取航向为 \(x\) 轴，风从左舷（\(+y\) 一侧）吹来。“真风来向与航向成 \(\gamma\)”意味着空气的运动方向与来向相反： \[\vect{V}_T=-V_T(\cos\gamma,\ \sin\gamma),\qquad \vect{V}_s=(V_s,\ 0).\] 代入式 (3.2)，逐分量相减： \[\vect{V}_A=-\left(V_T\cos\gamma+V_s,\ V_T\sin\gamma\right).\] 视风“来向”的方向角就是 \(-\vect{V}_A\) 的方向角，于是 \begin{gather*} V_A^2=V_T^2+V_s^2+2V_TV_s\cos\gamma, \tag{3.3}\\ \tan\beta=\frac{V_T\sin\gamma}{V_T\cos\gamma+V_s}. \tag{3.4} \end{gather*}

同一个力在两系中相同，受力点速度满足式 (3.1)，故 \[\tag{3.5} P'=\vect{F}\cdot(\vect{v}_{\mathrm{p}}-\vect{u}_0)=P-\vect{F}\cdot\vect{u}_0 .\] 这说明一个力“做正功还是负功”可以随参考系改变。那么动能定理还成立吗？对单个质点，\(K'=\frac12m(\vect{v}-\vect{u}_0)^2\)，对时间求导（\(\vect{u}_0\) 为常量）： \[\tag{3.6} \dv{K'}{t}=m(\vect{v}-\vect{u}_0)\cdot\dv{\vect{v}}{t}=\vect{F}_{\text{合}}\cdot\vect{v}' .\] 所以动能定理在每个惯性系中各自成立，只是两边的数值都随参考系改变。展开 \(K'\) 可以看到两者如何协调：\(K'=K-\vect{p}\cdot\vect{u}_0+\frac12mu_0^2\)，求导得 \(\dv{K'}{t}=\dv{K}{t}-\vect{u}_0\cdot\dv{\vect{p}}{t}\)，与式 (3.5) 对合力求和的结果一致。

(i) 内力的总功率与参考系无关。物体 \(i\) 对 \(j\) 的力 \(\vect{F}_{ij}\) 与 \(j\) 对 \(i\) 的力 \(\vect{F}_{ji}=-\vect{F}_{ij}\) 成对出现。设两者受力点速度分别为 \(\vect{v}_j\)、\(\vect{v}_i\)，这一对力的总功率为 \[\vect{F}_{ij}\cdot(\vect{v}_j-\vect{u}_0)+\vect{F}_{ji}\cdot(\vect{v}_i-\vect{u}_0)=\vect{F}_{ij}\cdot(\vect{v}_j-\vect{v}_i),\] \(\vect{u}_0\) 抵消了，只剩受力点的相对速度。记所有内力对的总功率为 \(P_{\text{内}}\)，它与参考系无关。对摩擦、黏性这类耗散性内力，\(P_{\text{内}}<0\)（例如滑动摩擦一对力的总功率为 \(-f\,v_{\text{相对}}\)），机械能以 \(-P_{\text{内}}\) 的速率变成热： \[\tag{3.7} P_{\text{耗散}}=-P_{\text{内}}=-\sum_{\text{内力对}}\vect{F}_{ij}\cdot(\vect{v}_j-\vect{v}_i)\ \ge 0\quad\text{（与参考系无关）}.\] (ii) 稳态下外力总功率与参考系无关。把式 (3.5) 对作用在系统上的所有外力求和：\(\sum P'_{\text{外}}=\sum P_{\text{外}}-\left(\sum\vect{F}_{\text{外}}\right)\cdot\vect{u}_0\)。匀速运动（稳态）的系统所受外力之和为零，于是 \[\tag{3.8} \sum\vect{F}_{\text{外}}=0\quad\Longrightarrow\quad \sum P'_{\text{外}}=\sum P_{\text{外}} .\] 各个外力的功率可以随参考系大变，但总和不变。稳态下系统的动能与内能都不变，由动能定理 \(\sum P_{\text{外}}+P_{\text{内}}=0\)，故 \(\sum P_{\text{外}}=-P_{\text{内}}=P_{\text{耗散}}\)：外力总功率就等于系统内部的耗散。

设想一台机器（帆船、Blackbird）稳态地工作在两大块介质之间：介质 1（空气）质心速度 \(\vect{v}_1\)，介质 2（水、冰或大地）质心速度 \(\vect{v}_2\)。介质 1 对机器的合力（水平分量，下同；竖直方向的重力与支持力、浮力自相平衡）为 \(\vect{F}\)；机器匀速，故介质 2 对机器的合力为 \(-\vect{F}\)。由牛顿第三定律，机器对介质 1 的力为 \(-\vect{F}\)，对介质 2 的力为 \(+\vect{F}\)，所以 \[\dv{\vect{p}_1}{t}=-\vect{F},\qquad \dv{\vect{p}_2}{t}=+\vect{F}.\] 机器像一根“管道”，把动量从介质 1 输送给介质 2。两介质质心动能的变化率（柯尼希定理）之和为 \[\dv{}{t}\left(K_{1,c}+K_{2,c}\right)=\vect{v}_1\cdot(-\vect{F})+\vect{v}_2\cdot\vect{F}=-\vect{F}\cdot(\vect{v}_1-\vect{v}_2).\] 整个孤立系统（两介质 + 机器）的总能量守恒，机器自身储能不变，所以减少的质心动能全部变成了“内部”能量（介质中的尾流动能、热以及机器内部的发热）： \[\tag{3.9} P_{\text{释放}}=\vect{F}\cdot(\vect{v}_1-\vect{v}_2)=\text{（机器 + 介质中的）总耗散功率}.\] 右边只含相对速度 \(\vect{v}_1-\vect{v}_2\)，与参考系无关。介质质量极大时，\(\vect{v}_1\)、\(\vect{v}_2\) 就是两介质远处的速度。

在极曲线上找 \(\varepsilon\) 最小的点，就是找从原点出发、与纵轴夹角最小、又与曲线有公共点的射线——即从原点所作的切线，切点处 \(L/D\) 最大。对抛物线极曲线 (3.13)，求 \(L/D=C_L/(C_{D0}+kC_L^2)\) 的极大： \[\dv{}{C_L}\left(\frac{C_L}{C_{D0}+kC_L^2}\right)=\frac{C_{D0}-kC_L^2}{\left(C_{D0}+kC_L^2\right)^2}=0 \quad\Longrightarrow\quad C_L^*=\sqrt{C_{D0}/k}.\] 代回，切点处 \(C_D=2C_{D0}\)（型阻与诱导阻力相等），于是 \[\tag{3.14} \left(\frac{L}{D}\right)_{\max}=\frac{1}{2\sqrt{C_{D0}k}},\qquad \tan\varepsilon_{\min}=2\sqrt{C_{D0}k}.\]

取一段流管作控制体，流体从截面 1 流入（面积 \(A_1\)、速度 \(\vect{v}_1\)），从截面 2 流出。稳态下控制体内的质量不变，所以 \(\rho A_1v_1=\rho A_2v_2=\dot m\)（质量守恒）。

考察 \(t\) 时刻恰在控制体内的那部分流体（一个确定的质点系）。经过 \(\dd t\)，它的一端从截面 1 前移，另一端从截面 2 前移。由于稳态，控制体内部那段流体的动量不变；这个质点系动量的变化，等于“在截面 2 外新增的一小块”的动量减去“在截面 1 处离开控制体的一小块”的动量： \[\dd\vect{p}=(\dot m\,\dd t)\vect{v}_2-(\dot m\,\dd t)\vect{v}_1 .\] 对这个质点系用牛顿第二定律 \(\dd\vect{p}=\vect{F}_{\text{合}}\dd t\)： \[\tag{3.15} \vect{F}_{\text{作用于流体}}=\dot m\left(\vect{v}_2-\vect{v}_1\right).\] 左边包括控制体边界上的压力，以及控制体内物体（帆、风轮）对流体的力。若有多个进出口，右边改为 \(\sum_{\text{出}}\dot m\vect{v}-\sum_{\text{入}}\dot m\vect{v}\)。

取一根细流管，截面 1、2 处压强 \(p_{1,2}\)、速度 \(v_{1,2}\)、高度 \(z_{1,2}\)。在 \(\dd t\) 内，流过两截面的体积相同，都是 \(\dd\mathcal{U}=A_1v_1\dd t=A_2v_2\dd t\)（不可压缩）。对管内这段流体用功能原理：

(1) 外界压力做功：截面 1 处后方流体推它，做功 \(p_1A_1v_1\dd t=p_1\dd\mathcal{U}\)；截面 2 处前方流体阻挡它，做功 \(-p_2\dd\mathcal{U}\)；侧壁压力垂直于流速不做功。

(2) 若没有黏性耗散、也没有叶片等对流体做功或取功，则这些功等于动能与重力势能的增量。由于稳态，增量就是“截面 2 处多出的一块”减去“截面 1 处少掉的一块”：\(\left(\frac12\rho v_2^2+\rho gz_2-\frac12\rho v_1^2-\rho gz_1\right)\dd\mathcal{U}\)。

令两者相等，消去 \(\dd\mathcal{U}\)： \[\tag{3.16} p+\tfrac12\rho v^2+\rho gz=\text{常量（沿同一流线）}.\]

仍取航向为 \(x\) 轴，视风从左前方、与航向成 \(\beta\) 角吹来，空气相对船沿 \(-(\cos\beta,\sin\beta)\) 方向运动。

第 1 步，写出两个力的分量。阻力沿视风去向：\(-D_A(\cos\beta,\sin\beta)\)；升力垂直视风且指向有前进分量的一侧：\(L_A(\sin\beta,-\cos\beta)\)。水动力：阻力 \((-D_H,0)\)，侧向力指向迎风侧 \((0,L_H)\)。于是 \[\vect{F}_A=\left(L_A\sin\beta-D_A\cos\beta,\ -L_A\cos\beta-D_A\sin\beta\right),\qquad \vect{F}_H=(-D_H,\ L_H).\] 第 2 步，稳态要求 \(\vect{F}_A+\vect{F}_H=0\)，逐分量写出： \[D_H=L_A\sin\beta-D_A\cos\beta,\qquad L_H=L_A\cos\beta+D_A\sin\beta .\] 第 3 步，两式相除，并用 \(D_A=L_A\tan\varepsilon_A\) 消去 \(D_A\)： \[\tan\varepsilon_H=\frac{D_H}{L_H}=\frac{\sin\beta-\tan\varepsilon_A\cos\beta}{\cos\beta+\tan\varepsilon_A\sin\beta} =\frac{\sin\beta\cos\varepsilon_A-\cos\beta\sin\varepsilon_A}{\cos\beta\cos\varepsilon_A+\sin\beta\sin\varepsilon_A}=\tan(\beta-\varepsilon_A).\] 三个角都在 \((0,\pi/2)\) 内，正切相等即角相等： \[\tag{4.1} \boxed{\beta=\varepsilon_A+\varepsilon_H}\]

看图 2(a) 的三角形：顶点为船 O、真风来向点 \(T_0\)（\(\overrightarrow{OT_0}=-\vect{V}_T\)）、视风来向点 \(A_0\)（\(\overrightarrow{OA_0}=-\vect{V}_A\)）。由式 (3.2)，\(\overrightarrow{T_0A_0}=\vect{V}_T-\vect{V}_A=\vect{V}_s\)，与航向平行。

第 1 步，求三个内角。O 处：\(OT_0\) 与航向成 \(\gamma\)，\(OA_0\) 与航向成 \(\beta\)，内角为 \(\gamma-\beta\)；\(A_0\) 处：\(A_0T_0\) 沿 \(-x\)，\(A_0O\) 方向角为 \(\pi+\beta\)，内角为 \(\beta\)；\(T_0\) 处：\(\pi-\gamma\)。

第 2 步，正弦定理（对边/对角正弦相等）： \[\frac{V_s}{\sin(\gamma-\beta)}=\frac{V_T}{\sin\beta}=\frac{V_A}{\sin(\pi-\gamma)} .\] 于是 \[\tag{4.2} \frac{V_s}{V_T}=\frac{\sin(\gamma-\beta)}{\sin\beta},\qquad \frac{V_A}{V_T}=\frac{\sin\gamma}{\sin\beta}.\]

以船为原点，把各航向下的船速矢量 \(\vect{V}_s\) 的端点画出来，得到速度极图（polar）。设船速端点为 P，真风矢量 \(\vect{V}_T\) 的端点为 Q（即从原点出发、指向下风方向、长 \(V_T\) 的点）。则 \(\overrightarrow{PQ}=\vect{V}_T-\vect{V}_s=\vect{V}_A\)。在 P 处，\(\overrightarrow{PO}=-\vect{V}_s\) 与 \(\overrightarrow{PQ}=\vect{V}_A\) 的夹角，等于 \(\vect{V}_s\) 与 \(-\vect{V}_A\)（视风来向）的夹角，即 \(\beta\)。

于是弦 OQ 对 P 点的张角恒为 \(\beta\)。由圆周角定理，P 的轨迹是过 O、Q 两点的圆弧，外接圆半径 \(R=\overline{OQ}/(2\sin\beta)\)，即 \[\tag{4.4} \text{速度极图：过原点与 }\vect{V}_T\text{ 端点、直径为 }V_T/\sin\beta\text{ 的圆}.\] 直径就是式 (4.3) 的最大速度，对应 P 为 O 的对径点。

由式 (4.2)，\(\mathrm{VMG}/V_T=\sin(\gamma-\beta)\cos\gamma/\sin\beta\)。对 \(\gamma\) 求导（\(\beta\) 为常数）： \[\dv{}{\gamma}\left[\sin(\gamma-\beta)\cos\gamma\right]=\cos(\gamma-\beta)\cos\gamma-\sin(\gamma-\beta)\sin\gamma=\cos(2\gamma-\beta).\] 令其为零，取 \(2\gamma-\beta=\pi/2\)： \[\tag{4.5} \gamma^*_{\text{迎}}=\frac{\pi}{4}+\frac{\beta}{2}.\] 代回。\(\gamma^*-\beta=\pi/4-\beta/2\)，而 \(\cos\gamma^*=\cos(\pi/4+\beta/2)=\sin(\pi/4-\beta/2)\)，所以 \(\sin(\gamma^*-\beta)\cos\gamma^*=\sin^2(\pi/4-\beta/2)=\frac12\left[1-\cos(\pi/2-\beta)\right]=\frac12(1-\sin\beta)\)： \[\tag{4.6} \frac{\mathrm{VMG}_{\text{迎}}}{V_T}=\frac{1-\sin\beta}{2\sin\beta}.\] 同样，顺风时令 \(2\gamma-\beta=3\pi/2\)，得 \[\tag{4.7} \gamma^*_{\text{顺}}=\frac{3\pi}{4}+\frac{\beta}{2},\qquad \frac{\mathrm{VMG}_{\text{顺}}}{V_T}=\frac{1+\sin\beta}{2\sin\beta}.\]

水系（水静止）：船以 \(\vect{V}_s\) 运动，帆上受力点随船运动，空气对船的功率为 \(\vect{F}_A\cdot\vect{V}_s=-\vect{F}_H\cdot\vect{V}_s=D_HV_s\)（\(\vect{F}_H\) 的侧向分量垂直 \(\vect{V}_s\) 不做功）。这些功率全部被水阻力耗散。同时帆在空气中还有自己的耗散 \(D_AV_A\)（第 3.3 节要点），由风的动能提供。

空气系（空气静止）：船的速度为 \(\vect{V}_s-\vect{V}_T=-\vect{V}_A\)。水对船的功率为 \(\vect{F}_H\cdot(-\vect{V}_A)=\vect{F}_A\cdot\vect{V}_A=D_AV_A\)（只有沿 \(\vect{V}_A\) 的阻力分量有贡献）。这个系里，是“水推着船”，由水的运动提供能量，消耗在空气阻力上。

两系中，总耗散都是 \[\tag{4.8} P_{\text{耗散}}=D_AV_A+D_HV_s=\vect{F}_A\cdot\vect{V}_T ,\] 最后一个等号可直接由 \(\vect{V}_T=\vect{V}_A+\vect{V}_s\) 得到，它正是式 (3.9)（介质 1 为空气、速度 \(\vect{V}_T\)；介质 2 为水、速度 0）。

第 1 步，沿航向的力平衡。帆力在航向上的分量（航向定理推导的第 2 步）为 \(L_A\sin\beta-D_A\cos\beta=F_A(\cos\varepsilon_A\sin\beta-\sin\varepsilon_A\cos\beta)=F_A\sin(\beta-\varepsilon_A)\)，它与摩擦平衡： \[\tag{5.2} \tfrac12\rho SC_RV_A^2\sin(\beta-\varepsilon_A)=\mu mg .\] 第 2 步，用速度三角形的式 (4.2) 把 \(V_A\) 换成 \(V_T\sin\gamma/\sin\beta\)，两边除以 \(\frac12\rho SC_RV_T^2\)： \[\tag{5.3} \frac{\sin^2\gamma\,\sin(\beta-\varepsilon_A)}{\sin^2\beta}=\Pi,\qquad \Pi\equiv\frac{\mu mg}{\frac12\rho SC_RV_T^2}.\] \(\Pi\) 是“冰面摩擦与真风能提供的帆力之比”。给定 \(\gamma\)、\(\varepsilon_A\) 与 \(\Pi\)，解出 \(\beta\)，再由式 (4.2) 得船速。

第 1 步，质量守恒：\(\dot m=\rho A_\infty U=\rho Au_d=\rho A_wu_w\)。

第 2 步，动量定理。对从远前方到远尾流的整根流管用式 (3.15)，流体所受合力等于 \(\dot m(u_w-U)\)。这个合力包括盘的力 \(-T\)，以及流管边界（两端面与侧壁）上的压力。两端面压强都是 \(p_\infty\)，而侧壁上的压强并不处处等于 \(p_\infty\)，侧壁压力的轴向净贡献是否为零并不显然。附录 A 换用一个远大于流管的控制体，直接得到下式；与流管控制体的结果比较即知，侧壁压力的轴向净贡献确实为零。于是 \[\tag{6.1} T=\dot m\,(U-u_w).\] 第 3 步，伯努利方程，分别在盘前、盘后沿流线使用（跨盘不能用）： \begin{gather*} p_\infty+\tfrac12\rho U^2=p_++\tfrac12\rho u_d^2 ,\tag{6.2}\\ p_-+\tfrac12\rho u_d^2=p_\infty+\tfrac12\rho u_w^2 .\tag{6.3} \end{gather*} 两式相减，\(u_d\) 与 \(p_\infty\) 都消去： \[\tag{6.4} \Delta p=p_+-p_-=\tfrac12\rho\left(U^2-u_w^2\right).\] 第 4 步，令两种算法给出的推力相等，\(A\Delta p=\rho Au_d(U-u_w)\)： \[\tfrac12\rho A(U-u_w)(U+u_w)=\rho Au_d(U-u_w).\] 约去 \(\rho A(U-u_w)\)（\(U\neq u_w\)）： \[\tag{6.5} u_d=\frac{U+u_w}{2}.\] 这就是 Froude 定理[31]：盘处的速度恰为上游与尾流速度的平均，速度的减少一半发生在盘前、一半发生在盘后。

风力机取走的功率等于单位时间流过的空气损失的动能（盘外无耗散、压强首尾相同）： \[\tag{6.6} P=\tfrac12\dot m\left(U^2-u_w^2\right).\] 另一种看法：每单位体积空气穿过盘时“掉了”压强 \(\Delta p\)，即损失了单位体积的机械能 \(\Delta p\)；体积流量为 \(Au_d\)，所以 \(P=\Delta p\,Au_d=Tu_d\)。用式 (6.4) 与质量流量 \(\dot m=\rho Au_d\) 可验证两者相同。注意 \(P=Tu_d\) 中的速度是空气在盘处相对盘的速度，不是 \(U\)。

把式 (6.7) 代入 \(T=\dot m(U-u_w)\)，\(\dot m=\rho AU(1-a)\)，\(U-u_w=2aU\)：\(T=2\rho AU^2a(1-a)\)。再乘以 \(u_d=U(1-a)\) 得 \(P=2\rho AU^3a(1-a)^2\)。归一化： \[\tag{6.8} C_P=4a(1-a)^2,\qquad C_T=4a(1-a).\] 求极值：\(\dv{C_P}{a}=4(1-a)(1-3a)\)。在 \(0<a<1/2\) 内唯一驻点 \(a=1/3\)，且 \(a<1/3\) 时导数为正、\(a>1/3\) 时为负，故为最大值： \begin{gather*} C_{P,\max}=C_P(1/3)=\frac{16}{27}\approx0.593,\\ C_T(1/3)=\frac89 .\tag{6.9} \end{gather*}

动量定理（流体获得向后的动量）： \[\tag{6.10} T=\dot m\,[(u+2w)-u]=2\rho A(u+w)w .\] 螺旋桨交给空气的功率是空气动能的增加率：\(P_s=\frac12\dot m[(u+2w)^2-u^2]=\dot m\cdot2w\,(u+w)\)，即 \[\tag{6.11} P_s=T\,(u+w).\] 螺旋桨的“有用功率”是推力对静止空气系中前进的车所做的功率 \(Tu\)（空气系是自然的选择：在其中“推着车前进”才是目的，尾流动能是浪费）。于是理想推进效率 \[\eta_F=\frac{Tu}{P_s}=\frac{u}{u+w}.\] 用推力系数 \(C_T=T/(\frac12\rho Au^2)\) 表示：由式 (6.10)，令 \(\kappa=w/u\)，有 \(C_T=4\kappa(1+\kappa)\)，解出正根 \(\kappa=\frac12\left(\sqrt{1+C_T}-1\right)\)，于是 \[\tag{6.12} \eta_F=\frac{1}{1+\kappa}=\frac{2}{1+\sqrt{1+C_T}} .\]

第 1 步，翼处下洗与远尾流下洗之比。设机翼处的下洗速度为 \(w\)。这里不能直接套用第 6.2 节的伯努利论证：那里速度变化沿穿流方向，而这里下洗与穿流方向垂直。“翼处下洗为远尾流的一半”的依据是尾随涡：下洗由翼尖拖出的尾随涡系产生，涡系从翼处开始向下游延伸到无穷远；翼处的诱导速度是这个半无限长涡系端面上的值，远尾流处则相当于两端都无限长。这与附录 B 中半无限长螺线管“端面磁场为内部的一半”是同一数学事实。于是远尾流下洗速度为 \(2w\)。

第 2 步，动量定理。空气每秒获得向下的动量 \(\dot m\cdot2w\)，等于机翼对空气的向下推力，其反作用力就是升力： \[L=2\rho A_bVw\quad\Longrightarrow\quad w=\frac{L}{2\rho A_bV}.\] 第 3 步，能量。空气每秒获得的动能 \(\frac12\dot m(2w)^2=2\rho A_bVw^2=Lw\)，这是维持升力必须付出的功率（螺旋桨尾流的 Froude 损失）。它只能来自克服一个阻力所做的功 \(D_iV\)，于是诱导阻力 \[D_i=\frac{Lw}{V}=\frac{L^2}{2\rho A_bV^2}=\frac{L^2}{\frac12\rho V^2\cdot\pi b^2}.\] 用 \(L=C_L\cdot\frac12\rho V^2S\) 化成系数：\(C_{Di}=D_i/(\frac12\rho V^2S)=C_L^2S/(\pi b^2)\)，即 \[\tag{6.13} C_{Di}=\frac{C_L^2}{\pi\,\mathrm{AR}},\] 正是式 (3.13) 中 \(e=1\) 的 \(kC_L^2\)。

第 4 步，有效攻角。机翼处空气以 \(w\) 向下运动，翼感到的来流向下偏转了 \(w/V\)（小角度），有效攻角为 \(\alpha-w/V\)，而翼剖面按二维规律产生升力：\(C_L=a_0(\alpha-w/V)\)。由第 2 步，\(w/V=L/(2\rho A_bV^2)=C_L/(\pi\mathrm{AR})\)。代入并解出 \(C_L\)： \[C_L=a_0\alpha-\frac{a_0C_L}{\pi\mathrm{AR}}\quad\Longrightarrow\quad \dv{C_L}{\alpha}=\frac{a_0}{1+a_0/(\pi\mathrm{AR})},\] 即式 (3.12) 中 \(e=1\) 的情形。

车轮受地面切向力 \(F_w\)（作用在接触点，向后），它对轮心的力矩为 \(F_wR\)，阻碍车轮转动。传动轴从车轮取出的功率等于这个力矩与角速度之积：\(F_wR\cdot\omega=F_wR\cdot V/R=F_wV\)。注意这里的 \(V\) 是车对地的速度：车轮“看到”的是以 \(V\) 迎面而来的地面。

第 1 步，力平衡（稳态，车所受合力为零）： \[\tag{7.1} T=F_w+D .\] 第 2 步，功率链：车轮取 \(F_wV\)，传到螺旋桨 \(\eta_wF_wV\)，变成有用推进功率 \(Tu\)： \[\tag{7.2} T\,(V-W)=\eta_w\eta_p\,F_wV=\eta\,F_wV .\] 第 3 步，用式 (7.1) 消去 \(F_w=T-D\)，两边除以 \(T\)：\(V-W=\eta V(1-D/T)\)。解出 \[\tag{7.3} \boxed{\frac{V}{W}=\frac{1}{1-\eta\left(1-D/T\right)}}\] 无额外阻力 \(D=0\) 时 \[\tag{7.4} \frac{V}{W}=\frac{1}{1-\eta}.\]

地面系。地面力作用在瞬时静止的接触点上，功率为 0。空气对车的功率分三部分：推力作用在随车前进的桨上 \(TV\)；空气对旋转叶片的阻力矩吸收轴功率 \(-P_s\)；车体阻力 \(-D_aV\)。合计 \[P^{\text{地}}_{\text{空气}\to\text{车}}=TV-P_s-D_aV .\] 空气系。车以 \(u=V-W\) 前进，地面以 \(W\) 后退。地面力（向后）作用在随地面后退的接触点上，功率 \((F_w+F_{rr})W>0\)；空气对车的功率为 \(Tu-P_s-D_au\)。

核对。用 \(T=F_w+F_{rr}+D_a\) 与 \(P_s=\eta_wF_wV\) 化简，两系中作用于车的外力总功率都等于 \[(1-\eta_w)F_wV+F_{rr}V=\text{车内耗散（传动 + 轮胎）},\] 与式 (3.8) 一致。空气中的耗散（尾流动能、叶片型阻损失、车体尾流）为 \(P_s-Tu+D_au\)，它由力与相对速度构成，也与参考系无关。两项之和 \[\tag{7.5} P_{\text{总耗散}}=(F_w+F_{rr})\,W=(T-D_a)\,W ,\] 正是式 (3.9)：空气对车的净力 \(T-D_a\) 乘以空气相对地面的速度 \(W\)。

力平衡 \(T=F_w\)；功率：轴功率 \(P_s=F_wV=TV\)。另一方面，由式 (6.11)，\(P_s=T(u+w)\)。两者相等得 \(u+w=V\)，即 \[\tag{7.6} w=V-u=W .\] 回到地面系：盘处空气速度 \(=\) 车速 \(-\)（空气相对盘的速度）\(=V-(u+w)=0\)；远尾流空气速度 \(=V-(u+2w)=-W\)。

前面有两句话看似矛盾：地面系中流过桨盘的空气“动能不变”；式 (7.5) 又说总耗散为 \((T-D_a)W=TW>0\)。两者并不矛盾，用柯尼希定理（第 3.2.1 节）把地面系中空气的动能拆成两部分即可看清。

(1) 空气质心动能。螺旋桨以力 \(T\) 向后推空气，整团空气的动量以 \(\dv{p_{\text{空}}}{t}=-T\) 变化，而它的质心以 \(W\) 向前运动，于是质心动能的变化率为 \(W\cdot(-T)=-TW\)。

(2) 相对质心的“内部”动能。在随空气质心运动的参考系（即空气系）中，流过桨盘的空气由静止变为以 \(2W\) 后退，内部动能以 \(\frac12\dot m(2W)^2=TW\) 的速率增加。

两项相加为零，所以地面系中空气的总动能确实不变。但其中第 (2) 项——尾流相对周围空气的动能——会通过湍流与黏性最终变成热，这才是“耗散”。它只与相对速度有关，在任何参考系中都是 \(TW\)；地面系中它的“来源”正是第 (1) 项，即风的质心动能的减少。

风力机按第 6.3 节在随车系中工作，来流速度 \(V+W\)；它受风的阻力 \(D_t\)（向后），取得功率 \(P_t=\eta_tD_t(V+W)\)，\(\eta_t\equiv P_t/[D_t(V+W)]\) 称为风力机的“取能效率”（理想致动盘 \(P_t=Tu_d\)，故 \(\eta_t=1-a\)）。功率经传动以效率 \(\eta_w\) 送到车轮，车轮对地面的驱动力 \(F\) 在对地速度 \(V\) 上做功：\(FV=\eta_wP_t\)。车体阻力 \(D_b\)。 \[\text{力平衡：}F=D_t+D_b,\qquad \text{功率：}(D_t+D_b)V=\eta\,D_t(V+W),\quad \eta=\eta_t\eta_w .\] 解出 \[\tag{7.7} \frac{V}{W}=\frac{\eta}{1-\eta+D_b/D_t}\ \xrightarrow{\ D_b=0\ }\ \frac{\eta}{1-\eta}.\]

取一个以风轮轴为轴、截面积 \(A_{cv}\) 很大的圆柱形控制体，两端面分别在远前方与远尾流处，侧面离风轮很远。

(1) 压力：远前方、远尾流、远处侧面上的压强都是 \(p_\infty\)。均匀压强作用在一个封闭面上的合力为零，所以压力对控制体内流体的净力为零。

(2) 质量：左端面流入 \(\rho UA_{cv}\)。右端面：尾流区（面积 \(A_w\)）以 \(u_w\) 流出，其余（面积 \(A_{cv}-A_w\)）以 \(U\) 流出。尾流比来流慢，右端面流出的质量少于流入，差额只能从侧面流出： \[\dot m_{\text{侧}}=\rho UA_{cv}-\rho u_wA_w-\rho U(A_{cv}-A_w)=\rho A_w(U-u_w).\] 侧面离风轮很远，那里流体的轴向速度为 \(U\)。

(3) 动量：对控制体用式 (3.15)（多个进出口），流体所受合力 \(=-T\)（只有风轮的力）： \[-T=\left[\rho u_w^2A_w+\rho U^2(A_{cv}-A_w)+\dot m_{\text{侧}}U\right]-\rho U^2A_{cv}.\] 代入 \(\dot m_{\text{侧}}\) 并化简：\(-T=\rho A_wu_w^2-\rho A_wU^2+\rho A_wU(U-u_w)=\rho A_wu_w(u_w-U)\)，即 \[T=\rho A_wu_w\,(U-u_w)=\dot m\,(U-u_w),\] 与式 (6.1) 相同。\(A_{cv}\) 消掉了，结果与控制体大小无关。

致动盘的尾流边界是一层速度间断面：外侧速度 \(U\)，内侧速度 \(u_w\)。这样的间断面等价于一层涡，正如面电流使磁场切向分量跳变。在轻载（速度变化小）近似下，尾流边界的扩张可以忽略，近似为半径 \(R\)、从盘面延伸到无穷远的等半径圆柱面（这是一阶近似；重载时尾流扩张，但盘处“速度减少量为尾流的一半”这一结论与动量理论一致），单位长度上的环量（涡面强度）为 \(\Gamma'\)——就像一个半无限长螺线管。轴线上 \(x\) 处（\(x=0\) 为盘面，\(x>0\) 为下游）的诱导速度是各涡环贡献之和： \[\Delta u(x)=\int_0^\infty\frac{\Gamma'R^2\,\dd x'}{2\left[R^2+(x-x')^2\right]^{3/2}}=\frac{\Gamma'}{2}\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\right),\] 这与半无限长螺线管轴线磁场 \(\frac{\mu_0nI}{2}\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\right)\) 完全同形（verify_numeric.py 对积分作了数值核对）。于是：远上游 \(x\to-\infty\)，\(\Delta u\to0\)；盘面 \(x=0\)，\(\Delta u=\Gamma'/2\)；远下游 \(x\to+\infty\)，\(\Delta u\to\Gamma'\)。即盘处的速度变化恰为远尾流速度变化的一半——这正是 Froude 定理：螺线管端面处的磁场是内部磁场的一半。取 \(\Gamma'=2aU\)（减速）就得到图 5 中的轴线速度分布 \(u(x)=U[1-a(1+x/\sqrt{x^2+R^2})]\)。同一事实也是第 6.5 节中“机翼处下洗为远尾流一半”的依据：机翼的尾随涡系同样从翼处开始、向下游延伸到无穷远。

对 \(n\) 组数据 \((x_i,y_i)\) 拟合 \(y=c_0+c_1x\)，令残差平方和 \(\sum(y_i-c_0-c_1x_i)^2\) 最小。对 \(c_0\)、\(c_1\) 求偏导并令其为零，解得 \[c_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad c_0=\bar y-c_1\bar x,\qquad S_{xx}=\sum(x_i-\bar x)^2,\quad S_{xy}=\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y).\] 用残差估计 \(y\) 的单点散布 \(s^2=\sum(y_i-c_0-c_1x_i)^2/(n-2)\)（减 2 是因为两个参数已由数据定出），则 \[u_{c_1}=\sqrt{\frac{s^2}{S_{xx}}},\qquad u_{c_0}=\sqrt{s^2\left(\frac1n+\frac{\bar x^2}{S_{xx}}\right)},\qquad \mathrm{cov}(c_0,c_1)=-\frac{\bar x\,s^2}{S_{xx}} .\] 相关系数 \(r=S_{xy}/\sqrt{S_{xx}S_{yy}}\)。\(\bar x>0\) 时截距与斜率负相关：斜率估大了，截距就会估小。若各点有已知的不确定度 \(\sigma_i\)，可改用以 \(w_i=1/\sigma_i^2\) 为权的加权最小二乘：令 \(\sum w_i(y_i-c_0-c_1x_i)^2\) 最小，记 \begin{gather*} S_w=\sum w_i,\quad S_x=\sum w_ix_i,\quad S_y=\sum w_iy_i,\\ S_{xx}^{(w)}=\sum w_ix_i^2,\quad S_{xy}^{(w)}=\sum w_ix_iy_i,\quad \Delta=S_wS_{xx}^{(w)}-S_x^2, \end{gather*} 则 \begin{gather*} c_1=\frac{S_wS_{xy}^{(w)}-S_xS_y}{\Delta},\qquad c_0=\frac{S_{xx}^{(w)}S_y-S_xS_{xy}^{(w)}}{\Delta},\\ u_{c_1}=\sqrt{\frac{S_w}{\Delta}},\qquad u_{c_0}=\sqrt{\frac{S_{xx}^{(w)}}{\Delta}} . \end{gather*} 所有 \(w_i\) 相等时退化为上面的公式。拟合优度用 \(\chi^2=\sum r_i^2/\sigma_i^2\) 与自由度 \(\nu=n-2\) 比较：\(\chi^2/\nu\approx1\) 表示残差与仪器不确定度相符；明显大于 1 时，常把 \(u_{c_0}\)、\(u_{c_1}\) 乘以 \(\sqrt{\chi^2/\nu}\)。