_0^2\omega^2N_1^2a_1^3\)。

数值（\(\delta={20.6\,}\mathrm{\mu m}\)）：\(R_{\Omega1}=N_1a_1\rho/(b_1\delta)={0.163\,}\mathrm{\Omega }\)；\(R_{\mathrm{t}}=0.271\times25\times0.6\times\mu_0^2\omega^2a_1^3={0.203\,}\mathrm{\Omega }\)。组织损耗已与导线损耗相当。

(4) 记 \(R_{\Omega1}=A\sqrt f\)，\(R_{\mathrm{t}}=Bf^2\)，则 \[Q_1=\frac{2\pi fL_1}{A\sqrt f+Bf^2}.\] 对 \(f\) 求导并令其为零，得 \(\frac12A\sqrt f=Bf^2\)，即 \(R_{\mathrm{t}}=\frac12R_{\Omega1}\)。于是 \(f=(A/2B)^{2/3}={5.4\,}\mathrm{MHz}\)，\(Q_1=449\)。

\(U^2\propto Q_1Q_2\propto f^{3/2}/(A\sqrt f+Bf^2)\)。求导：\(\frac32(A\sqrt f+Bf^2)=f(\frac12A f^{-1/2}+2Bf)\)，化简得 \(Af^{1/2}=\frac12Bf^2\)，即 \(R_{\mathrm{t}}=2R_{\Omega1}\)： \begin{gather*} f_{\mathrm{opt}}=\left(\frac{2A}{B}\right)^{2/3}={13.7\,}\mathrm{MHz},\\ Q_1=357,\quad Q_2=453,\\ U=k\sqrt{Q_1Q_2}=7.2,\quad \eta_{\max}=0.76 . \end{gather*} 接收端的 \(Q_2\) 随频率增大，所以最优频率比单看 \(Q_1\) 时高。作为对照，1 MHz 时 \(U=3.3\)，100 MHz 时 \(U=5.3\)。数值扫描频率的结果与上述解析最优点一致（误差 \(<0.1\%\)）。

(5) (a) 接收线圈：\(R_{\mathrm{t2}}=\frac23N_2^2\sigma_{\mathrm{t}}\mu_0^2\omega^2a_2^3={0.059\,}\mathrm{\Omega }\)，欧姆电阻 \(R_2={0.477\,}\mathrm{\Omega }\)，比值 12%。\(Q_2\) 降低约 11%，\(U\) 降到 6.8，\(\eta_{\max}\) 降到 0.75。小线圈的组织损耗按 \(a^3\) 减小，所以影响不大，最初忽略它是合理的。 (b) 最优负载 \(x=\sqrt{1+U^2}=7.27\) 时，反射电阻与 \(R_1\) 之比为 \(U^2/(1+x)=6.27\)，所以输入功率中有 \(1/(1+6.27)=13.8\%\) 消耗在发射端，其中 \(R_{\mathrm{t}}/(R_{\Omega1}+R_{\mathrm{t}})=2/3\) 进入组织，即输入功率的 9.2%，约为负载功率的 12%。若植入器件需要 20 mW，组织吸收约 2.4 mW，损耗集中在发射线圈导线附近（\(A_\varphi\) 在导线处最大），不一定均匀分布。取最不利的情形：2.4 mW 全部被 ICNIRP 规定的 10 g 平均质量吸收，局部 SAR 也只有 0.24 W/kg，仍低于 2 W/kg 的局部限值。（以上忽略了组织的位移电流。按 Gabriel 等人的参数化模型，肌肉在 10 MHz 附近 \(\sigma\approx{0.62\,}\mathrm{S/m}\)、相对介电常数约 170[17], [18]，14 MHz 时相对介电常数约 136，\(\omega\varepsilon\approx{0.11\,}\mathrm{S/m}\)，约为 \(\sigma\) 的 1/6，所以这只是量级上的近似。组织中的趋肤深度为 0.18 m，远大于 \(a_1\)，忽略涡流自身磁场的近似成立。）

评分要点（共 30 分）：(1) \(k\) 的表达式 3 分，最优 \(a_1=d\) 3 分；(2) \(Q_2=2N_2\Lambda_2b_2/\delta\) 4 分；(3) 标度论证 3 分，两个电阻的数值 2 分；(4) \(Q_1\) 的最优条件 4 分，\(U\) 的最优条件与数值 6 分；(5) 接收线圈组织损耗 2 分，组织吸收占比与 SAR 上界 3 分。

(1) \(L=\mu_0a[\ln(8a/b)-2]={1.18\,}\mathrm{\mu H}\)。\(d={1.2\,}\mathrm{m}\)：\(\mathcal{D}^2=2a^2+d^2={1.52\,}\mathrm{m^2}\)，修正项 \(\frac{15}{8}a^4/\mathcal{D}^4=0.0013\)，\(M_{13}={1.69\,}\mathrm{nH}\)，\(k_{13}=1.43\times10^{-3}\)。\(d/2={0.6\,}\mathrm{m}\)：\(\mathcal{D}^2={0.44\,}\mathrm{m^2}\)，修正项 0.0155，\(M_{12}={11.0\,}\mathrm{nH}\)，\(k_{12}=9.34\times10^{-3}\)。两者与精确式的差别都小于 0.1%。\(k_{12}/k_{13}=6.5\)，小于远场的 8，因为 \(d/2=3a\) 还不够远。

(2) \(U=k_{13}\sqrt{Q_1Q_3}=0.43\)，\(\eta_{\max}=0.43^2/(1+\sqrt{1+0.43^2})^2=4.2\%\)。

(3) 从后往前用反射阻抗。线圈 3 反射到线圈 2 的电阻 \(\omega_0^2M_{23}^2/(R_3+R_{\mathrm L})\)，以 \(R_2\) 为单位：\(r_2=\omega_0^2M_{23}^2/[R_2R_3(1+x)]=u_2^2/(1+x)\)。线圈 2（含 3）反射到线圈 1 的电阻 \(\omega_0^2M_{12}^2/[R_2(1+r_2)]\)，以 \(R_1\) 为单位：\(r_1=u_1^2/(1+r_2)\)。功率依次按比例分配，所以 \(\eta=\dfrac{r_1}{1+r_1}\cdot\dfrac{r_2}{1+r_2}\cdot\dfrac{x}{1+x}\)，形式不变。

渐近：令 \(x=\alpha u_2\)（\(\alpha\) 为 1 的量级）。则 \(r_2\approx u_2/\alpha\)，\(r_1\approx\alpha u_1^2/u_2\)，三个因子的损耗分别约为 \(1/r_1=u_2/(\alpha u_1^2)\)、\(1/r_2=\alpha/u_2\)、\(1/x=1/(\alpha u_2)\)： \[1-\eta\approx\frac{\alpha}{u_2}+\frac1\alpha\left(\frac{1}{u_2}+\frac{u_2}{u_1^2}\right).\] 对 \(\alpha\) 求极小：\(\alpha^2=1+u_2^2/u_1^2\)，即 \(x_{\mathrm{opt}}\approx u_2\sqrt{1+u_2^2/u_1^2}\)， \[1-\eta_{\max}\approx2\sqrt{\frac{1}{u_1^2}+\frac{1}{u_2^2}} .\] \(u_1=u_2=u\) 时回到第 7.3 节的 \(2\sqrt2/u\)。两段链路的损耗 \(1/u_1\)、\(1/u_2\) 像相互垂直的两个分量那样按平方和（勾股）合成，较弱的一段起主导作用。

(4) 远场 \(u_1\propto\sqrt{Q_1Q_2}/z^3\)，\(u_2\propto\sqrt{Q_2Q_3}/(d-z)^3\)，要使 \(\dfrac{z^6}{Q_1Q_2}+\dfrac{(d-z)^6}{Q_2Q_3}\) 最小。对 \(z\) 求导：\(\dfrac{z^5}{Q_1}=\dfrac{(d-z)^5}{Q_3}\)， \begin{gather*} \frac{z}{d-z}=\left(\frac{Q_1}{Q_3}\right)^{1/5}=4^{1/5}=1.32,\\ z=0.569d={0.68\,}\mathrm{m}. \end{gather*} 中继应靠近 \(Q\) 较低的接收线圈：低 \(Q\) 的一段链路需要更强的耦合来补偿。由于 \(k\) 按距离的三次方变化，这个偏移只按 \(Q\) 之比的 \(1/5\) 次方增长，所以即使 \(Q_3\) 只有 \(Q_1\) 的 1/4，中继也只偏离中点约 \(0.07d\)（8 cm）。

(5) 精确互感、负载同时优化（scripts/example4_relay.py）：

与直接传输的 4.2% 相比，中继使效率提高十倍以上。渐近式在这里定量上不可靠：\(u\approx4\) 远不满足 \(u\gg1\)，它在中点给出 \(\eta\approx1-0.80=0.20\)，而精确值为 0.455（\(1-\eta\) 被高估约一半；数值核对表明 \(u\gtrsim100\) 时渐近式误差才小于 2%）。但最优位置只取决于“两段链路怎样平衡”，即使用精确互感最小化 \(1/u_1^2+1/u_2^2\) 也得到 \(z={0.696\,}\mathrm{m}\)，与真正的最优位置 0.697 m 几乎相同；在最优点附近 \(\eta\) 对 \(z\) 又很平坦（0.68 m 与 0.70 m 只差 0.1 个百分点），所以 (4) 的结论很实用。

(6) 在数值最优位置用完整的 \(3\times3\) 复数电路方程（含 \(\ii\omega_0M_{13}\) 项）重新优化负载，\(\eta=49.80\%\)，与忽略 \(k_{13}\) 时的 49.83% 只差 0.03 个百分点。\(k_{13}\) 很小，而且直接通道（\(I_3\propto-\ii\omega_0M_{13}I_1\)）与经中继的通道（\(I_3\propto(-\ii\omega_0M)^2I_1\)）相位相差 \(90^\circ\)，对 \(|I_3|^2\) 的影响没有一阶交叉项，只是二阶的。

评分要点（共 30 分）：(1) 两个耦合系数 3 分；(2) 2 分；(3) 推广的效率式 3 分，渐近展开 4 分，最优 \(\alpha\) 与 \(1-\eta\) 3 分；(4) 最优条件与数值 3 分，物理解释 3 分；(5) 数值结果 2 分，指出渐近式定量失效而位置结论仍成立并说明原因 4 分；(6) 数值 1 分，相位相差 \(90^\circ\) 的论证 2 分。

(1) 推导见第 6.1 节：\(\omega_\pm=\omega_0/\sqrt{1\mp k}\)，故 \(k_{\mathrm{l}}=(f_+^2-f_-^2)/(f_+^2+f_-^2)\)。有损耗时，小 \(k\) 下峰间距为 \(f_0\sqrt{k^2-1/Q_{\mathrm{L}}^2}\)（式 (6.8)），比无损值 \(kf_0\) 小；\(k\to1/Q_{\mathrm{L}}\) 时两峰合并。\(d\) 大时 \(k\) 与 \(1/Q_{\mathrm{L}}\) 可比，不修正会低估 \(k\)。用拼接公式 (6.10)：\(k=\sqrt{k_{\mathrm{l}}^2+1/Q_{\mathrm{L}}^2}\)，它在两个极限下都正确。

(2) 单个谐振器的半高全宽 \(\Delta f_{1/2}=f_0/Q_{\mathrm{L}}\)（带宽定义），所以 \(1/Q_{\mathrm{L}}=17.8/5000=3.56\times10^{-3}\)，\(\sigma_{1/Q}=0.2/5000=4\times10^{-5}\)，\(Q_{\mathrm{L}}=281\pm3\)。

(3)(a) 式 (6.7) 的分母 \(F(\Delta)=(\kappa^2+\Gamma^2-\Delta^2)^2+4\Gamma^2\Delta^2\)。求导：\(F'=4\Delta(\Delta^2-\kappa^2+\Gamma^2)\)，在峰位 \(\Delta_{\mathrm p}\) 处为零；\(F''=4(\Delta^2-\kappa^2+\Gamma^2)+8\Delta^2\)，在 \(\Delta_{\mathrm p}\) 处等于 \(8\Delta_{\mathrm p}^2\)。又 \(F(\Delta_{\mathrm p})=4\Gamma^2\kappa^2\)（第 6.2 节）。泰勒展开到二阶： \begin{align*} \frac{T}{T_{\mathrm{peak}}}&=\frac{F(\Delta_{\mathrm p})}{F(\Delta)}\\ &\approx1-\frac{4\Delta_{\mathrm p}^2(\Delta-\Delta_{\mathrm p})^2}{4\Gamma^2\kappa^2}\\ &=1-\frac{\Delta_{\mathrm p}^2(\Delta-\Delta_{\mathrm p})^2}{\Gamma^2\kappa^2}. \end{align*} 按题设的分辨率判据，凡是 \(T/T_{\mathrm{peak}}\) 下降不到 \(\varepsilon_T\) 的频率都与峰顶分辨不开，所以峰位误差约为 \(|\Delta-\Delta_{\mathrm p}|\sim\sqrt{\varepsilon_T}\,\Gamma\kappa/\Delta_{\mathrm p}\)。（这是“峰顶平坦区宽度”的估计。若改用宽窗口内许多点作最小二乘拟合，顶点误差会更小，且 \(\propto\varepsilon_T\) 而不是 \(\sqrt{\varepsilon_T}\)，但仍 \(\propto\kappa/\Delta_{\mathrm p}\)，所以误差随距离增大的趋势不变。）换成频率（\(\Gamma/2\pi=\Delta f_{1/2}/2\)），并用 \(\kappa/\Delta_{\mathrm p}=k/\sqrt{k^2-Q_{\mathrm{L}}^{-2}}\approx k/k_{\mathrm l}\)： \[\sigma_f\approx\sigma_0\frac{k}{k_{\mathrm l}},\qquad \sigma_0=\sqrt{\varepsilon_T}\,\frac{\Delta f_{1/2}}{2}={0.28\,}\mathrm{kHz}.\] 两峰分得很开时 \(k/k_{\mathrm l}\approx1\)，\(\sigma_f=\sigma_0\)；两峰靠近时峰顶变平，\(\sigma_f\) 增大（38 cm 处 \(k/k_{\mathrm l}=1.43\)，\(\sigma_f={0.40\,}\mathrm{kHz}\)）。

(b) 中心凹陷 \(T(0)/T_{\mathrm{peak}}=F(\Delta_{\mathrm p})/F(0)=4\kappa^2\Gamma^2/(\kappa^2+\Gamma^2)^2=4\xi^2/(1+\xi^2)^2\)，\(\xi=\kappa/\Gamma=kQ_{\mathrm{L}}\)。用 38 cm 处的 \(k=4.96\times10^{-3}\)（第 (4) 问）与那里的局部幂次约 2.7 外推，42 cm 处 \(k\approx3.8\times10^{-3}\)，\(\xi\approx1.06\)，\(T(0)/T_{\mathrm{peak}}\approx0.996\)：凹陷只有 \(\varepsilon_T\) 的几倍，而由 (a)，峰位误差（约 0.8 kHz）已达两峰离中心距离（约 3 kHz）的四分之一，读出的峰位几乎不含信息。\(d={46\,}\mathrm{cm}\) 只有一个峰，说明那里 \(k<1/Q_{\mathrm{L}}=3.6\times10^{-3}\)，与外推值 \(k(46)\approx3.0\times10^{-3}\) 一致。

(4) \(k_{\mathrm{l}}\) 对两个峰位的偏导数为 \(\partial k_{\mathrm{l}}/\partial f_\pm=\pm4f_\pm f_\mp^2/(f_+^2+f_-^2)^2\)，两峰误差独立，所以 \(\sigma_{k_{\mathrm{l}}}=4f_+f_-\sqrt{f_+^2+f_-^2}\,\sigma_f/(f_+^2+f_-^2)^2\)（\(k\ll1\) 时约 \(\sqrt2\sigma_f/f_0\)）。再由 \(k=\sqrt{k_{\mathrm{l}}^2+Q_{\mathrm{L}}^{-2}}\)： \[\sigma_k^2(f,Q)=\left(\frac{k_{\mathrm{l}}}{k}\right)^2\sigma_{k_{\mathrm{l}}}^2+\left(\frac{Q_{\mathrm{L}}^{-1}}{k}\right)^2\sigma_{1/Q}^2 .\] \(Q_{\mathrm{L}}\) 的误差对所有点同向，是系统性的，只在远处重要。距离误差 \(\sigma_d\) 使 \(k\) 变化 \(\sigma_k(d)=n_{\mathrm{loc}}k\,\sigma_d/d\)，其中 \(n_{\mathrm{loc}}=-\dd\ln k/\dd\ln d\) 是由相邻数据点求得的局部幂次（近距离只有 0.8，不能用 3）。结果（scripts/exp_fit.py；峰位与 \(Q_{\mathrm{L}}\) 部分用两万次蒙特卡洛抽样核对：按误差分布随机生成数据、重复计算 \(k\)、统计 \(k\) 的离散）：

（误差以 \(10^{-4}\) 为单位。）近距离以 \(d\) 的读数误差为主，\(d\ge{26\,}\mathrm{cm}\) 以峰位误差为主。38 cm 处 \(k_{\mathrm{l}}\) 只有 \(k\) 的 70%，损耗修正达 30%。下面拟合时取两者的合成误差。

(5) 令 \(X=\ln d\)，\(Y=\ln k\)，\(\sigma_Y=\sigma_k/k\)，用加权最小二乘（附录 E）拟合 \(d\ge{22\,}\mathrm{cm}\) 的 5 个点： \[n=2.47\pm0.02,\qquad \chi^2/\nu=9.3/3 .\] \(\chi^2/\nu\approx3.1\)（\(p\approx2.5\%\)），说明直线（纯幂律）模型本身不对。按附录 E 的约定（与 (6) 相同），把不确定度乘以 \(\sqrt{\chi^2/\nu}=1.76\)，得 \(n=2.47\pm0.04\)，仍偏离 3 约 13 倍标准差。\(Q_{\mathrm L}\) 的标定误差对所有点同向（系统误差），使 \(n\) 整体移动约 \(\pm0.01\)，小于上述统计误差。相邻两点的局部斜率从 4–5 cm 处的 0.84 一直增大到 34–38 cm 处的 2.70，与精确互感给出的局部斜率（0.87 到 2.63）一致。原因是 \(d^{-3}\) 只在 \(d\gg a\) 时成立；本实验最远只到 \(3.8a\)，局部幂次还没有到达 3。由式 (3.9)，局部幂次 \(n_{\mathrm{eff}}=-\dd\ln k/\dd\ln d\approx3d^2/(d^2+s^2)\)，取 \(s=\sqrt2a\)，\(d=3.8a\) 时只有 2.6，要到 \(d=10a\) 才达到 2.94。近距离（\(d<a\)）时 \(k\) 随 \(\ln(1/d)\) 变化（式 (3.12)），局部幂次远小于 1。

(6) 把 \(k=K(d^2+s^2)^{-3/2}\) 写成 \[k^{-2/3}=K^{-2/3}d^2+K^{-2/3}s^2\equiv p_1d^2+p_0 ,\] 以 \(d^2\) 为自变量、\(k^{-2/3}\) 为因变量作直线拟合，权重取 \(1/\sigma_y^2\)，\(\sigma_y=\frac23k^{-5/3}\sigma_k\)。用 \(d\ge{15\,}\mathrm{cm}\) 的 7 个点： \begin{gather*} p_1=(215.4\pm1.3)\ \mathrm{m^{-2}},\quad p_0=3.29\pm0.05,\\ \chi^2/\nu=3.8/5 . \end{gather*} \(s^2=p_0/p_1\)，\(K=p_1^{-3/2}\)。\(p_1\)、\(p_0\) 的误差相关，求 \(s\) 的误差要计入协方差（附录 E）。\(\chi^2/\nu<1\)，不需要放大不确定度： \begin{gather*} s=(12.36\pm0.13)\ \mathrm{cm},\\ K=(3.16\pm0.03)\times10^{-4}\ \mathrm{m^3}. \end{gather*} 理论值：\(s=\sqrt2a={14.1\,}\mathrm{cm}\)，\(K=\mu_0\pi a^4/(2L)=3.35\times10^{-4}\ \mathrm{m^3}\)。两者分别偏离了约 14 个与 7 个标准差。

这是模型误差，不是测量出了问题：把精确理论值 \(k(d)\)（无噪声）在相同的 \(d\) 与权重下做同样的拟合，得到 \(s={12.59\,}\mathrm{cm}\)、\(K/K_{\mathrm{th}}=0.955\)，与实测拟合结果（\(s=12.36\pm0.13\) cm，\(K/K_{\mathrm{th}}=0.944\pm0.009\)）在 2 倍标准差内一致。原因是式 (3.9) 只保留到 \((a/d)^2\) 阶，在 \(d=1.5a\) 到 \(3.8a\) 的范围内，被略去的高阶项被拟合吸收进了 \(K\) 与 \(s\)；在这个范围内 \(\chi^2\) 还不足以把它们识别出来。更直接的检验：把全部 13 个 \(k\) 与精确互感给出的 \(k(d)\)（没有任何自由参数）比较，\(\chi^2=8.1/13\)。还要注意 \(K_{\mathrm{th}}\) 必须用工作频率下的高频电感：若误用低频值 0.620 μH，\(K_{\mathrm{th}}\) 小 5%，\(K/K_{\mathrm{th}}\) 变成约 0.99，恰好与要识别的模型误差同量级，会得出相反的结论。结论：数据与精确互感理论一致；“\(s=\sqrt2a\)”和“\(n=3\)”都只是 \(d\gg a\) 的渐近性质。

(7) 系统误差与改进：

• 耦合环之间、耦合环与另一个谐振环之间的直接耦合，会在传输谱上叠加一个与谐振无关的背景，使峰位轻微移动。应让耦合环足够小、足够远，或先用“去掉一个谐振环”的测量扣除背景。

• 两谐振器的失谐 \(\delta f\) 使分裂变为 \(\sqrt{(kf_0)^2+\delta f^2}\)（式 (6.4)），在远处高估 \(k\)。每次改变距离后应重新检查两者单独的谐振频率。

• 近距离的主要误差是 \(d\) 的读数（4 cm 处 0.5 mm 已使 \(k\) 有 1% 的误差），可改用定位夹具或测量两环导线中心的距离；远处的主要误差是峰顶变平，可以改为用整条谱线拟合式 (6.5)，而不只读峰位。

• 要检验 \(n\to3\)，需要把测量推到 \(d\gtrsim10a\)，那里 \(k\sim3\times10^{-4}\ll1/Q_{\mathrm{L}}\)，频率分裂法失效。可以改用其他方法测 \(k\)：例如测 \(f_0\) 处的传输系数 \(T(0)=4\Gamma_{\mathrm{e}}^2\kappa^2/(\kappa^2+\Gamma^2)^2\)，它在 \(\kappa\ll\Gamma\) 时正比于 \(k^2\)。

• 环境中的金属物体（实验桌、仪器外壳）会改变互感与 \(Q\)。

评分要点（共 40 分）：(1) 简正模频率与 \(k_{\mathrm l}\) 公式 3 分，损耗修正及两个极限 3 分；(2) \(Q_{\mathrm L}\) 及其误差 2 分；(3) 峰顶展开 4 分，\(\sigma_f=\sigma_0k/k_{\mathrm l}\) 3 分，凹陷公式与 42/46 cm 的判断 4 分；(4) \(k\) 表 4 分，三种误差来源（含 \(n_{\mathrm{loc}}\)）4 分；(5) 拟合 \(n\) 与 \(\chi^2\) 3 分，解释 \(n<3\) 3 分；(6) 线性化与拟合 3 分，协方差 1 分，识别模型误差 2 分；(7) 至少三条合理的系统误差及改进 1 分。