1 导读

这些成就背后的物理，核心只有三件事：

1. 经典禁区中的波函数按指数衰减：穿过宽 \(d\) 的势垒，透射概率约为 \(\ee^{-2\kappa d}\)，对金属中的电子 \(\kappa\approx{1\,}\mathrm{\mathring{A}^{-1}}\)，间隙每变 1 Å，电流约变一个数量级——这是 STM 纵向灵敏度和横向分辨率的共同来源；

2. 势垒形状不同，指数不同：WKB 近似 \(T\approx\exp(-2\int\kappa\,\dd x)\) 把方势垒、三角形势垒（场致发射）与库仑势垒（\(\alpha\) 衰变）统一起来；

3. 隧穿电流测的是“电子态”而不只是“高度”：微分电导 \(\dd I/\dd V\) 正比于样品在针尖位置的局域态密度，因而能直接“看见”量子围栏中电子的驻波。

本讲目标

学完后你应当能够：(1) 由定态薛定谔方程、概率流与边界条件求方势垒的透射系数，并由厚势垒近似估计“每埃一个数量级”；(2) 由自由电子模型推出小偏压下 STM 的隧道电流 \(I\propto V\ee^{-2\kappa d}\)，理解表观势垒高度、横向分辨率与恒流反馈；(3) 由谐振子传递函数估计 STM 的隔振要求；(4) 掌握 WKB 近似的适用条件，推出 Fowler–Nordheim 公式与 Gamow 因子，解释 Geiger–Nuttall 定律；(5) 理解局域态密度与 \(\dd I/\dd V\) 谱，用贝塞尔函数求圆形量子围栏的能级与图样；(6) 完成一道由 \(I\)–\(z\) 谱求表观势垒高度的数据处理题。

前置知识

普通物理中的德布罗意物质波、光电效应、简谐振动与受迫振动、静电学，以及微积分、复数。超出这一范围的内容——薛定谔方程、概率流、自由电子气与费米能级、WKB 近似、二维极坐标下的拉普拉斯算符与贝塞尔函数——都会在首次使用前介绍。力学专题“原子力显微镜”可作对照阅读，但本讲自足。

建议学时

2 学时：第 3–4 节约 35 分钟，第 5 节约 30 分钟，第 6 节约 25 分钟，第 7 节约 15 分钟，例题与实验题选讲 15 分钟，其余课后阅读。

推导路线

定态薛定谔方程 → 概率流与边界条件 → 方势垒透射系数（第 4 节）→ 自由电子气中的隧穿电流（第 5 节）；方势垒的 \(\ee^{-2\kappa d}\) → 缓变势垒的 WKB 公式 → 场致发射、\(\alpha\) 衰变（第 6 节）；隧穿电流 → 局域态密度 → 量子围栏（第 7 节）。

2 名词与符号

3 前置模块：量子力学最低限度

本节从普通物理中的“物质波”出发，引入本讲需要的全部量子力学工具：波函数及其概率解释、定态薛定谔方程、概率流、边界条件，以及描述金属中电子的自由电子气模型。

3.1 物质波与波函数

德布罗意关系把粒子的动量 \(p\)、能量 \(E\) 与波的波长 \(\lambda\)、角频率 \(\omega\) 联系起来： \[\tag{3.1} p=\frac{h}{\lambda}=\hbar k,\qquad E=\hbar\omega,\] 其中 \(k=2\pi/\lambda\) 为波数，\(\hbar=h/2\pi\)。动能 7 eV 的电子（铜中费米能级附近的电子，见第 3.5 节）\(k=\sqrt{2mE}/\hbar={1.36\,}\mathrm{\mathring{A}^{-1}}\)，\(\lambda={4.6\,}\mathrm{\mathring{A}}\)，与原子间距（2–3 Å）同量级——原子尺度上电子的波动性起决定作用。

自由运动、动量确定为 \(\hbar k\) 的粒子用平面波 \(\Psi=A\ee^{\ii(kx-\omega t)}\) 描述。它的概率密度 \(\abs{A}^2\) 处处相同，无法归一化。处理散射与隧穿时我们换一种理解：把平面波看作一束粒子流，\(\abs{A}^2\) 是束流中单位长度上的平均粒子数。下文所有“透射概率”都是透射粒子数与入射粒子数之比，与 \(A\) 的绝对大小无关。

3.2 定态薛定谔方程

第一步：自由粒子满足什么方程？

对平面波 \(\Psi=A\ee^{\ii(kx-\omega t)}\)，求导得 \begin{gather*} \ii\hbar\pdv{\Psi}{t}=\hbar\omega\,\Psi=E\,\Psi,\\ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}=\frac{\hbar^2k^2}{2m}\Psi=\frac{p^2}{2m}\Psi . \end{gather*} 自由粒子的能量就是动能，\(E=p^2/2m\)，所以每个平面波都满足 \[\tag{3.2} \ii\hbar\pdv{\Psi}{t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}.\] 这是一个线性方程：不同 \(k\) 的平面波的任意叠加（例如一个波包）仍满足它。物质波能干涉、能叠加，所以支配它的方程必须是线性的。

第二步：加上势能。

若粒子处在势能为常数 \(U_0\) 的区域，能量关系变为 \(E=p^2/2m+U_0\)，同样的推理给出在式 (3.2) 右边多一项 \(U_0\Psi\)。对于随位置变化的势能 \(U(x)\)，薛定谔把它推广为 \[\tag{3.3} \ii\hbar\pdv{\Psi}{t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+U(x)\Psi .\] 这一步不是推导，而是假设（量子力学的基本方程）：它在势能缓变处退化为上面的局部平面波关系，而它的全部预言（原子光谱、隧穿……）都已被实验证实。

第三步：能量确定的态。

试探 \(\Psi(x,t)=\psi(x)\ee^{-\ii Et/\hbar}\)（时间部分就是 \(E=\hbar\omega\) 的振荡），代入式 (3.3)，左边 \(\ii\hbar\partial_t\Psi=E\psi\,\ee^{-\ii Et/\hbar}\)，两边约去公共因子 \(\ee^{-\ii Et/\hbar}\)： \[\tag{3.4} \boxed{\ -\frac{\hbar^2}{2m}\dv{^2\psi}{x^2}+U(x)\psi=E\psi\ }\] 这就是定态薛定谔方程。这种态的概率密度 \(\abs{\Psi}^2=\abs{\psi}^2\) 不随时间变化，故称定态。下文只讨论定态，\(E\) 为给定的能量。

第四步：读懂这个方程。

把式 (3.4) 改写为 \(\psi''=-\frac{2m}{\hbar^2}(E-U)\psi\)（撇号表示对 \(x\) 求导）：

• 经典允许区 \(E>U\)：\(\psi''=-k^2\psi\)，\(k=\sqrt{2m(E-U)}/\hbar\)。\(U\) 为常数时解为 \(\ee^{\pm\ii kx}\)，即动量 \(\pm\hbar k\) 的平面波，\(\hbar k=\sqrt{2m(E-U)}\) 正是经典动量。

• 经典禁区 \(E<U\)：经典粒子的动能为负，不可能到达。方程变为 \begin{gather*} \psi''=\kappa^2\psi,\\ \kappa\equiv\frac{\sqrt{2m(U-E)}}{\hbar},\tag{3.5} \end{gather*} \(U\) 为常数时通解为 \(\psi=C\ee^{-\kappa x}+D\ee^{\kappa x}\)：一个衰减、一个增长的实指数，不振荡。若禁区一直延伸到 \(x\to+\infty\)，增长解会使概率发散，必须 \(D=0\)，波函数在禁区内按 \(\ee^{-\kappa x}\) 衰减。粒子能“渗入”经典禁区，这是隧穿的根源。

3.3 概率流密度

隧穿问题关心的是“有多少粒子穿了过去”，需要一个描述概率流动的量。

式 (3.7) 与电荷守恒的连续性方程同形：对 \([a,b]\) 积分得 \(\dv{}{t}\int_a^b\rho\,\dd x=j(a)-j(b)\)，区间内概率的增加等于从左端流入减去从右端流出，所以 \(j\) 就是单位时间流过某点的概率（\(j>0\) 表示向 \(+x\) 流动）。

3.4 边界条件

势能在某点 \(x=a\) 突变（有限跳跃）时，两侧的解如何衔接？

3.5 金属中电子的最简模型：费米能级与功函数

两块金属之间的费米能级

两块金属用导线连通时，电子从费米能级高的一侧流向低的一侧，直到两侧费米能级相等——这是电子的“平衡条件”（类似两个连通水箱的水面相平）。若在两块金属之间接入电压 \(V\) 的电源，使样品的电势比针尖高 \(V\)，则样品中电子（电荷 \(-e\)）的势能整体降低 \(eV\)，两侧费米能级相差 \(eV\)（图 1b）。两种金属功函数不同（\(\phi_{\mathrm t}\ne\phi_{\mathrm s}\)）时，即使 \(V=0\)，费米能级对齐后两侧的真空能级也相差 \(\phi_{\mathrm t}-\phi_{\mathrm s}\)，间隙中的势垒是两端高度为 \(\phi_{\mathrm t}\)、\(\phi_{\mathrm s}\) 的梯形；第 5.1 节的推导框“为什么用平均势垒”将说明，它与高度为平均值 \(\bar\phi=(\phi_{\mathrm t}+\phi_{\mathrm s})/2\) 的方势垒等效（例题 2 推广到二阶）。

4 方势垒：隧穿的基本事实

4.1 问题与透射系数的定义

考虑一维方势垒：\(0<x<d\) 内 \(U=U_0\)，其余处 \(U=0\)；能量 \(E<U_0\) 的电子从左边入射（图 2a）。三个区域的解分别为 \begin{gather*} \psi=\begin{cases} \ee^{\ii kx}+r\,\ee^{-\ii kx}, & x<0,\\ C\,\ee^{-\kappa x}+D\,\ee^{\kappa x}, & 0<x<d,\\ t\,\ee^{\ii kx}, & x>d, \end{cases}\tag{4.1}\\ k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar},\quad \kappa=\frac{\sqrt{2m(U_0-E)}}{\hbar}. \end{gather*} 入射振幅取 1；\(x>d\) 处只有向右的透射波，因为右边没有入射源。\(r\)、\(t\) 分别称为反射振幅与透射振幅。

四个未知数 \(r,C,D,t\) 由 \(x=0\) 与 \(x=d\) 两处 \(\psi\)、\(\psi'\) 连续的四个方程确定： \begin{align*} x=0:\quad&1+r=C+D,\\ &\ii k(1-r)=-\kappa C+\kappa D, \tag{4.2}\\ x=d:\quad&C\ee^{-\kappa d}+D\ee^{\kappa d}=t\,\ee^{\ii kd},\\ &-\kappa C\ee^{-\kappa d}+\kappa D\ee^{\kappa d}=\ii k\,t\,\ee^{\ii kd}. \tag{4.3} \end{align*}

4.2 精确解与厚势垒近似

解这个线性方程组只需代数（附录 A），结果为 \[\tag{4.4} \boxed{\ T=\left[1+\frac{U_0^2\sinh^2(\kappa d)}{4E(U_0-E)}\right]^{-1}\ }\] 其中 \(\sinh y=(\ee^y-\ee^{-y})/2\)。STM 中的情形是 \(\kappa d\sim5\)–10 的“厚”势垒，此时有一条更有物理意义的近似推导。

4.3 一埃一个数量级

对金属中费米能级处的电子，\(U_0-E\) 就是功函数 \(\phi\)（图 1a），于是 \begin{gather*} \kappa=\frac{\sqrt{2m\phi}}{\hbar}=0.5123\sqrt{\phi/\mathrm{eV}}\ \text{Å}^{-1},\\ \frac{T(d)}{T(d+1\,\text{Å})}=\ee^{2\kappa\times1\,\text{Å}}.\tag{4.6} \end{gather*} \(\phi={4\,}\mathrm{eV}\) 时 \(\kappa={1.02\,}\mathrm{\mathring{A}^{-1}}\)，\(\ee^{2\kappa\cdot{1\,}\mathrm{\mathring{A}}}=7.8\)；\(\phi={5\,}\mathrm{eV}\) 时 \(\kappa={1.15\,}\mathrm{\mathring{A}^{-1}}\)，比值为 9.9。间隙每增大 1 Å，透射系数约减小一个数量级——Binnig 与 Rohrer 在诺贝尔演讲中称之为真空中“每埃约 10 倍”[5]。原子的直径约 2–3 Å，所以针尖越过一个原子台阶时电流可变两三个数量级[7]。

5 STM 的隧道电流

图 3 是 STM 的工作原理。针尖与样品之间的真空隙通常为几埃到十埃，偏压从毫伏到几伏，电流在纳安量级[7], [15]。本节由第 3–4 节的工具推出隧道电流的表达式，再讨论它对间隙、横向位置与振动的依赖。

5.1 从一维透射到三维电流密度

5.2 针尖的几何与电导的量级

真实针尖顶端近似为半径 \(R_{\mathrm t}\) 的球面。在离针尖轴线 \(r\) 处，间隙为 \(d+R_{\mathrm t}-\sqrt{R_{\mathrm t}^2-r^2}\approx d+r^2/(2R_{\mathrm t})\)（\(r\ll R_{\mathrm t}\)）。把式 (5.2) 逐点用于每一小块面积（“局部平面近似”，要求间隙在横向一个 \(1/\kappa_0\) 的距离内变化不大），并忽略前因子中 \(1/d\) 的缓慢变化： \begin{align*} J(r)&\approx J(0)\,\ee^{-2\kappa_0\,r^2/(2R_{\mathrm t})}\\ &=J(0)\,\ee^{-\kappa_0r^2/R_{\mathrm t}}.\tag{5.3} \end{align*} 电流密度在横向是高斯分布，总电流 \(I=\int_0^\infty J(r)\,2\pi r\,\dd r=J(0)\cdot\pi R_{\mathrm t}/\kappa_0\)，即有效面积 \(A_{\mathrm{eff}}=\pi R_{\mathrm t}/\kappa_0\)。用电导量子 \(G_0\equiv2e^2/h=e^2/(\pi\hbar)={7.748\times 10^{-5}\,}\mathrm{S}\)（约 \(1/{12.9\,}\mathrm{k\Omega }\)）[18] 作单位： \[\tag{5.4} \frac{G}{G_0}=\frac{I/V}{G_0}=\frac{PR_{\mathrm t}}{4d}\,\ee^{-2\kappa_0d}.\]

5.3 表观势垒高度

实验上最直接的量是电流对间隙的对数导数。定义 \begin{align*} \phi_{\mathrm{ap}}&\equiv\frac{\hbar^2}{8m}\left(\dv{\ln I}{d}\right)^2\\ &=0.952\left(\dv{\ln I}{d}\Big/\text{Å}^{-1}\right)^2\ \mathrm{eV},\tag{5.5} \end{align*} 称为表观势垒高度（\(\hbar^2/8m={0.952\,}\mathrm{eV\cdot \mathring{A}^2}\)）。若 \(I\propto\ee^{-2\kappa_0d}\) 严格成立，\(\dd\ln I/\dd d=-2\kappa_0\)，\(\phi_{\mathrm{ap}}=\hbar^2\kappa_0^2/2m=\bar\phi\)。由式 (5.2)，实际上 \(\ln I=\text{常数}-\ln d-2\kappa_0d\)， \begin{gather*} \dv{\ln I}{d}=-2\kappa_0-\frac1d,\\ \phi_{\mathrm{ap}}=\bar\phi\left(1+\frac{1}{2\kappa_0d}\right)^2.\tag{5.6} \end{gather*} \(\kappa_0d=5\) 时 \(\phi_{\mathrm{ap}}\) 比 \(\bar\phi\) 高 21%。这一修正依赖于前因子的模型（球形针尖、三维效应都会改变它），是表观势垒的系统误差之一。

5.4 横向分辨率

STM 为什么能分辨单个原子？有两个层次的回答。

几何层次：电流只流过针尖最前端

由式 (5.3)，电流密度的半高全宽为 \(2\sqrt{R_{\mathrm t}\ln2/\kappa_0}\)；90% 的电流集中在半径 \(r_{90}=\sqrt{R_{\mathrm t}\ln10/\kappa_0}\) 内。\(R_{\mathrm t}={10\,}\mathrm{\mathring{A}}\)、\(\kappa_0={1.1\,}\mathrm{\mathring{A}^{-1}}\) 时 \(r_{90}={4.6\,}\mathrm{\mathring{A}}\)；而宏观上磨尖的针尖 \(R_{\mathrm t}\sim{1000\,}\mathrm{\mathring{A}}\)，\(r_{90}\approx{46\,}\mathrm{\mathring{A}}\)。Binnig 等人 1982 年给出的横向分辨估计 \(\delta\approx3\sqrt{R_{\mathrm t}}\)（以 Å 为单位）[7] 与此同量级。原子分辨之所以可能，是因为真实针尖的顶端往往恰好有一个原子突出：若它比相邻原子突出 \(\Delta\approx{1\,}\mathrm{\mathring{A}}\) 到 2 Å，相邻原子的电流就被压低 \(\ee^{-2\kappa_0\Delta}\approx1/9\) 到 \(1/80\)——一个原子承担了绝大部分电流（图 3b）。

波动层次：表面起伏随高度指数衰减

即使针尖是理想的单原子，样品表面的原子起伏在真空中也会被“抹平”。先给出将要用到的理论结论。

5.5 恒流模式与恒高模式

恒流模式

反馈回路不断调节针尖高度 \(z\)，使电流保持为设定值 \(I_{\mathrm{set}}\)（图 3a）。由于 \(\ln I\) 与间隙呈线性关系，控制器比较的是 \(\ln I-\ln I_{\mathrm{set}}\)。设针尖在 \(x\) 处的理想恒流高度为 \(z^*(x)\)，在其附近 \(\ln I\approx\ln I_{\mathrm{set}}-2\kappa_0(z-z^*)\)。最简单的积分型控制器让针尖速度正比于误差： \[\tag{5.9} \dv{z}{t}=\frac{1}{2\kappa_0\tau}\ln\frac{I}{I_{\mathrm{set}}}=-\frac{z-z^*(x)}{\tau},\] （电流偏大说明太近，针尖后撤），这是时间常数 \(\tau\) 的一阶弛豫。针尖以速度 \(v\) 扫过周期 \(a\) 的起伏 \(z^*=\Delta\cos(2\pi x/a)\) 时，相当于以角频率 \(\omega=2\pi v/a\) 驱动一阶系统，稳态响应的振幅为 \(\Delta/\sqrt{1+\omega^2\tau^2}\)，相位滞后 \(\arctan\omega\tau\)。要如实记录原子起伏，需要 \(2\pi v\tau/a\ll1\)。\(\tau={1\,}\mathrm{ms}\)、\(a={3\,}\mathrm{\mathring{A}}\) 时，\(v\ll{50\,}\mathrm{nm/s}\)。

记录下的 \(z(x,y)\) 是“等电流面”，按 Tersoff–Hamann 结论即样品等局域态密度面，不一定是原子核位置的形貌：吸附物、缺陷、不同元素都可能“看起来”凸起或凹陷。

恒高模式

关掉（或放慢）反馈，针尖在固定高度扫描，直接记录电流。它不受反馈带宽限制，可以快得多，但只适用于很平坦的区域：遇到一个 2.4 Å 的台阶，电流就变化 \(\ee^{2\kappa_0\times2.4}\approx200\) 倍，针尖还可能撞上样品。

5.6 振动隔离

需要多稳？

由 \(I\propto\ee^{-2\kappa_0d}\)，间隙变化 \(\delta d\) 引起电流的相对变化 \(\delta I/I=2\kappa_0\delta d\)。若要求电流涨落小于 2%，则 \(\delta d<0.02/(2\times{1.09\,}\mathrm{\mathring{A}^{-1}})\approx{0.01\,}\mathrm{\mathring{A}}={1\,}\mathrm{pm}\)。而实验室地面的振动位移通常在纳米到微米量级——差了 3 到 6 个数量级。

两级振子模型

把系统看成两个串联的振子（图 5）：

1. 隔振平台：质量 \(M\) 用劲度 \(K\) 的软弹簧挂在地基上，固有角频率 \(\omega_1=2\pi f_1=\sqrt{K/M}\)。地基位移 \(x_b=X_b\cos\omega t\)，平台位移 \(x_p\) 满足 \(M\ddot x_p=-K(x_p-x_b)\)。代入 \(x_p=X_p\cos\omega t\)：\((\omega_1^2-\omega^2)X_p=\omega_1^2X_b\)， \[\tag{5.10} \abs{\frac{X_p}{X_b}}=\frac{\omega_1^2}{\abs{\omega_1^2-\omega^2}},\] \(\omega\gg\omega_1\) 时趋于 \((f_1/f)^2\)。

2. STM 头：针尖相对样品的位移 \(y\) 由“针尖–扫描管–支架–样品”这一回路的弹性决定，其最低共振频率记为 \(f_2\)（典型为几 kHz[16]）。在随平台加速运动的参考系中，回路受惯性力 \(-m\ddot x_p\)（\(m\) 为回路的有效质量），故 \(m\ddot y=-ky-m\ddot x_p\)。代入简谐解，\((\omega_2^2-\omega^2)Y=\omega^2X_p\)： \[\tag{5.11} \abs{\frac{Y}{X_p}}=\frac{\omega^2}{\abs{\omega_2^2-\omega^2}},\] \(\omega\ll\omega_2\) 时趋于 \((f/f_2)^2\)。 刚性的头部对低频振动几乎是“整体平动”，针尖与样品一起动，相对位移很小。

3. 串联：在 \(f_1\ll f\ll f_2\) 的频段，两个渐近式相乘，\((f_1/f)^2(f/f_2)^2\) 中的 \(f\) 相消： \[\tag{5.12} \abs{\frac{Y}{X_b}}\approx\left(\frac{f_1}{f_2}\right)^2,\] 与频率无关。隔振的原则就是让两个固有频率相差悬殊[26]：\(f_1={2\,}\mathrm{Hz}\)、\(f_2={2\,}\mathrm{kHz}\) 给出 \(10^{-6}\)，微米级的地面振动变成皮米级的间隙涨落。

最早的 STM 用超导磁悬浮隔振，后来改用带涡流阻尼的两级弹簧系统[5], [16]；现代 STM 把头部做得小而刚（提高 \(f_2\)），再配合软悬挂（降低 \(f_1\)）。阻尼的利弊、温度漂移见例题 1。

5.7 压电扫描器（定性）

针尖的亚埃级定位靠压电效应：某些晶体或陶瓷（如锆钛酸铅 PZT）在电场作用下发生与电场成正比的形变。用压电系数 \(d_{31}\) 描述“沿厚度方向加电场、沿长度方向伸缩”：厚 \(h\)、长 \(L\) 的压电片加电压 \(V\)，长度变化 \(\Delta L=d_{31}VL/h\)。商用 PZT 陶瓷的 \(\abs{d_{31}}\) 约为 1.7–2.8 Å/V[27]。

Binnig 与 Smith 1986 年提出的单管扫描器把一根压电陶瓷管的外电极分成四个象限：在相对的两个象限上加反向电压使管子弯曲，产生 \(x\)、\(y\) 扫描；在内电极上加电压使整根管子伸缩，控制 \(z\)[28]。他们的扫描管在三个方向的响应约 5 nm/V，最低机械共振在 8 kHz（弯曲）和 40 kHz（伸缩）[28]。压电陶瓷有迟滞、蠕变，灵敏度随温度变化，必须用已知尺寸的结构（如单原子台阶）标定——Binnig 等人的第一次实验就因标称灵敏度偏差一倍而差点错过真空隧穿[5]。

6 WKB 近似：缓变势垒、场致发射与 \(\alpha\) 衰变

方势垒之外，常见的势垒形状各异：加偏压后是梯形，强电场下的金属表面是三角形，原子核外是库仑势。对缓变的势垒，有一个普适的近似公式。它以 Wentzel、Kramers、Brillouin 三人命名，简称 WKB 近似。

6.1 缓变势中的波函数

6.2 透射系数的 WKB 公式

设势垒位于两个转折点 \(x_1<x_2\) 之间。把它切成许多薄层，每层内 \(\kappa\) 近似为常数；穿过厚 \(\Delta x_i\) 的一层，波函数振幅衰减 \(\ee^{-\kappa_i\Delta x_i}\)。只要 \(\kappa\) 缓变，相邻薄层之间几乎没有反射，总振幅衰减为各层之积 \(\exp(-\sum\kappa_i\Delta x_i)\)，概率衰减为其平方。这就是式 (6.2) 中的指数。

读者也许会问：第 3.3 节说过，单独一个衰减指数不携带概率流，为什么只用衰减分量就能算透射？回顾厚势垒推导第 1–3 步：势垒中还有一个增长分量，其振幅由出口的匹配条件确定，在入口处只有衰减分量的 \(\ee^{-2\int\kappa\,\dd x}\) 倍；透射振幅 \(t\) 等于入口处衰减分量的振幅乘以 \(\exp(-\int\kappa\,\dd x)\)，再乘以两个界面上 \(\order{1}\) 的匹配因子。所以“流”确实来自两个分量的干涉（式 (3.8)），而它的大小由衰减分量穿过势垒后剩下的振幅决定，两种说法并不矛盾。于是透射系数为 \begin{align*} T&\approx\boxed{\,\exp\!\left(-2\int_{x_1}^{x_2}\kappa(x)\,\dd x\right)\,}\\ &=\exp\!\left(-\frac{2}{\hbar}\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{2m[U(x)-E]}\,\dd x\right)\tag{6.3} \end{align*}

6.3 应用一：场致发射与 Fowler–Nordheim 公式

在金属表面外加强电场 \(F\)（指向金属，使电子受力指向真空），真空中电子的势能在 \(E_{\mathrm F}+\phi\) 的基础上随距离线性下降。以费米能级为能量零点， \[\tag{6.4} U(x)-E_{\mathrm F}=\phi-eFx,\qquad x>0,\] 势垒成为三角形（图 6a）。费米能级处电子的外转折点在 \(x_c=\phi/(eF)\)：\(F={5\,}\mathrm{V/nm}\)、\(\phi={4.5\,}\mathrm{eV}\) 时 \(x_c={0.9\,}\mathrm{nm}\)，势垒足够薄，电子可以不经加热直接穿出——这就是场致发射（冷发射）。

Fowler–Nordheim 图

对式 (6.6) 取对数： \[\tag{6.7} \ln\frac{J}{F^2}=\ln\frac{a_{\mathrm{FN}}}{\phi}-\frac{b_{\mathrm{FN}}\phi^{3/2}}{F}.\] 以 \(1/F\) 为横轴、\(\ln(J/F^2)\) 为纵轴应得直线，斜率 \(-b_{\mathrm{FN}}\phi^{3/2}\)。实验中测的是电流 \(I\) 与电压 \(V\)。针尖表面的电场正比于电压，\(F=\beta V\)；对半径 \(R_{\mathrm t}\) 的孤立导体球 \(F=V/R_{\mathrm t}\)，带柄的真实针尖受到屏蔽，写作 \(F=V/(k_fR_{\mathrm t})\)，\(k_f\) 为几何因子。于是 \(\ln(I/V^2)\) 对 \(1/V\) 也是直线，斜率为 \(-b_{\mathrm{FN}}\phi^{3/2}/\beta\)：只有知道 \(\beta\)，才能由斜率求出 \(\phi\)（例题 2）。

6.4 应用二：\(\alpha\) 衰变与 Geiger–Nuttall 定律

在核内，\(\alpha\) 粒子每秒撞击势垒 \(\nu\approx v/(2R_{\mathrm N})\) 次（\(v=\sqrt{2Q/\mu}\) 为其速度的量级），每次以概率 \(T=\ee^{-G_{\mathrm G}}\) 穿出。衰变常量与半衰期为 \[\tag{6.8} \lambda_\alpha=\nu\,\ee^{-G_{\mathrm G}},\qquad T_{1/2}=\frac{\ln2}{\lambda_\alpha},\] 其中 Gamow 因子 \(G_{\mathrm G}\) 就是 WKB 指数。外转折点 \(b\) 由 \(U(b)=Q\) 给出：\(b=2Ze^2/(4\pi\varepsilon_0Q)\)（图 7a）。

Geiger–Nuttall 定律

由式 (6.8) 与式 (6.10)， \begin{align*} \log_{10}T_{1/2}&=\frac{G_{\mathrm G}}{\ln10}-\log_{10}\frac{\nu}{\ln2}\\ &\approx a_{\mathrm{GN}}\frac{Z}{\sqrt{Q}}+c(Z,R_{\mathrm N}), \tag{6.11}\\ a_{\mathrm{GN}}&=\frac{2\pi\cdot2\alpha_{\mathrm f}}{\ln10}\sqrt{\frac{\mu c^2}{2}}, \end{align*} \(\alpha_{\mathrm f}=e^2/(4\pi\varepsilon_0\hbar c)\approx1/137\) 为精细结构常数。代入 \(\mu c^2\approx{3664\,}\mathrm{MeV}\)，\(a_{\mathrm{GN}}={1.70\,}\mathrm{MeV^{1/2}}\)（\(Q\) 以 MeV 为单位）。\(c(Z,R_{\mathrm N})\) 来自式 (6.10) 第二项与 \(\nu\)，只随 \(Z\)、\(A\) 缓慢变化。所以对同一元素的各同位素，\(\log_{10}T_{1/2}\) 与 \(Z/\sqrt Q\) 成直线——这就是 Geiger 与 Nuttall 在 1911 年由经验发现的规律[2]（他们用的是 \(\alpha\) 粒子射程与衰变常量的关系；射程随能量单调增加）。

7 隧穿谱与量子围栏

7.1 局域态密度与 \(\dd I/\dd V\)

能级若有有限寿命（例如电子会漏出围栏），每个 \(\psi_n\) 的贡献就不是能量上的一根线，而是有一定宽度。这与普通物理中受迫阻尼振子的共振曲线相同：能量衰减时间为 \(\tau_{\mathrm L}\) 的振子，其吸收功率随驱动频率 \(\omega\) 的变化在共振附近为 \(\propto1/[(\omega-\omega_0)^2+(1/2\tau_{\mathrm L})^2]\)，称为洛伦兹线形，半高全宽 \(\Delta\omega=1/\tau_{\mathrm L}\)。量子态的能量 \(E=\hbar\omega\)，寿命为 \(\tau_{\mathrm L}\) 的能级相应地展宽成半高全宽 \(\Gamma=\hbar/\tau_{\mathrm L}\) 的洛伦兹线形 \(L_\Gamma(E-E_n)=\frac{\Gamma/2\pi}{(E-E_n)^2+(\Gamma/2)^2}\)（对 \(E\) 积分为 1）。用它代替式 (7.1) 中的“计数”：\(\rho(\vect r,E)=\sum_n\abs{\psi_n(\vect r)}^2L_\Gamma(E-E_n)\)。

从电流到 LDOS

式 (5.2) 的推导中，样品被当作自由电子气，所有能量的态“一样多”。若样品的局域态密度随能量变化，Tersoff–Hamann 理论给出：小偏压下电流正比于样品在针尖位置的 LDOS[22]；推广到有限偏压（假设针尖的态密度平坦、隧穿矩阵元随能量缓变）， \[\tag{7.2} I(V)\propto\int_{E_{\mathrm F}}^{E_{\mathrm F}+eV}\rho_{\mathrm s}(\vect r_0,E)\,\dd E,\] 因而 \[\tag{7.3} \dv{I}{V}\propto\rho_{\mathrm s}(\vect r_0,E_{\mathrm F}+eV),\] \(\vect r_0\) 为针尖位置。物理图像：电子只能隧穿进入样品中在针尖处有振幅的空态（\(V>0\)），或从这样的满态隧穿出来（\(V<0\)）。\(V>0\) 测样品费米能级以上的空态，\(V<0\) 测以下的满态。（这里 \(\rho_{\mathrm s}\) 已包含波函数在真空中按 \(\ee^{-2\kappa z}\) 的衰减；高偏压下势垒形状改变也会给 \(\dd I/\dd V\) 带来缓变的本底。）

7.2 铜 (111) 面的表面态：二维电子气

晶体中离子实的周期势使电子沿某些方向传播时，有一些能量范围是“禁止”的（称为能隙：在这些能量上没有能在体内传播的波，类似于周期结构中的布拉格反射）。在 Cu(111) 表面，有一类电子的能量恰好落在体内沿 [111] 方向的能隙中：它们不能向晶体内部传播，又在真空能级以下、无法逸出，只能集中在表面附近几个原子层内，而在平行于表面的方向自由运动。这样的态称为表面态，构成一个二维电子气，其能量与平行波矢的关系为 \[\tag{7.4} E=E_0+\frac{\hbar^2k_\parallel^2}{2m^*},\] \(E_0\) 为带底，\(m^*\) 为有效质量（由 \(1/m^*=\hbar^{-2}\dd^2E/\dd k^2\) 定义，它把离子实周期势的效果吸收进“质量”里）。对 Cu(111)，\(E_0\approx{-0.45\,}\mathrm{eV}\)（相对 \(E_{\mathrm F}\)），\(m^*\approx0.38m_{\mathrm e}\)[34]。

表面上的台阶或吸附原子会反射表面态电子，入射波与反射波干涉，在 LDOS 中形成驻波。对一面直的“墙”，垂直入射的态为 \(\sin(kx)\)，\(\abs{\psi}^2\propto\sin^2(kx)\)，周期为 \(\pi/k=\lambda/2\)。Crommie、Lutz 与 Eigler 1993 年在 Cu(111) 台阶边与点缺陷附近观测到这样的驻波，并由它独立地测出了表面态的色散关系[12]。费米能级附近的驻波周期约为 \(\lambda_{\mathrm F}/2\approx{15\,}\mathrm{\mathring{A}}\)。

7.3 圆形量子围栏

把吸附原子排成一个闭合的圆环，表面态电子就被“关”在圆内。最简单的模型是硬壁圆形势阱：\(r<R_{\mathrm c}\) 内势能为零（相对 \(E_0\)），\(r=R_{\mathrm c}\) 处 \(\psi=0\)。

与实验对照

Crommie 等人在围栏内做隧穿谱，观测到一系列分立的共振，并指出围栏内部的局域态密度“由一个被困在圆形二维盒子中的电子所预期的本征态密度所主导”[11]；在费米能级附近的图像中看到同心圆环状的驻波。硬壁模型的不足在于“墙”并不硬：Heller 等人的散射理论把 Fe 原子当作最大限度吸收入射电子波的“黑点”[35]，与实验谱的符合很好；Fiete 与 Heller 的评述指出，由共振线宽看，围栏的“品质因数”只有约 2，即电子在漏出之前只经历约两次反射；盒子模型可以定性给出共振能量，却不能预言共振的宽度[34]。例题 4 用一个“每次撞墙保留概率”的模型估计了能级宽度；2000 年 Manoharan 等人在椭圆围栏的一个焦点放一个钴原子，在另一个焦点看到了它的“幻影”（量子海市蜃楼）[36]。

8 决赛风格例题

9 实验与数据处理：由 \(I\)–\(z\) 谱求表观势垒高度

10 小结

本讲的推导链如下：

1. 定态薛定谔方程（式 (3.4)）→ 经典禁区中的指数解（式 (3.5)）；概率流（式 (3.6)）在定态中守恒 → 透射系数的定义与 \(R+T=1\)；\(\psi\)、\(\psi'\) 连续 → 匹配条件。

2. 方势垒：精确解式 (4.4)；厚势垒近似式 (4.5)，\(T\propto\ee^{-2\kappa d}\)；\(\kappa\approx{1\,}\mathrm{\mathring{A}^{-1}}\) \(\Rightarrow\) 每埃约一个数量级。

3. 自由电子气（费米能式 (3.9)、功函数）+ 平行动量守恒 + 弹性隧穿 → 一般电流公式式 (5.1) → 小偏压 STM 电流式 (5.2)，\(I\propto(V/d)\ee^{-2\kappa_0d}\) → 电导量级式 (5.4)、表观势垒式 (5.5)–(5.6)。

4. 局部平面近似 → 横向高斯分布式 (5.3)；真空中 \(\nabla^2\psi=\kappa_0^2\psi\) → 起伏按 \(\ee^{-(q_G-\kappa_0)z}\) 衰减（式 (5.8)）→ Tersoff–Hamann 分辨率；反馈一阶弛豫式 (5.9)；两级振子 → 隔振判据式 (5.12)。

5. 缓变条件式 (6.1) → WKB：\(T\approx\exp(-2\int\kappa\,\dd x)\)（式 (6.3)）→ 三角形势垒（式 (6.5)）+ 电流公式 → FN 公式式 (6.6) 与 FN 图；库仑势垒 → Gamow 因子式 (6.9)–(6.10) → Geiger–Nuttall 定律式 (6.11)。

6. 电流公式推广到能量依赖的样品 → \(\dd I/\dd V\propto\) 局域态密度（式 (7.3)）；表面态二维电子气 + 硬壁圆形势阱 → 贝塞尔函数与能级式 (7.6) → 量子围栏的图样与谱。

贯穿始终的一个事实是：指数中的量决定一切，前因子只是“1 的量级”。它使 STM 拥有皮米级的纵向灵敏度和原子级的横向分辨率，使 \(\alpha\) 衰变寿命跨越 24 个数量级，也使实验数据处理必须关注那些看似微小、却会被指数放大的系统误差。

参考文献

附录 A 方势垒透射系数的精确推导

从式 (4.2)–(4.3) 出发。

1. 由 \(x=d\) 的两式（正文厚势垒推导第 1 步）：\(C=\dfrac{\kappa-\ii k}{2\kappa}t\,\ee^{\ii kd}\ee^{\kappa d}\)，\(D=\dfrac{\kappa+\ii k}{2\kappa}t\,\ee^{\ii kd}\ee^{-\kappa d}\)。

2. 由 \(x=0\) 的两式消去 \(r\)：第一式乘以 \(\ii k\) 与第二式相加，\(2\ii k=\ii k(C+D)+\kappa(D-C)=(\ii k-\kappa)C+(\ii k+\kappa)D\)。

3. 代入第 1 步： \begin{align*} 2\ii k&=\frac{t\,\ee^{\ii kd}}{2\kappa}\big[(\ii k-\kappa)(\kappa-\ii k)\ee^{\kappa d}\\ &\qquad\qquad+(\ii k+\kappa)(\kappa+\ii k)\ee^{-\kappa d}\big]\\ &=\frac{t\,\ee^{\ii kd}}{2\kappa}\big[-(\kappa-\ii k)^2\ee^{\kappa d}\\ &\qquad\qquad+(\kappa+\ii k)^2\ee^{-\kappa d}\big]. \end{align*}

4. 展开 \((\kappa\pm\ii k)^2=\kappa^2-k^2\pm2\ii k\kappa\)，方括号化为 \begin{align*} &-(\kappa^2-k^2)(\ee^{\kappa d}-\ee^{-\kappa d})\\ &+2\ii k\kappa(\ee^{\kappa d}+\ee^{-\kappa d})\\ &=-2(\kappa^2-k^2)\sinh\kappa d+4\ii k\kappa\cosh\kappa d . \end{align*} 于是 \begin{gather*} t\,\ee^{\ii kd}=\frac{2\ii k\kappa}{\mathcal D},\tag{A.1}\\ \mathcal D\equiv2\ii k\kappa\cosh\kappa d\\ -(\kappa^2-k^2)\sinh\kappa d. \end{gather*}

5. 取模平方并用 \(\cosh^2=1+\sinh^2\)： \begin{align*} T=\abs t^2&=\frac{4k^2\kappa^2}{4k^2\kappa^2\cosh^2\kappa d+(\kappa^2-k^2)^2\sinh^2\kappa d}\\ &=\frac{4k^2\kappa^2}{4k^2\kappa^2+(k^2+\kappa^2)^2\sinh^2\kappa d}. \end{align*} 最后一步用了恒等式 \(4k^2\kappa^2+(\kappa^2-k^2)^2=(k^2+\kappa^2)^2\)。分子分母同除以 \(4k^2\kappa^2\)，并用 \[\frac{(k^2+\kappa^2)^2}{4k^2\kappa^2}=\frac{U_0^2}{4E(U_0-E)},\] 即得式 (4.4)。

verify_sympy.py 用 sympy 求解四元线性方程组，核对了式 (A.1) 与式 (4.4)。

附录 B 数值核对方法

分段常数转移矩阵

把任意势垒 \(U(x)\) 切成 \(N\) 个薄层，第 \(i\) 层内 \(U=U_i\) 为常数，局域波数 \(k_i=\sqrt{2m(E-U_i)}/\hbar\)（禁区中为虚数）。层内的解为 \(\cos\) 与 \(\sin\) 的组合，可以写成把层左端的 \((\psi,\psi')\) 映到右端的矩阵 \[\begin{pmatrix}\psi\\ \psi'\end{pmatrix}_{\text{右}}=\begin{pmatrix}\cos k_i\Delta x & \sin(k_i\Delta x)/k_i\\ -k_i\sin k_i\Delta x & \cos k_i\Delta x\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\psi\\ \psi'\end{pmatrix}_{\text{左}}.\] 由于 \(\psi\)、\(\psi'\) 在层间连续，整个势垒的矩阵就是各层矩阵之积。左侧给定 \(\ee^{\ii kx}+r\ee^{-\ii kx}\)，右侧要求只有 \(t\,\ee^{\ii kx}\)，解出 \(r\)、\(t\)。方势垒只需一层，结果与式 (4.4) 一致到 \(10^{-6}\)（图 2b 的圆点）。

三角形势垒的精确解

势能线性时，定态方程经变量代换化为艾里方程 \(\psi''(s)=s\psi(s)\)，其解为艾里函数 \(\mathrm{Ai}\)、\(\mathrm{Bi}\)（数值库中有现成实现）；真空侧取向外传播的组合 \(\mathrm{Ai}-\ii\,\mathrm{Bi}\)，在金属表面与平面波匹配即得精确透射系数。图 6b、c 中的“精确”曲线即由此计算；这也是 Fowler 与 Nordheim 1928 年原文的做法[1]。

镜像势与表观势垒

第 5.3 节注中的数值：两平行金属间电子的镜像势取无穷镜像级数 \[U_{\mathrm{im}}(x)=-\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0}\left[\frac{1}{2x}+\sum_{n\ge1}\left(\frac{nd}{(nd)^2-x^2}-\frac{1}{nd}\right)\right],\] 与 \(\bar\phi\) 相加后做 WKB 积分（只在势垒高于电子能量处积分），再由 \(\ln T\) 对 \(d\) 的数值导数按式 (5.5) 求 \(\phi_{\mathrm{ap}}\)（脚本 verify_numeric.py）。

附录 C Gamow 积分与离心修正

Gamow 积分

求 \(I_0=\int_{R_{\mathrm N}}^b\sqrt{b/r-1}\,\dd r\)。令 \(r=b\cos^2\theta\)，\(\dd r=-2b\cos\theta\sin\theta\,\dd\theta\)，\(\sqrt{b/r-1}=\tan\theta\)。\(r=b\) 对应 \(\theta=0\)，\(r=R_{\mathrm N}\) 对应 \(\theta_0=\arccos\sqrt{R_{\mathrm N}/b}\)： \begin{align*} I_0&=\int_{\theta_0}^{0}\tan\theta\,(-2b\cos\theta\sin\theta)\,\dd\theta\\ &=2b\int_0^{\theta_0}\sin^2\theta\,\dd\theta=b\left(\theta_0-\sin\theta_0\cos\theta_0\right). \end{align*} \(\cos\theta_0=\sqrt{R_{\mathrm N}/b}\)，\(\sin\theta_0=\sqrt{1-R_{\mathrm N}/b}\)，即得式 (6.9) 中的方括号。小 \(x=R_{\mathrm N}/b\) 展开：\(\arccos\sqrt x=\pi/2-\arcsin\sqrt x=\pi/2-\sqrt x-x^{3/2}/6-\cdots\)，\(\sqrt{x(1-x)}=\sqrt x-x^{3/2}/2-\cdots\)，方括号 \(=\pi/2-2\sqrt x+x^{3/2}/3+\order{x^{5/2}}\)。

离心修正的积分

例题 3 需要 \(I_1=\int_{R_{\mathrm N}}^b\frac{\dd r}{r^{3/2}\sqrt{b-r}}\)。令 \(r=bu\)，\(I_1=\frac1b\int_{x}^{1}\frac{\dd u}{u^{3/2}\sqrt{1-u}}\)。注意到 \[\dv{}{u}\left[-2\sqrt{\frac{1-u}{u}}\right]=\frac{1}{u^2}\sqrt{\frac{u}{1-u}}=\frac{1}{u^{3/2}\sqrt{1-u}},\] 故 \(I_1=\frac2b\sqrt{\frac{1-x}{x}}=\frac2b\sqrt{\frac{b-R_{\mathrm N}}{R_{\mathrm N}}}\)。

附录 D 极坐标下的拉普拉斯算符与贝塞尔函数

二维拉普拉斯算符

用二维的高斯定理：\(\nabla^2\psi=\nabla\cdot(\nabla\psi)\) 等于矢量场 \(\nabla\psi\) 从单位面积流出的净通量。取极坐标中的小面元 \([r,r+\dd r]\times[\theta,\theta+\dd\theta]\)，面积 \(r\,\dd r\,\dd\theta\)。\(\nabla\psi\) 的径向分量为 \(\partial_r\psi\)，角向分量为 \(\frac1r\partial_\theta\psi\)。

• 穿过两条弧边（长 \(r\,\dd\theta\) 与 \((r+\dd r)\dd\theta\)）的净通量：\(\left[r\partial_r\psi\right]_r^{r+\dd r}\dd\theta=\partial_r(r\partial_r\psi)\,\dd r\,\dd\theta\)；

• 穿过两条径向边（长 \(\dd r\)）的净通量：\(\left[\frac1r\partial_\theta\psi\right]_\theta^{\theta+\dd\theta}\dd r=\frac1r\partial_\theta^2\psi\,\dd\theta\,\dd r\)。

除以面积 \(r\,\dd r\,\dd\theta\)：\(\nabla^2\psi=\frac1r\partial_r(r\partial_r\psi)+\frac{1}{r^2}\partial_\theta^2\psi\)，即正文所用的形式。

贝塞尔函数的级数

在 \(s^2\mathcal R''+s\mathcal R'+(s^2-l^2)\mathcal R=0\) 中试探 \(\mathcal R=\sum_{j\ge0}c_js^{j+l}\)（\(l\ge0\)）。\(s^{j+l}\) 项的系数：\([(j+l)^2-l^2]c_j+c_{j-2}=0\)，即 \(c_j=-c_{j-2}/[j(j+2l)]\)；\(j=1\) 时 \(c_1(1+2l)=0\)，所以只有偶数项。取 \(c_0=1/(2^ll!)\)，得 \[J_l(s)=\sum_{p=0}^{\infty}\frac{(-1)^p}{p!\,(p+l)!}\left(\frac s2\right)^{2p+l}.\] 另一个线性无关解在 \(s=0\) 处发散，物理上不允许（圆心处波函数必须有限）。大 \(s\) 渐近形式 \(J_l(s)\approx\sqrt{2/(\pi s)}\cos(s-l\pi/2-\pi/4)\) 的推导需要更多数学，这里只作说明：令 \(\mathcal R=u/\sqrt s\) 可把方程化为 \(u''+[1-(l^2-\tfrac14)/s^2]u=0\)，\(s\gg l\) 时 \(u\) 近似为简谐函数，振幅不变，\(\mathcal R\propto s^{-1/2}\)；相位常数 \(-l\pi/2-\pi/4\) 要由与级数解的匹配确定。

附录 E 名词解释

• 隧穿（tunneling）：粒子以非零概率穿过能量低于势垒高度的经典禁区。

• 透射系数 \(T\)：透射概率流与入射概率流之比。

• 概率流密度（probability current）：单位时间流过某点（三维为单位面积）的概率，式 (3.6)。

• 费米能级（Fermi level）：绝对零度下电子所占据的最高能级；两导体电接触达到平衡时费米能级相等。

• 功函数（work function）：把费米能级处的电子移到真空中所需的最小能量。

• 态密度 / 局域态密度（DOS / LDOS）：单位能量（与单位体积）内的电子态数；LDOS 以各态在某点的概率密度加权。

• 表观势垒高度（apparent barrier height）：由 \(\dd\ln I/\dd d\) 按式 (5.5) 定义的有效势垒。

• 恒流模式 / 恒高模式（constant-current / constant-height mode）：反馈保持电流恒定而记录高度 / 固定高度而记录电流。

• 电导量子（conductance quantum）\(G_0=2e^2/h\)：本讲中作为电导的自然单位。

• WKB 近似：缓变势中把波函数写成 \(\kappa^{-1/2}\exp(-\int\kappa\,\dd x)\) 的近似，给出 \(T\approx\exp(-2\int\kappa\,\dd x)\)。

• 转折点（turning point）：\(U(x)=E\) 的点，经典粒子在此反向。

• 场致发射（field emission）：强电场下电子隧穿出金属表面的冷发射；FN 图：\(\ln(J/F^2)\) 对 \(1/F\) 的图。

• Gamow 因子：\(\alpha\) 粒子穿过库仑势垒的 WKB 指数 \(2\int\kappa\,\dd r\)。

• Geiger–Nuttall 定律：\(\alpha\) 衰变半衰期的对数与 \(Z/\sqrt Q\) 近似成直线。

• 表面态（surface state）：束缚在晶体表面、平行于表面自由运动的电子态。

• 有效质量 \(m^*\)：由色散关系曲率定义的“质量”，\(1/m^*=\hbar^{-2}\dd^2E/\dd k^2\)。

• 量子围栏（quantum corral）：用 STM 操纵吸附原子排成的封闭结构，将表面态电子限制在其中。

• 贝塞尔函数 \(J_l\)：二维圆对称问题中径向方程（贝塞尔方程）在原点有限的解。

• 压电效应（piezoelectric effect）：电场引起与之成正比的机械形变（及其逆效应）。