1 导读

一块手机芯片上有一百多亿个晶体管，每一个都是一只“电控开关”：在第三个电极（栅极）上加一个电压，就能让另外两个电极（源极与漏极）之间的电流导通或关断。今天几乎所有芯片里的晶体管都是金属–氧化物–半导体场效应晶体管（MOSFET）。它的工作原理用一句话就能说清：把平行板电容器的一块极板换成半导体，给电容器充电，半导体表面就感应出一层可以导电的电荷，于是表面电导受栅压控制。可是要把这句话变成可以计算的物理，需要回答一连串问题：半导体里的电荷是什么？电场能伸进半导体多深？为什么栅压超过某个“阈值”之后表面突然出现大量电子？这些电子在源漏电压下怎样流动？为什么电流在漏压增大到一定程度后不再增加？为什么晶体管不能被“完全关断”，而这又如何限制了芯片的功耗？

本讲沿着“栅极电场 \(\to\) 表面能带弯曲 \(\to\) 反型沟道 \(\to\) 电流”这条主线回答这些问题。我们先用普通物理（静电学、玻尔兹曼因子、漂移与扩散）补齐半导体物理最少够用的部分，然后由一维泊松方程推出 MOS 电容的全部静电学，再推出 MOSFET 的电流–电压关系、亚阈值区的玻尔兹曼极限，最后讨论 CMOS 电路与器件缩小。

学习目标

学完本讲，你应当能够：

1. 说明能带、电子与空穴、有效质量、费米能级的含义；由玻尔兹曼因子推出费米–狄拉克分布，由态密度推出 \(n=N_\mathrm{c}\ee^{-(E_\mathrm{c}-E_\mathrm{F})/\kB T}\) 与质量作用定律 \(np=n_\mathrm{i}^2\)；由零电流条件推出爱因斯坦关系；

2. 画出 MOS 结构的能带图，解一维泊松方程得到表面电荷与表面势的精确关系，理解积累、耗尽、反型三个区，推出耗尽层宽度、强反型判据 \(\psi_\mathrm{s}=2\phi_\mathrm{F}\) 与阈值电压公式，并知道它们的误差有多大；

3. 由渐变沟道近似推出 MOSFET 线性区与饱和区的电流公式，说明夹断后电流为何不再增加，处理体效应、沟道长度调制与速度饱和；

4. 推出亚阈值摆幅 \(S=(\kB T/q)\ln10\,(1+C_\mathrm{d}/C_\mathrm{ox})\ge{60\,}\mathrm{mV/dec}\)，并用它解释“关断漏电与电源电压不能同时降低”；

5. 分析 CMOS 反相器的传输特性、噪声容限与动态功耗 \(\alpha CV^2f\)；推出 Dennard 缩小规则及其失效原因，用自然长度说明 FinFET 与全环绕栅为何改善栅控；

6. 处理 MOSFET 转移特性、亚阈值特性与输出特性的实测数据：提取阈值电压、迁移率、串联电阻、亚阈值摆幅、界面陷阱密度与沟道长度调制系数。

建议学时

共 2 学时（约 90 分钟）：半导体物理前置 25 分钟（以课前自学为主，课上只串讲结论与推导思路）；MOS 电容 25 分钟；MOSFET 的电流与亚阈值区 25 分钟；CMOS 与缩小 15 分钟。例题、实验题与附录供课后阅读与练习。

推导路线

1. 能带与空穴 \(\Rightarrow\)（玻尔兹曼因子）费米–狄拉克分布 \(\Rightarrow\)（态密度）\(n\)、\(p\) 与 \(np=n_\mathrm{i}^2\) \(\Rightarrow\)（掺杂）费米势 \(\phi_\mathrm{F}\)；

2. 漂移 + 扩散 \(\Rightarrow\)（平衡态零电流）爱因斯坦关系 \(\Rightarrow\) 准费米能级；高斯定理 \(\Rightarrow\) 泊松方程；

3. MOS 电容：栅压分配 \(V_\mathrm{G}=V_\mathrm{FB}+\psi_\mathrm{s}-Q_\mathrm{s}/C_\mathrm{ox}\) \(\Rightarrow\) 泊松方程第一积分 \(Q_\mathrm{s}(\psi_\mathrm{s})\) \(\Rightarrow\) 耗尽近似、强反型、阈值电压、\(C\)–\(V\)；

4. MOSFET：\(I_\mathrm{D}=-W\mu Q_\mathrm{n}\,\dd V/\dd y\) \(\Rightarrow\)（渐变沟道近似）平方律、夹断、体效应 \(\Rightarrow\) 速度饱和；弱反型 \(\Rightarrow\) 扩散电流与亚阈值摆幅；

5. CMOS 反相器 \(\Rightarrow\) 动态功耗；泊松方程的标度不变性 \(\Rightarrow\) Dennard 缩小 \(\Rightarrow\) 其失效；二维泊松方程 \(\Rightarrow\) 自然长度 \(\Rightarrow\) FinFET、GAA。

2 名词与符号

以下字母在个别地方另作他用，用到时会再说明：\(S\)（亚阈值摆幅；第 4.1 节中为熵）；\(m\)（体因子；\(m^*\)、\(m_0\)、\(m_\mathrm{c}\)、\(m_\mathrm{v}\)、\(m_\mathrm{h}\)、\(m_\mathrm{ox}\) 为各种质量）；\(\kappa\)（缩小因子；\(\kappa_\mathrm{t}\) 为隧穿衰减常数）；\(\Delta\)（强反型时 \(\psi_\mathrm{s}-2\phi_\mathrm{F}\)；\(\Delta L\) 为夹断区长度）；\(k\)（波矢；第 9 节中 \(k_n\)、\(k_p\) 为器件的增益因子）；\(\tau\)（散射时间；陷阱响应时间）；\(\theta\)（迁移率随栅压退化的系数）；\(\beta\)（实验题中的 \(\mu_0C_\mathrm{ox}W/L\)）；\(f\)（费米–狄拉克分布 \(f(E)\)；时钟频率）。

两点约定：

• 符号的正方向：\(x\) 轴从 Si/SiO\(_2\) 界面指向衬底内部；静电势 \(\psi\) 以衬底体内为零点。\(\psi>0\) 表示表面电势比体内高，电子在表面的势能 \(-q\psi\) 比体内低，能带“向下弯”。除第 7 节讨论 p 沟道器件的少数地方，全讲以 p 型衬底上的 n 沟道器件为例。

• 单位：半导体文献习惯用 cm 为长度单位（浓度用 \(\mathrm{cm^{-3}}\)，迁移率用 \(\mathrm{cm^2/(V\,s)}\)）。本讲给数值时沿用这一习惯，代入公式计算时请统一换成国际单位制（\(1\ \mathrm{cm^{-3}}=10^6\ \mathrm{m^{-3}}\)）。

3 前置模块 I：能带、电子与空穴

3.1 从原子能级到能带

先回忆一个熟悉的例子：两个相同的单摆用弹簧弱耦合，原来相同的频率分裂成两个简正频率（同相与反相）。量子力学里两个相同的势阱也是这样：一个电子在单个势阱中有能级 \(E_0\)；两个势阱靠近时，电子可以隧穿到另一个阱，能级分裂成两个，一个略低（波函数在两阱中同号），一个略高（异号），分裂的大小由隧穿的强弱决定。\(N\) 个相同的原子排成晶体，每个原子能级就分裂成 \(N\) 个能级。一块 1 立方厘米的硅有约 \(5\times10^{22}\) 个原子，这 \(N\) 个能级挤在几电子伏的范围内，间隔小到可以看成连续，称为能带。不同原子能级形成的能带之间可能留下没有能级的能量区间，称为禁带。

为什么满带不导电

能带中的每个状态由波矢 \(k\) 标记（相当于电子的德布罗意波矢），群速度 \(v(k)\) 满足 \(v(-k)=-v(k)\)。满带中 \(k\) 与 \(-k\) 的状态都被占据，所有电子的速度之和为零，加上电场也是如此（电场只是让所有电子的 \(k\) 一起平移，满带平移后仍是满带）。所以只有部分填充的能带才能导电。金属的最高能带只填了一部分；绝缘体与半导体在 \(T=0\) 时价带全满、导带全空，都不导电。二者的区别只在 \(E_\mathrm{g}\) 的大小：室温下 \(\kB T\approx{0.026\,}\mathrm{eV}\)，热运动能把电子从价带激发到导带的概率 \(\propto\ee^{-E_\mathrm{g}/2\kB T}\)（第 4.4 节），对硅约为 \(10^{-10}\)，对 SiO\(_2\) 小到 \(10^{-76}\)。

3.2 空穴

价带中少了一个电子会怎样？设价带只有波矢为 \(k_0\) 的一个状态空着。满带的总电流为零，所以 \[\tag{3.1} \begin{aligned} \vect J&=\sum_{\text{占据}}(-q)\vect v(k)\\ &=\underbrace{\sum_{\text{全部}}(-q)\vect v(k)}_{=0}-(-q)\vect v(k_0)\\ &=+q\,\vect v(k_0). \end{aligned}\] 整个价带的电流等于一个带正电荷 \(+q\)、以空状态的速度运动的粒子。这个“粒子”叫空穴。下一小节会说明，在外力作用下空穴的运动也像一个具有正质量的正电荷，所以在描述电流时可以把近满的价带完全用少量空穴代替。半导体中的电流因而由两种载流子承担：导带中的电子（浓度 \(n\)）与价带中的空穴（浓度 \(p\)）。

3.3 有效质量

价带顶附近 \(E(k)\approx E_\mathrm{v}-\hbar^2k^2/2m_\mathrm{h}\)（\(m_\mathrm{h}>0\)），价带顶的电子有效质量为负。空状态的 \(k_0\) 也按式 (3.3) 随外力变化（它就是那个“缺席的电子”的状态），由第三步，其速度变化率为 \(\dd v/\dd t=-F/m_\mathrm{h}\)，其中 \(F=-q\mathcal{E}\) 是电子受的力；于是 \(m_\mathrm{h}\,\dd v/\dd t=+q\mathcal{E}\)。这正是电荷 \(+q\)、质量 \(m_\mathrm{h}\) 的粒子在电场中的运动方程：空穴是带正电、正质量的准粒子。

硅的导带底有 6 个等价的“能谷”，每个能谷中有效质量依方向而不同（纵向 \(0.98m_0\)，横向 \(0.19m_0\)，\(m_0\) 为自由电子质量）[26]。计算载流子浓度时这些细节可以合并成一个“态密度有效质量”：导带 \(m_\mathrm{c}\approx1.18m_0\)，价带 \(m_\mathrm{v}\approx0.81m_0\)（300 K）[26]。本讲只需要知道 \(m^*\) 是一个与 \(m_0\) 同数量级的参数。

4 前置模块 II：载流子统计

4.1 费米–狄拉克分布与费米能级

电子是费米子，每个量子态（含自旋）最多容纳一个电子（泡利不相容原理）。在温度 \(T\) 下，一个能量为 \(E\) 的量子态被占据的概率是多少？

\(\mu\) 的物理意义可以从第二步读出：\(-\mu/\kB T\) 是热库每失去一个电子时 \(\ln\Omega\) 的变化，所以 \(\mu\) 是“在保持熵不变的条件下向系统加入一个电子所需的能量”。它有一个与温度完全平行的性质：

当 \(E-E_\mathrm{F}\gg\kB T\) 时，分母中的 1 可以略去： \[\tag{4.2} \begin{gathered}f(E)\approx\ee^{-(E-E_\mathrm{F})/\kB T}\\(E-E_\mathrm{F}\gtrsim3\kB T),\end{gathered}\] 即熟悉的玻尔兹曼因子。\(E-E_\mathrm{F}=3\kB T\) 时近似值偏大 \(\ee^{-3}\approx5\%\)（图 3(a)）。同理，能量为 \(E\) 的状态空着（有一个空穴）的概率 \(1-f(E)\approx\ee^{-(E_\mathrm{F}-E)/\kB T}\)（\(E_\mathrm{F}-E\gtrsim3\kB T\)）。

4.2 态密度

4.3 导带电子浓度与有效态密度

式 (4.4) 的含义很直观：导带像是在 \(E_\mathrm{c}\) 处集中了 \(N_\mathrm{c}\) 个“有效状态”，每个状态的占据概率是玻尔兹曼因子。\(N_\mathrm{c}\) 是能量在导带底以上约 \(\kB T\) 范围内的状态数（图 3(b)：导带电子的平均动能为 \(\frac32\kB T\)，与经典理想气体相同）。代入数值，\(2(2\pi m_0\kB T/h^2)^{3/2}=2.51\times10^{19}\ \mathrm{cm^{-3}}\)（300 K），乘以 \((1.18)^{3/2}\) 与 \((0.81)^{3/2}\) 得 \(N_\mathrm{c}=3.2\times10^{19}\ \mathrm{cm^{-3}}\)，\(N_\mathrm{v}=1.8\times10^{19}\ \mathrm{cm^{-3}}\)，与文献值一致[26]。

4.4 质量作用定律与本征载流子浓度

把式 (4.4) 与式 (4.5) 相乘，\(E_\mathrm{F}\) 消去： \[\tag{4.6} np=N_\mathrm{c}N_\mathrm{v}\,\ee^{-E_\mathrm{g}/\kB T}\equiv n_\mathrm{i}^2 .\] 这就是质量作用定律：在热平衡、非简并条件下，电子与空穴浓度之积只取决于材料与温度，与掺杂无关。对于不掺杂的（本征）半导体，\(n=p=n_\mathrm{i}\)， \[\tag{4.7} n_\mathrm{i}=\sqrt{N_\mathrm{c}N_\mathrm{v}}\,\ee^{-E_\mathrm{g}/2\kB T}.\] 代入硅的数值，\(n_\mathrm{i}=\sqrt{3.2\times1.8}\times10^{19}\times\ee^{-1.12/(2\times0.02585)}\ \mathrm{cm^{-3}}\approx0.94\times10^{10}\ \mathrm{cm^{-3}}\)。本讲取 \(n_\mathrm{i}=1.0\times10^{10}\ \mathrm{cm^{-3}}\)[26]（较新的精密测量给出 \(9.65\times10^{9}\ \mathrm{cm^{-3}}\)[27]，差别只使 \(\phi_\mathrm{F}\) 变化约 1 mV）。\(n_\mathrm{i}\) 对温度极为敏感：\(\dd\ln n_\mathrm{i}/\dd T=\frac{3}{2T}+\frac{E_\mathrm{g}}{2\kB T^2}\approx{0.077\,}\mathrm{K^{-1}}\)，温度每升高约 9 K，\(n_\mathrm{i}\) 就翻一番。这将决定 MOSFET 关断电流的温度依赖（例题 2）。

本征半导体的费米能级称为本征能级 \(E_\mathrm{i}\)。由 \(n=p\) 与式 (4.4)、(4.5)，\(E_\mathrm{i}=\frac12(E_\mathrm{c}+E_\mathrm{v})+\frac12\kB T\ln(N_\mathrm{v}/N_\mathrm{c})\)，对硅只比禁带中央低 7 meV，本讲把它取在禁带中央。用 \(E_\mathrm{i}\) 作参考，式 (4.4)、(4.5) 可以改写成（把 \(n_\mathrm{i}=N_\mathrm{c}\ee^{-(E_\mathrm{c}-E_\mathrm{i})/\kB T}\) 代入相除） \[\tag{4.8} \begin{gathered}n=n_\mathrm{i}\,\ee^{(E_\mathrm{F}-E_\mathrm{i})/\kB T},\\ p=n_\mathrm{i}\,\ee^{(E_\mathrm{i}-E_\mathrm{F})/\kB T}.\end{gathered}\] 费米能级每比本征能级高 \(\kB T\)，电子浓度就增大 \(\ee\) 倍、空穴浓度减小 \(\ee\) 倍。这是本讲最常用的一对公式。

4.5 掺杂：施主、受主与费米势

束缚能的估计

多出的电子与带正电的施主离子组成一个“类氢原子”，但它处在介电常数为 \(\varepsilon_\mathrm{s}=11.7\varepsilon_0\) 的介质中，质量为有效质量 \(m^*\)。把氢原子结果中的 \(\varepsilon_0\to\varepsilon_\mathrm{s}\)、\(m_0\to m^*\)：束缚能 \(E_\mathrm{d}={13.6\,}\mathrm{eV}\times\dfrac{m^*/m_0}{(\varepsilon_\mathrm{s}/\varepsilon_0)^2}\)，玻尔半径 \(a={0.053\,}\mathrm{nm}\times\dfrac{\varepsilon_\mathrm{s}/\varepsilon_0}{m^*/m_0}\)。取电导有效质量 \(m^*\approx0.26m_0\)，得 \(E_\mathrm{d}\approx{0.026\,}\mathrm{eV}\)，\(a\approx{2.4\,}\mathrm{nm}\)。实测磷与硼的电离能都约为 0.045 eV，砷为 0.054 eV[26]，量级正确。\(a\) 远大于晶格常数（0.54 nm），说明把晶体当作连续介质是自洽的。

室温下杂质几乎全部电离

束缚能与 \(\kB T\) 相当，似乎只有一部分施主会电离；实际上导带有 \(N_\mathrm{c}\sim10^{19}\ \mathrm{cm^{-3}}\) 个有效状态可去，“熵”大大有利于电离。定量地，施主能级（能量 \(E_\mathrm{c}-E_\mathrm{d}\)）可以空着（电离，1 种方式）或被一个电子占据（自旋向上或向下，2 种方式；由于库仑排斥不能放两个电子）。由第 4.1 节的推导第三步，占据与电离的概率之比为 \(2\ee^{-(E_\mathrm{c}-E_\mathrm{d}-E_\mathrm{F})/\kB T}\)；再用式 (4.4) 消去 \(E_\mathrm{F}\)： \[\tag{4.9} \frac{N_\mathrm{D}^{0}}{N_\mathrm{D}^{+}}=2\,\frac{n}{N_\mathrm{c}}\,\ee^{E_\mathrm{d}/\kB T}.\] 对 \(n=N_\mathrm{D}=10^{17}\ \mathrm{cm^{-3}}\) 的磷掺杂硅，\(2\times(10^{17}/3.2\times10^{19})\times\ee^{0.045/0.02585}=0.036\)：只有约 3.5% 的施主未电离。本讲一律假定杂质完全电离。

5 前置模块 III：漂移、扩散与半导体静电学

5.1 漂移与迁移率

低掺杂硅中 \(\mu_n\approx{1400\,}\mathrm{cm^2/(V\cdot s)}\)，\(\mu_p\approx{450\,}\mathrm{cm^2/(V\cdot s)}\)[26]。由 \(\mu_n=q\tau/m^*\)（取 \(m^*=0.26m_0\)），\(\tau\approx{0.2\,}\mathrm{ps}\)；乘以热运动速度 \({2.3\times 10^{5}\,}\mathrm{m/s}\)[26]，平均自由程约 50 nm。MOSFET 中的电子被栅电场压在离界面约 1–2 nm 的薄层内，额外受到界面粗糙度的散射，反型层的有效迁移率 \(\mu_\mathrm{eff}\) 只有体材料的 1/5 到 1/2，且随栅压增大而下降[28]。电场很强时（\(\gtrsim{10^{4}\,}\mathrm{V/cm}\)）电子从电场获得能量的速度超过散射带走能量的速度，漂移速度趋于饱和值 \(v_\mathrm{sat}\approx{10^{7}\,}\mathrm{cm/s}\)[26]，第 7.9 节再讨论。

5.2 扩散

电子带电 \(-q\)，扩散电流密度 \(J_{n}=(-q)\Phi=qD_n\,\dd n/\dd x\)；空穴为 \(J_{p}=-qD_p\,\dd p/\dd x\)。于是电子与空穴的总电流密度为 \[\tag{5.1} \begin{gathered}J_n=qn\mu_n\mathcal{E}+qD_n\dv{n}{x},\\ J_p=qp\mu_p\mathcal{E}-qD_p\dv{p}{x}.\end{gathered}\] 这叫漂移–扩散模型。

5.3 爱因斯坦关系

这是爱因斯坦关系：扩散（无规热运动）与迁移率（对外力的响应）由同一个散射过程决定，二者之比是热能 \(\kB T\)。硅中 \(D_n=1400\times0.02585\approx{36\,}\mathrm{cm^2/s}\)，与实测一致[26]。

5.4 准费米能级：漂移与扩散合为一项

5.5 能带图、泊松方程与德拜屏蔽

能带图就是电势图

若半导体中有静电势 \(\psi(x)\)，一个电子在 \(x\) 处的额外势能为 \(-q\psi(x)\)。这对导带底、价带顶、本征能级都一样，所以 \[\tag{5.4} \begin{gathered}E_\mathrm{c}(x)=E_\mathrm{c0}-q\psi(x),\\ E_\mathrm{v}(x)=E_\mathrm{v0}-q\psi(x),\\ E_\mathrm{i}(x)=E_\mathrm{i0}-q\psi(x),\end{gathered}\] 下标 0 表示体内（\(\psi=0\)）。“能带弯曲”就是静电势的空间变化：电势高处能带低。平衡时 \(E_\mathrm{F}\) 平直，代入式 (4.8) 与式 (4.10)： \[\tag{5.5} \begin{gathered}n(x)=n_0\,\ee^{\psi(x)/U_T},\\ p(x)=p_0\,\ee^{-\psi(x)/U_T}.\end{gathered}\] 这就是电子与空穴各自在势能 \(\mp q\psi\) 中的玻尔兹曼分布。

\(N_\mathrm{A}=10^{17}\ \mathrm{cm^{-3}}\) 时 \(L_\mathrm{D}={12.9\,}\mathrm{nm}\)；\(N_\mathrm{A}=10^{15}\ \mathrm{cm^{-3}}\) 时为 129 nm。金属中电子浓度约 \(10^{22}\ \mathrm{cm^{-3}}\)，屏蔽长度不到 0.1 nm¹，外加电场完全进不去——这说明了场效应器件为什么必须用半导体而不能用金属薄膜：在金属中电场只能改变表面一个原子层内的电荷，与整个薄膜的电子总数相比微不足道。半导体载流子少，电场能伸进几十纳米，同时“感应电荷”本身就足以与原有载流子相比。

6 MOS 电容：栅电场如何弯曲能带

6.1 结构与理想化假设

MOS 电容由栅（金属或重掺杂多晶硅；多晶硅是由许多微小晶粒组成的硅，重掺杂后像金属一样导电，耐高温工艺）、栅氧化层（SiO\(_2\)，厚 \(t_\mathrm{ox}\)）和半导体衬底组成，衬底背面接地。它就是一个平行板电容器，只是下极板换成了半导体。

6.2 功函数与平带电压

当 \(V_\mathrm{G}=\phi_\mathrm{ms}\) 时，各处都没有电场，能带是平的，这个栅压叫平带电压。即使 \(V_\mathrm{G}=0\)，只要两种材料的功函数不同，用导线连接后电子就会从功函数小的一侧流向大的一侧，直到费米能级对齐，此时电容器已经带电、能带已经弯曲。

若 Si/SiO\(_2\) 界面附近有单位面积为 \(Q_\mathrm{f}\) 的固定正电荷（热氧化工艺的残余，现代工艺中约 \(10^{10}\ q\,\mathrm{cm^{-2}}\)[27]），平带时半导体中没有电荷，由高斯定理，栅上的电荷 \(Q_\mathrm{G}=-Q_\mathrm{f}\)，氧化层上的电压 \(V_\mathrm{ox}=Q_\mathrm{G}/C_\mathrm{ox}\)。所以 \[\tag{6.2} V_\mathrm{FB}=\phi_\mathrm{ms}-\frac{Q_\mathrm{f}}{C_\mathrm{ox}},\qquad C_\mathrm{ox}=\frac{\varepsilon_\mathrm{ox}}{t_\mathrm{ox}} .\] 多晶硅栅：重掺杂 n\(^+\) 多晶硅的费米能级约在导带底，\(\phi_\mathrm{m}\approx\chi\)，于是 \(\phi_\mathrm{ms}\approx-(E_\mathrm{g}/2q+\phi_\mathrm{F})\)；p\(^+\) 多晶硅的 \(E_\mathrm{F}\) 约在价带顶，\(\phi_\mathrm{m}\approx\chi+E_\mathrm{g}/q\)，\(\phi_\mathrm{ms}\approx E_\mathrm{g}/2q-\phi_\mathrm{F}\)。标准器件（n\(^+\) 栅）：\(V_\mathrm{FB}=-(0.56+0.417)={-0.98\,}\mathrm{V}\)，\(C_\mathrm{ox}=3.9\times{8.854\times 10^{-12}\,}\mathrm{F/m}/{10\,}\mathrm{nm}={3.45\times 10^{-3}\,}\mathrm{F/m^2}\)。

6.3 栅压的分配与三个工作区

设半导体中单位面积的总电荷为 \(Q_\mathrm{s}\)。整个结构电中性，栅上的电荷为 \(Q_\mathrm{G}=-Q_\mathrm{s}\)（固定电荷已归入 \(V_\mathrm{FB}\)）。氧化层中没有电荷，其中电场均匀，由高斯定理 \(\mathcal{E}_\mathrm{ox}=Q_\mathrm{G}/\varepsilon_\mathrm{ox}\)，\(V_\mathrm{ox}=\mathcal{E}_\mathrm{ox}t_\mathrm{ox}=-Q_\mathrm{s}/C_\mathrm{ox}\)。代入式 (6.1)： \[\tag{6.3} \boxed{V_\mathrm{G}=V_\mathrm{FB}+\psi_\mathrm{s}-\frac{Q_\mathrm{s}(\psi_\mathrm{s})}{C_\mathrm{ox}}}\] 这是 MOS 静电学的总方程：栅压一部分降在半导体表面（\(\psi_\mathrm{s}\)），一部分降在氧化层上（\(-Q_\mathrm{s}/C_\mathrm{ox}\)）。剩下的任务是求出半导体的“电荷–电压关系” \(Q_\mathrm{s}(\psi_\mathrm{s})\)。在此之前，先定性看三种情形（图 4）：

• 积累（\(V_\mathrm{G}<V_\mathrm{FB}\)，\(\psi_\mathrm{s}<0\)）：栅带负电，表面能带向上弯，由式 (5.5)，表面空穴浓度 \(p_0\ee^{|\psi_\mathrm{s}|/U_T}\) 指数增大，多子在表面“积累”，\(Q_\mathrm{s}>0\)。

• 耗尽（\(0<\psi_\mathrm{s}<\phi_\mathrm{F}\)，即 \(V_\mathrm{G}\) 介于 \(V_\mathrm{FB}\) 与使 \(\psi_\mathrm{s}=\phi_\mathrm{F}\) 的栅压之间）：栅带正电，空穴被推离表面，留下带负电的电离受主，形成没有可动载流子的耗尽层。

• 反型（\(\psi_\mathrm{s}>\phi_\mathrm{F}\)）：表面的 \(E_\mathrm{i}\) 降到 \(E_\mathrm{F}\) 以下，由式 (4.8)，表面电子比空穴多，p 型表面“反转”成 n 型。\(\phi_\mathrm{F}<\psi_\mathrm{s}<2\phi_\mathrm{F}\) 叫弱反型，\(\psi_\mathrm{s}>2\phi_\mathrm{F}\) 叫强反型（判据的由来见第 6.6 节）。反型层中的电子与衬底之间隔着耗尽层，这层电子就是 MOSFET 的导电沟道。

6.4 泊松方程的第一积分：表面电荷的精确式

式 (6.5) 在第 6.1 节的假设下是精确的。\(F^2\) 中的三类项各有物理意义（另有常数 \(-1\)）：\(\ee^{-\psi/U_T}\) 来自空穴（积累），\(\psi/U_T\) 来自电离受主（耗尽），\((n_0/p_0)\ee^{\psi/U_T}\) 来自电子（反型）。注意 \(n_0/p_0=(n_\mathrm{i}/N_\mathrm{A})^2=\ee^{-2\phi_\mathrm{F}/U_T}\)，所以电子项可以写成 \(\ee^{(\psi-2\phi_\mathrm{F})/U_T}\)。三个区的近似（图 6(a)）： \begin{align*} &\text{积累}\ (-\psi_\mathrm{s}\gg U_T): \\ &\qquad Q_\mathrm{s}\approx\sqrt{2\varepsilon_\mathrm{s}\kB TN_\mathrm{A}}\;\ee^{-\psi_\mathrm{s}/2U_T}, \tag{6.6}\\ &\text{耗尽与弱反型}\ (U_T\ll\psi_\mathrm{s}\lesssim2\phi_\mathrm{F}): \\ &\qquad Q_\mathrm{s}\approx-\sqrt{2\varepsilon_\mathrm{s}qN_\mathrm{A}(\psi_\mathrm{s}-U_T)}, \tag{6.7}\\ &\text{强反型}\ (\psi_\mathrm{s}\gtrsim2\phi_\mathrm{F}+4U_T): \\ &\qquad Q_\mathrm{s}\approx-\sqrt{2\varepsilon_\mathrm{s}\kB TN_\mathrm{A}}\;\ee^{(\psi_\mathrm{s}-2\phi_\mathrm{F})/2U_T}. \tag{6.8} \end{align*} 积累与强反型时，\(|Q_\mathrm{s}|\) 每增大 \(\ee\) 倍，\(\psi_\mathrm{s}\) 只需增加 \(2U_T\approx{52\,}\mathrm{mV}\)；耗尽时 \(|Q_\mathrm{s}|\propto\sqrt{\psi_\mathrm{s}}\)，增长很慢。

6.5 耗尽近似

耗尽层的小信号电容为 \[\tag{6.10} C_\mathrm{d}\equiv-\dv{Q_\mathrm{d}}{\psi_\mathrm{s}}=\sqrt{\frac{\varepsilon_\mathrm{s}qN_\mathrm{A}}{2\psi_\mathrm{s}}}=\frac{\varepsilon_\mathrm{s}}{W_\mathrm{d}},\] 恰好是极板间距为 \(W_\mathrm{d}\) 的平行板电容：\(\psi_\mathrm{s}\) 变化时，电荷的增减发生在耗尽层边缘。

6.6 强反型与阈值电压

判据 \(\psi_\mathrm{s}=2\phi_\mathrm{F}\) 的由来

由式 (5.5)，表面电子浓度 \(n_\mathrm{s}=n_0\ee^{\psi_\mathrm{s}/U_T}\)。当 \(\psi_\mathrm{s}=2\phi_\mathrm{F}\) 时，\(n_\mathrm{s}=(n_\mathrm{i}^2/N_\mathrm{A})(N_\mathrm{A}/n_\mathrm{i})^2=N_\mathrm{A}\)：表面 n 型的程度与体内 p 型的程度相同。这是一个约定，但它标出了一个物理上的转折：式 (6.4) 中电子项 \(\ee^{(\psi-2\phi_\mathrm{F})/U_T}\) 在 \(\psi=2\phi_\mathrm{F}\) 时为 1，受主项 \(\psi/U_T\approx32\)；此后电子项指数增长，在 \(\psi_\mathrm{s}-2\phi_\mathrm{F}=U_T\ln(\psi_\mathrm{s}/U_T)\approx3.5U_T\approx{0.09\,}\mathrm{V}\) 时超过受主项（脚本 fig_qs.py 数值求得 \(3.55U_T\)）。超过这一点后，表面势只需再增加很少，反型电荷就能大量增加——表面势被“钉”在 \(2\phi_\mathrm{F}\) 附近。

\(V_\mathrm{T}\) 的三项依次是：消除功函数差与固定电荷所需的栅压、把能带弯曲 \(2\phi_\mathrm{F}\) 所需的半导体电压降、支撑耗尽层电荷所需的氧化层电压。标准器件：\(V_\mathrm{T}=-0.977+0.833+\dfrac{{1.663\times 10^{-3}\,}\mathrm{C/m^2}}{{3.453\times 10^{-3}\,}\mathrm{F/m^2}}={0.338\,}\mathrm{V}\)。

反型层有多薄

表面附近 \(\psi\approx\psi_\mathrm{s}-\mathcal{E}_\mathrm{s}x\)，由式 (5.5)，电子浓度按 \(\ee^{-\mathcal{E}_\mathrm{s}x/U_T}\) 衰减，厚度约 \(U_T/\mathcal{E}_\mathrm{s}\)。图 5 的情形 \(\mathcal{E}_\mathrm{s}\approx{2.9\times 10^{7}\,}\mathrm{V/m}\)，厚度约 0.9 nm（数值解中降到 \(1/\ee\) 的深度为 1.0 nm）。电子被关在宽约 1 nm 的三角形势阱中，这已接近电子的德布罗意波长，量子化效应会使电子的平均位置离开界面 1–2 nm，并使阈值电压略有升高[28]。本讲用经典统计，这一修正不影响主要结论。

p 沟道

在 n 型衬底上，一切符号反过来：栅压要足够负，表面才反型为 p 型（空穴沟道），\(V_\mathrm{T}=V_\mathrm{FB}-2|\phi_\mathrm{F}|-\sqrt{2\varepsilon_\mathrm{s}qN_\mathrm{D}\cdot2|\phi_\mathrm{F}|}/C_\mathrm{ox}<0\)，\(Q_\mathrm{p}=-C_\mathrm{ox}(V_\mathrm{G}-V_\mathrm{T})>0\)。

6.7 界面陷阱：表面态为什么能让场效应“消失”

式 (6.14) 是一个电容分压器：\(C_\mathrm{ox}\) 与 \((C_\mathrm{s}+C_\mathrm{it})\) 串联，栅压的变化按电容的反比分配。栅上新增的电荷 \(\dd Q_\mathrm{G}\) 在半导体（\(C_\mathrm{s}\)）与陷阱（\(C_\mathrm{it}\)）之间按电容正比分配：只有比例 \(C_\mathrm{s}/(C_\mathrm{s}+C_\mathrm{it})\) 进入半导体，其余被陷阱俘获、不能导电。

6.8 \(C\)–\(V\) 特性

由式 (6.5) 可以算出 \(C_\mathrm{s}(\psi_\mathrm{s})\)，再由式 (6.3) 把横轴换成 \(V_\mathrm{G}\)，就得到图 7 的 \(C\)–\(V\) 曲线。几个特征值：

• 积累：\(C_\mathrm{s}\) 随 \(|\psi_\mathrm{s}|\) 指数增大，\(C\to C_\mathrm{ox}\)。用积累区电容可以测氧化层厚度。

• 平带：把式 (6.4) 在 \(\psi\to0\) 展开，\(F^2\approx\frac{1}{2}(1+n_0/p_0)(\psi/U_T)^2\)，代入式 (6.5) 求导得 \(C_\mathrm{s}(0)=\varepsilon_\mathrm{s}/L_\mathrm{D}\)（\(L_\mathrm{D}\) 即式 (5.7)）：平带时电荷变化发生在约一个德拜长度内。标准器件 \(C_\mathrm{FB}/C_\mathrm{ox}=0.70\)。

• 耗尽：\(C_\mathrm{s}=C_\mathrm{d}=\varepsilon_\mathrm{s}/W_\mathrm{d}\) 随栅压增大而减小。

• 反型：结果取决于测量频率。若反型层电子能跟上交变电压（低频），\(C_\mathrm{s}\) 由反型层贡献，指数增大，\(C\) 回到 \(C_\mathrm{ox}\)；若跟不上（高频），反型电荷保持直流值，交变电荷只能在耗尽层边缘增减，\(C_\mathrm{s}\approx\varepsilon_\mathrm{s}/W_\mathrm{d}\)，\(W_\mathrm{d}\) 停在强反型时的最大值附近，\(C\) 停在最小值 \(C_\mathrm{min}=\left(1/C_\mathrm{ox}+W_\mathrm{d,max}/\varepsilon_\mathrm{s}\right)^{-1}\)。

为什么低频与高频不同

在一个单独的 MOS 电容里，反型层电子没有现成的来源，只能靠耗尽区中的热产生：价带电子被热激发到导带，产生电子–空穴对，电场把空穴推向体内，把电子拉到表面。耗尽区中单位体积的热产生率约为 \(n_\mathrm{i}/\tau_\mathrm{g}\)，\(\tau_\mathrm{g}\) 叫产生寿命，优质硅中为微秒到毫秒[27]；单位面积的产生电流约为 \(J_\mathrm{g}\approx qn_\mathrm{i}W_\mathrm{d}/\tau_\mathrm{g}\)。交变电压只要求反型电荷作很小的增减，但增减的速率同样受这一产生（及其逆过程复合）的限制。小信号下，反型层像一个电容 \(C_\mathrm{inv}=|Q_\mathrm{n}|/2U_T\)（第 6.6 节检验框），经由产生–复合过程充放电：设反型层电子的准费米能级相对衬底偏离 \(\delta V\)（以电压计），耗尽区的净产生电流约为 \(J_\mathrm{g}(1-\ee^{\delta V/U_T})\)（\(\delta V=0\) 时产生与复合抵消；\(\delta V>0\) 时 \(np>n_\mathrm{i}^2\)，复合占优），小信号下为 \(-J_\mathrm{g}\delta V/U_T\)，相当于电导 \(J_\mathrm{g}/U_T\)。于是响应时间 \(\tau_\mathrm{R}\sim C_\mathrm{inv}U_T/J_\mathrm{g}=|Q_\mathrm{n}|/2J_\mathrm{g}\)。刚进入强反型时 \(|Q_\mathrm{n}|\) 与 \(qN_\mathrm{A}W_\mathrm{d}\) 同量级，代入 \(J_\mathrm{g}\) 得 \(\tau_\mathrm{R}\sim\frac12(N_\mathrm{A}/n_\mathrm{i})\tau_\mathrm{g}\)；更仔细的分析给出 \(\tau_\mathrm{R}\approx2\tau_\mathrm{g}N_\mathrm{A}/n_\mathrm{i}\)[27]，与粗估同量级。标准器件取 \(\tau_\mathrm{g}={1\,}\mathrm{\mu s}\)，\(\tau_\mathrm{R}\approx2\times10^{7}\times{1\,}\mathrm{\mu s}={20\,}\mathrm{s}\)。所以即使在 1 Hz 下反型层也跟不上，常规的 1 MHz 测量给出的是高频曲线；低频曲线要用很慢的线性扫描、测量位移电流的“准静态”方法得到。若栅压扫描得太快，连直流反型层都来不及形成，半导体进入深耗尽，\(W_\mathrm{d}\) 继续增大，\(C\) 降到 \(C_\mathrm{min}\) 以下（图 7 点线）。在 MOSFET 中情形不同：重掺杂的源、漏区就在旁边，电子沿沟道流进流出，所需时间约为渡越时间 \(L^2/(\mu_\mathrm{eff}V)\)（取 \(\mu_\mathrm{eff}={300\,}\mathrm{cm^2/(V\cdot s)}\)，\(L={1\,}\mathrm{\mu m}\)、\(V={1\,}\mathrm{V}\) 时约 33 ps，\(L={10\,}\mathrm{\mu m}\) 时约 3.3 ns；按实验题器件的 \(\mu_0={425\,}\mathrm{cm^2/(V\cdot s)}\)，\(L={10\,}\mathrm{\mu m}\) 时约 2.4 ns），所以栅到沟道的电容在常规测量频率下也遵循低频曲线。

由高频 \(C\)–\(V\) 曲线可以测衬底掺杂：\(C_\mathrm{ox}\) 给出 \(t_\mathrm{ox}\)，\(C_\mathrm{min}\) 给出 \(W_\mathrm{d,max}=\varepsilon_\mathrm{s}(1/C_\mathrm{min}-1/C_\mathrm{ox})\)，再由 \(W_\mathrm{d,max}=\sqrt{2\varepsilon_\mathrm{s}\cdot2\phi_\mathrm{F}/(qN_\mathrm{A})}\)（\(\phi_\mathrm{F}\) 本身依赖 \(N_\mathrm{A}\)，迭代求解）得 \(N_\mathrm{A}\)。实验题第 (1) 问就做这件事，第 (7) 问再讨论上图注中提到的系统误差。

7 MOSFET 的电流

7.1 预备：pn 结与内建电势

MOSFET 的源、漏与衬底之间是 pn 结，下面几节反复用到它的三个性质。

7.2 器件结构与工作方式

在 MOS 电容的两侧各做一个重掺杂的 n\(^+\) 区，就得到 n 沟道 MOSFET（图 8）。两个 n\(^+\) 区分别叫源（S）和漏（D），它们之间、栅下方的区域长 \(L\)、宽 \(W\)，叫沟道区；衬底（B，也叫体）通常与源相连。以源为电压参考点，记 \(V_\mathrm{GS}\)、\(V_\mathrm{DS}\) 为栅、漏相对源的电压。

• \(V_\mathrm{GS}<V_\mathrm{T}\)：源与漏之间是 p 型区，n\(^+\)源–p–n\(^+\)漏构成两个背靠背的 pn 结，无论 \(V_\mathrm{DS}\) 正负总有一个结反偏（第 7.1 节），几乎没有电流——开关关断。

• \(V_\mathrm{GS}>V_\mathrm{T}\)：栅下表面反型为 n 型，这层电子把源与漏连通——开关导通，电流的大小由反型层电荷（即栅压）控制。

源、漏是电子的“仓库”：重掺杂区中电子极多，其准费米能级就是接在上面的金属电极的费米能级。取源端的电子准费米能级为能量零点，则漏端 \(E_\mathrm{Fn}(\text{漏})=E_\mathrm{Fn}(\text{源})-qV_\mathrm{DS}\)。沟道中记 \(E_\mathrm{Fn}(y)=-qV(y)\)，\(V(y)\) 从 \(V(0)=0\) 变到 \(V(L)=V_\mathrm{DS}\)，称为沟道电势（电子准费米势）。

7.3 沟道电流的一般表达式

式 (7.2) 把问题化成了求“沟道电势为 \(V\) 处的反型层电荷” \(Q_\mathrm{n}(V)\)。它同时包含了漂移与扩散（第 5.4 节），用一维 MOS 的精确解计算 \(Q_\mathrm{n}(V)\) 再数值积分，叫 Pao–Sah 模型[29]；本讲的数值图都以它为“精确解”。

7.4 渐变沟道近似

局部的强反型条件

在沟道中 \(y\) 处，电子的准费米势为 \(V\)，于是 \(n=n_0\ee^{(\psi-V)/U_T}\)（把式 (5.5) 中的 \(E_\mathrm{F}\) 换成 \(E_\mathrm{Fn}\)）；空穴仍是 \(p=p_0\ee^{-\psi/U_T}\)。表面电子浓度达到 \(N_\mathrm{A}\) 需要 \(\psi_\mathrm{s}=2\phi_\mathrm{F}+V\)：沟道电势每升高 1 V，能带就要多弯 1 V 才能反型。重复第 6.6 节的推导（栅相对衬底的电压是 \(V_\mathrm{GS}\)）： \[\tag{7.4} \begin{gathered}\begin{aligned}Q_\mathrm{n}(V)=-C_\mathrm{ox}\bigl[&V_\mathrm{GS}-V_\mathrm{FB}-(2\phi_\mathrm{F}+V)\\&-\gamma\sqrt{2\phi_\mathrm{F}+V}\,\bigr],\end{aligned}\\ \gamma\equiv\frac{\sqrt{2\varepsilon_\mathrm{s}qN_\mathrm{A}}}{C_\mathrm{ox}} .\end{gathered}\] 方括号中从栅压里依次扣除：平带电压、表面势 \(2\phi_\mathrm{F}+V\)、支撑耗尽层电荷 \(-\sqrt{2\varepsilon_\mathrm{s}qN_\mathrm{A}(2\phi_\mathrm{F}+V)}\) 所需的氧化层电压；剩下的部分才用来感应反型电子。

7.5 线性区与饱和区：最简单的模型

下面的公式中 \(V_\mathrm{T}\) 应理解为按某一区间外推得到的阈值 \(V_\mathrm{T}^{*}\)（第 6.6 节检验框），否则会把电流高估 20%–40%；图 9 就是这样比较的。先忽略耗尽层电荷随 \(V\) 的变化（把式 (7.4) 中的 \(\gamma\sqrt{2\phi_\mathrm{F}+V}\) 换成 \(\gamma\sqrt{2\phi_\mathrm{F}}\)），于是 \(Q_\mathrm{n}(V)=-C_\mathrm{ox}(V_\mathrm{GS}-V_\mathrm{T}-V)\)：沟道 \(y\) 处的“有效栅压”是栅与沟道之间的电压 \(V_\mathrm{GS}-V(y)\)。代入式 (7.2) 积分： \[\tag{7.5} \begin{gathered}I_\mathrm{D}=\mu C_\mathrm{ox}\frac{W}{L}\left[(V_\mathrm{GS}-V_\mathrm{T})V_\mathrm{DS}-\frac{V_\mathrm{DS}^2}{2}\right]\\(0\le V_\mathrm{DS}\le V_\mathrm{GS}-V_\mathrm{T}).\end{gathered}\]

• 线性区（\(V_\mathrm{DS}\ll V_\mathrm{GS}-V_\mathrm{T}\)）：\(I_\mathrm{D}\approx\mu C_\mathrm{ox}(W/L)(V_\mathrm{GS}-V_\mathrm{T})V_\mathrm{DS}\)。MOSFET 是一个阻值受栅压控制的电阻，电导等于反型层的薄层电导 \(\mu|Q_\mathrm{n}|\) 乘 \(W/L\)。

• 饱和：式 (7.5) 是 \(V_\mathrm{DS}\) 的开口向下的抛物线，在 \[\tag{7.6} \begin{gathered}V_\mathrm{DS,sat}=V_\mathrm{GS}-V_\mathrm{T},\\ I_\mathrm{D,sat}=\frac{\mu C_\mathrm{ox}W}{2L}(V_\mathrm{GS}-V_\mathrm{T})^2\end{gathered}\] 处取极大。此时 \(Q_\mathrm{n}(L)=-C_\mathrm{ox}(V_\mathrm{GS}-V_\mathrm{T}-V_\mathrm{DS,sat})=0\)：漏端的反型层消失，称为夹断。\(V_\mathrm{DS}>V_\mathrm{DS,sat}\) 时式 (7.5) 给出电流减小，这是错误的——它在漏端给出 \(Q_\mathrm{n}>0\)，已超出模型的适用范围。实际电流基本保持 \(I_\mathrm{D,sat}\)，这就是 MOSFET 的饱和区，\(I_\mathrm{D,sat}\propto(V_\mathrm{GS}-V_\mathrm{T})^2\) 叫平方律。

7.6 夹断的物理图像：电流为何不再增加

越靠近漏端，电子越少，横向电场越强，二者之积（正比于电流）保持不变；在 \(y\to L\) 处 \(Q_\mathrm{n}\to0\)、\(|\mathcal{E}_y|\to\infty\)（图 9(b)）。“电子为零而电流不为零”的矛盾说明 GCA 在漏端失效：当 \(|\mathcal{E}_y|\) 大到与纵向电场可比时，\(\partial^2\psi/\partial y^2\) 不能再忽略。实际情形是：在漏端附近一段长 \(\Delta L\) 的“夹断区”里，电子离开界面、密度很低，但被很强的二维电场以很高的速度（不超过饱和速度，第 7.9 节）扫进漏区，电荷并不为零。

为什么电流饱和

\(V_\mathrm{DS}\) 超过 \(V_\mathrm{DS,sat}\) 后，多出的电压 \(V_\mathrm{DS}-V_\mathrm{DS,sat}\) 几乎全部降在很短的夹断区上；从源到夹断点的沟道仍然承受电压 \(V_\mathrm{DS,sat}\)，长度仍约为 \(L\)，因而送到夹断点的电流仍约为 \(I_\mathrm{D,sat}\)。到达夹断点的电子会被强电场扫进漏区（就像反偏 pn 结收集扩散到结边缘的少子，第 7.1 节），再提高漏压只会让它们更快地落下去，不会让更多电子到来。这好比瀑布：落差再大，流量也由上游的河道决定。

7.7 体电荷修正与体效应

\(m\) 的物理意义：沟道电势升高 \(\dd V\) 时，耗尽层加深，多吸收了 \(C_\mathrm{dm}\dd V\) 的栅电荷，反型层电荷因此减少得比 \(C_\mathrm{ox}\dd V\) 更快。标准器件 \(m=1.29\)，最简单的模型把饱和电流高估了 29%。不作线性化而直接积分式 (7.4) 也可以（结果含 \((2\phi_\mathrm{F}+V_\mathrm{DS})^{3/2}\) 项），对标准器件与式 (7.9) 相差不到 5%（scripts/fig_iv.py）。

体效应

若衬底相对源加反偏 \(V_\mathrm{SB}>0\)（例如多个晶体管串联、源极不接地时），源端的沟道电势相对衬底已是 \(V_\mathrm{SB}\)，阈值条件变为 \(\psi_\mathrm{s}=2\phi_\mathrm{F}+V_\mathrm{SB}\)。栅相对衬底的电压为 \(V_\mathrm{GS}+V_\mathrm{SB}\)，由式 (7.4) 令 \(Q_\mathrm{n}=0\)、\(V=V_\mathrm{SB}\)，再减去 \(V_\mathrm{SB}\) 换回相对源的栅压： \[\tag{7.10} \begin{gathered}\begin{aligned}V_\mathrm{T}(V_\mathrm{SB})=\;&V_\mathrm{FB}+2\phi_\mathrm{F}\\&+\gamma\sqrt{2\phi_\mathrm{F}+V_\mathrm{SB}},\end{aligned}\\ \begin{aligned}V_\mathrm{T}-V_\mathrm{T0}=\gamma\bigl(&\sqrt{2\phi_\mathrm{F}+V_\mathrm{SB}}\\&-\sqrt{2\phi_\mathrm{F}}\,\bigr).\end{aligned}\end{gathered}\] 衬底像第二个栅（“背栅”），通过耗尽层电荷影响阈值。标准器件 \(\gamma={0.528\,}\mathrm{V^{1/2}}\)，\(V_\mathrm{SB}={1\,}\mathrm{V}\) 时阈值升高 0.23 V。

7.8 跨导、输出电阻与沟道长度调制

由式 (7.9)，饱和区 \(g_\mathrm{m}=\mu C_\mathrm{ox}W(V_\mathrm{GS}-V_\mathrm{T})/(mL)=2I_\mathrm{D,sat}/(V_\mathrm{GS}-V_\mathrm{T})\)；线性区 \(g_\mathrm{m}=\mu C_\mathrm{ox}(W/L)V_\mathrm{DS}\)。若饱和区电流严格不随 \(V_\mathrm{DS}\) 变化，\(r_\mathrm{o}=\infty\)。实际上 \(V_\mathrm{DS}\) 增大时夹断点向源移动，有效沟道长度缩短为 \(L-\Delta L\)，电流略有增加： \[\tag{7.11} \begin{aligned}I_\mathrm{D}&=I_\mathrm{D,sat}\frac{L}{L-\Delta L}\\&\approx I_\mathrm{D,sat}\left(1+\frac{\Delta L}{L}\right),\end{aligned}\] 这叫沟道长度调制。

由式 (7.11) 求导，\(\lambda\approx\dfrac{1}{L}\dv{\Delta L}{V_\mathrm{DS}}=\dfrac{\Delta L}{2L(V_\mathrm{DS}-V_\mathrm{DS,sat})}\)（注意不是割线 \(\Delta L/[L(V_\mathrm{DS}-V_\mathrm{DS,sat})]\)：\(\Delta L\propto\sqrt{V_\mathrm{DS}-V_\mathrm{DS,sat}}\)，二者差 2 倍）。按此模型 \(\lambda\) 随工作点变化，所以实际中 \(\lambda\) 是在给定工作点附近由测量拟合的唯象参数。标准器件、\(L={1\,}\mathrm{\mu m}\)、\(V_\mathrm{DS}-V_\mathrm{DS,sat}={1\,}\mathrm{V}\) 时 \(\Delta L\approx{0.11\,}\mathrm{\mu m}\)，\(\lambda\approx{0.06\,}\mathrm{V^{-1}}\)。由此 \[\tag{7.12} \begin{gathered}r_\mathrm{o}=\frac{1}{\lambda I_\mathrm{D0}}\approx\frac{1}{\lambda I_\mathrm{D,sat}},\\ g_\mathrm{m}r_\mathrm{o}\approx\frac{2}{\lambda(V_\mathrm{GS}-V_\mathrm{T})}\propto L .\end{gathered}\] 沟道越短，\(\lambda\propto1/L\) 越大，本征增益越低——这是模拟电路设计中短沟道器件的一个代价（例题 3）。

7.9 短沟道中的速度饱和

当 \(L={1\,}\mathrm{\mu m}\)、\(V_\mathrm{DS}\sim{1\,}\mathrm{V}\) 时，沟道中的平均电场已达 \({1\,}\mathrm{V/\mu m}\)，与 \(\mathcal{E}_\mathrm{sat}\) 可比，速度饱和不能忽略。

8 亚阈值区与玻尔兹曼极限

\(V_\mathrm{GS}<V_\mathrm{T}\) 时晶体管并没有完全关断：表面处于弱反型，仍有少量电子，电流随栅压指数变化。这个“亚阈值电流”决定了晶体管关断时的漏电，是今天芯片功耗问题的核心。

8.1 弱反型时的沟道电荷

第二步只保留了电势的一次项。附录 B.2 计入电势的二次项，结果是式 (8.1) 再乘以 \(1+U_T/[2(\psi_\mathrm{s}-U_T)]\)（式 (B.3)）：式 (8.1) 比精确值偏小 2%–3%，对指数规律没有影响。这是本讲弱反型电荷的唯一写法；下文的 \(C_\mathrm{d}\) 都指式 (8.1) 中的定义。

8.2 亚阈值电流是扩散电流

把式 (8.1) 代入式 (7.2)，\(\psi_\mathrm{s}\) 与 \(V\) 无关，积分只作用在 \(\ee^{-V/U_T}\) 上： \[\tag{8.2} \begin{aligned}I_\mathrm{D}=\;&\mu\frac{W}{L}C_\mathrm{d}U_T^2\left(\frac{n_\mathrm{i}}{N_\mathrm{A}}\right)^2\\&\times\ee^{\psi_\mathrm{s}/U_T}\left(1-\ee^{-V_\mathrm{DS}/U_T}\right).\end{aligned}\]

• \(V_\mathrm{DS}\gtrsim3U_T\approx{80\,}\mathrm{mV}\) 后电流与 \(V_\mathrm{DS}\) 无关（长沟道器件）。

• 这是扩散电流：\(\psi_\mathrm{s}\) 沿沟道不变，没有横向电场；源端的面电子密度 \(N(0)=|Q_\mathrm{n}(0)|/q\)，漏端 \(N(L)=N(0)\ee^{-V_\mathrm{DS}/U_T}\)，二者之间线性分布（扩散方程在电流不变时的解），扩散电流 \(I_\mathrm{D}=qDW[N(0)-N(L)]/L\)。用爱因斯坦关系 \(D=\mu U_T\)，正好得到式 (8.2)。同一个公式 (7.2) 在强反型时给出漂移电流、在弱反型时给出扩散电流。

8.3 亚阈值摆幅与 60 mV/dec

玻尔兹曼极限的物理图像

从源到漏看，沟道中的电子势能（导带底）在弱反型时比源区高出一个势垒。源区的电子按玻尔兹曼分布占据导带，能量高于势垒顶的电子比例 \(\propto\ee^{-E_\mathrm{b}/\kB T}\)，只有它们能进入沟道——亚阈值电流本质上是越过势垒的热发射。栅压通过电容分压改变势垒高度，\(\dd E_\mathrm{b}=-q\,\dd V_\mathrm{GS}/m\)，而 \(m\ge1\)（正电容串联分压，分到的电压不会多于总电压）。因此电流随栅压的变化不可能快于 \(\ee^{qV_\mathrm{GS}/\kB T}\)，即每 \(\ln10\cdot\kB T/q\approx{60\,}\mathrm{mV}\) 一个数量级。这个极限只来自“载流子按玻尔兹曼分布、靠热运动越过势垒”这一点，与材料无关。降低温度可以减小 \(S\)（图 11(b)），但芯片工作在室温以上。

8.4 关断电流：电源电压与阈值电压的两难

把阈值处的电流记为 \(I_\mathrm{T}\)，亚阈值区中 \(I_\mathrm{D}\approx I_\mathrm{T}10^{(V_\mathrm{GS}-V_\mathrm{T})/S}\)，于是 \(V_\mathrm{GS}=0\) 时的关断电流 \[\tag{8.5} I_\mathrm{off}\approx I_\mathrm{T}\,10^{-V_\mathrm{T}/S}.\] 标准器件：\(I_\mathrm{T}={2.4\times 10^{-7}\,}\mathrm{A}\)，\(V_\mathrm{T}/S=0.338/0.083=4.1\)，\(I_\mathrm{off}\approx{2\times 10^{-11}\,}\mathrm{A}\)（精确积分为 \({1.6\times 10^{-11}\,}\mathrm{A}\)）。

9 CMOS 与器件缩小

9.1 CMOS 反相器

把一只 nMOS 与一只 pMOS 串联在电源 \(V_\mathrm{DD}\) 与地之间：nMOS 的源接地，pMOS 的源接 \(V_\mathrm{DD}\)，两管的栅连在一起作输入 \(V_\mathrm{in}\)，两管的漏连在一起作输出 \(V_\mathrm{out}\)，输出端接下一级的栅（负载电容 \(C_\mathrm{L}\)）。这就是CMOS 反相器（互补 MOS）。

• \(V_\mathrm{in}=0\)：nMOS 的 \(V_\mathrm{GS}=0<V_\mathrm{Tn}\)，关断；pMOS 的 \(V_\mathrm{GS}=-V_\mathrm{DD}<V_\mathrm{Tp}\)（\(V_\mathrm{Tp}<0\)），导通，输出被拉到 \(V_\mathrm{DD}\)。

• \(V_\mathrm{in}=V_\mathrm{DD}\)：nMOS 导通、pMOS 关断，输出被拉到 0。

• 两种稳态下总有一只管子关断，电源到地之间没有直流通路，静态功耗只来自关断管的漏电 \(I_\mathrm{off}V_\mathrm{DD}\)。这就是 Wanlass 与 Sah“纳瓦逻辑”的含义[15]。

\(V_\mathrm{DD}={1.2\,}\mathrm{V}\)、\(V_\mathrm{T}={0.35\,}\mathrm{V}\) 时 \(\mathrm{NM}={0.54\,}\mathrm{V}\)，接近 \(V_\mathrm{DD}/2\)：CMOS 的噪声容限很大。图 12(a) 用计入 \(m\)、沟道长度调制与亚阈值电流的插值器件模型（附录 A.3）数值求解，给出 \(V_\mathrm{IL}={0.537\,}\mathrm{V}\)，与式 (9.2) 的 0.538 V 几乎相同。转换区中两管同时导通，有一个电流尖峰；静态时电流只有漏电。

电源电压能降到多低

若 \(V_\mathrm{DD}<V_\mathrm{T}\)，两管都工作在亚阈值区，反相器仍然能工作。取 \(I_D=I_0\ee^{V_\mathrm{GS}/mU_T}(1-\ee^{-V_\mathrm{DS}/U_T})\)（式 (8.2) 的形式），对称器件在中点 \(V_\mathrm{in}=V_\mathrm{out}=V_\mathrm{DD}/2\) 处对电流相等的方程求导，可得中点增益（推导见 verify_sympy.py） \[\tag{9.3} |A|=\frac{\ee^{V_\mathrm{DD}/2U_T}-1}{m} .\] 增益必须大于 1 才能恢复逻辑电平，所以 \(V_\mathrm{DD}>2U_T\ln(1+m)\approx{43\,}\mathrm{mV}\)（\(m=1.3\)）。考虑到噪声容限等因素，Swanson 与 Meindl 1972 年估计实际可用的下限约为 \(8\kB T/q\approx{0.2\,}\mathrm{V}\)（据该文摘要）[32]；这一下限如何随 \(m\) 变化，可由式 (9.3) 自行估计（例题 4）。图 12(b) 的数值解与式 (9.3) 在 \(V_\mathrm{DD}\le{0.15\,}\mathrm{V}\) 时相差不到 2%。

9.2 动态功耗与延迟

此外还有转换过程中两管同时导通的“短路功耗”（通常占百分之十几以内）与静态漏电功耗 \(I_\mathrm{off}V_\mathrm{DD}\)。

延迟

用开态电流 \(I_\mathrm{on}\)（\(V_\mathrm{GS}=V_\mathrm{DS}=V_\mathrm{DD}\) 时的饱和电流）把 \(C_\mathrm{L}\) 放电到 \(V_\mathrm{DD}/2\)，所需时间 \[\tag{9.5} t_\mathrm{p}\approx\frac{C_\mathrm{L}V_\mathrm{DD}/2}{I_\mathrm{on}} .\] 这是一个量级估计：放电过程中电流并非恒定（后半段管子进入线性区），系数约差 20%。\(N\) 个（奇数）反相器首尾相连构成环形振荡器，信号绕一圈要翻转两次才回到原状态，振荡周期 \(2Nt_\mathrm{p}\)，频率 \(f_\mathrm{osc}=1/(2Nt_\mathrm{p})\)，常用来测量工艺的门延迟。

数量级

取 \(C_\mathrm{L}={1\,}\mathrm{fF}\)、\(V_\mathrm{DD}={1\,}\mathrm{V}\)，每次充放电耗能 1 fJ。一块有 \(10^9\) 个门的芯片，\(\alpha=0.1\)、\(f={3\,}\mathrm{GHz}\)，动态功耗为 \(10^9\times0.1\times10^{-15}\times1\times3\times10^9={300\,}\mathrm{W}\)——这就是高性能处理器功耗在 100 W 量级、必须严格控制电压的原因。

9.3 Dennard 等比例缩小

由此逐项得到表 2：

结论：每一代器件更快（\(1/\kappa\)）、更省（每次开关的能量 \(1/\kappa^3\)）、更密（\(\kappa^2\)），而芯片单位面积的发热不变。Dennard 等人用 \(\kappa=5\) 把一只沟道长 5 μm、栅氧 100 nm 的器件缩小为沟道长 1 μm、栅氧 20 nm 的器件[20]。这条规则指导了此后约 30 年的集成电路发展。

9.4 缩小为何失效

表 2 假定所有电压都按 \(1/\kappa\) 缩小，但器件中有几个电压是由材料和温度决定的，不随尺寸变化：

1. 亚阈值摆幅不缩小。\(S\ge\ln10\cdot\kB T/q\) 只取决于温度。若 \(V_\mathrm{T}\) 按 \(1/\kappa\) 降低，由式 (8.5)，关断电流按 \(10^{\Delta V_\mathrm{T}/S}\) 指数增大。Dennard 等人在 1974 年的论文中已经指出亚阈值特性“不能按比例缩小”[20]。为了控制漏电，\(V_\mathrm{T}\) 停在约 0.3 V，\(V_\mathrm{DD}\) 也停在约 1 V。

2. 内建电势不缩小。\(2\phi_\mathrm{F}\)、源漏 pn 结的内建电势 \(V_\mathrm{bi}=U_T\ln(N_\mathrm{A}N_\mathrm{D}/n_\mathrm{i}^2)\)（第 7.1 节）都在 \(E_\mathrm{g}/q\approx{1\,}\mathrm{V}\) 量级，只随掺杂对数地变化，耗尽层宽度因而缩小得比 \(1/\kappa\) 慢，需要更高的掺杂来补偿。

3. 栅氧化层隧穿。2002 年的 90 nm 工艺中栅氧已薄到约 1.2 nm（只有约 5 个原子层）[33]。电子直接隧穿氧化层的概率 \(\propto\ee^{-2\kappa_\mathrm{t}t_\mathrm{ox}}\)，\(\kappa_\mathrm{t}=\sqrt{2m_\mathrm{ox}\Phi_\mathrm{B}}/\hbar\)。取 Si/SiO\(_2\) 导带势垒 \(\Phi_\mathrm{B}\approx{3.1\,}\mathrm{eV}\)[28]、氧化层中电子有效质量 \(m_\mathrm{ox}\approx0.5m_0\)，\(\kappa_\mathrm{t}\approx{6.4\,}\mathrm{nm^{-1}}\)：氧化层每薄 0.2 nm，隧穿电流约增大 \(\ee^{2.6}\approx13\) 倍。出路是改用介电常数高的材料（铪基氧化物，相对介电常数约 20）：在同样的 \(C_\mathrm{ox}\) 下物理厚度可以大几倍。英特尔 2007 年的 45 nm 工艺首次在量产中采用高介电常数栅介质与金属栅，等效氧化层厚度 1.0 nm[23]。

4. 结果。约 2004 年后电源电压基本不再降低，由式 (9.4)，在功耗受限的条件下时钟频率无法继续提高，单核性能的增长基本停止，业界转向多核[21]。尺寸仍在缩小（摩尔定律延续），但收益主要来自集成度。

9.5 短沟道效应、自然长度与多栅晶体管

沟道很短时，源、漏的电场伸进沟道，与栅“争夺”对沟道电势的控制：阈值电压随 \(L\) 减小而降低，随漏压增大而降低（漏致势垒降低，DIBL），亚阈值摆幅变差。描述这种效应的关键量是一个长度。

式 (9.6) 与德拜屏蔽方程 (5.7) 形式相同：栅“屏蔽”源、漏的影响，偏离长沟道值 \(V_\mathrm{g}'\) 的部分按 \(\ee^{-y/\ell}\) 衰减。取源端 \(\psi_\mathrm{c}(0)=V_\mathrm{bi}\)、漏端 \(\psi_\mathrm{c}(L)=V_\mathrm{bi}+V_\mathrm{DS}\)（\(V_\mathrm{bi}\) 为 n\(^+\) 源漏与沟道之间的内建电势，第 7.1 节；不掺杂硅体中约 0.5 V），解为两个指数之和；\(V_\mathrm{DS}=0\) 时 \[\tag{9.7} \begin{gathered}\frac{\psi_\mathrm{c}(y)-V_\mathrm{g}'}{V_\mathrm{bi}-V_\mathrm{g}'}=\frac{\cosh[(y-L/2)/\ell]}{\cosh(L/2\ell)},\\ \begin{aligned}\psi_\mathrm{min}-V_\mathrm{g}'&=\frac{V_\mathrm{bi}-V_\mathrm{g}'}{\cosh(L/2\ell)}\\&\approx2(V_\mathrm{bi}-V_\mathrm{g}')\ee^{-L/2\ell}.\end{aligned}\end{gathered}\] 沟道中央电子势垒的顶部（\(\psi\) 的极小值）比长沟道值低了 \(\propto\ee^{-L/2\ell}\) 的一份；加上漏压，势垒进一步降低（DIBL）。栅对势垒顶的控制力 \(\dd\psi_\mathrm{min}/\dd V_\mathrm{g}'=1-\mathrm{sech}(L/2\ell)\)，由第 8.3 节的推理，亚阈值摆幅 \[\tag{9.8} S\approx\frac{{60\,}\mathrm{mV/dec}}{1-\mathrm{sech}(L/2\ell)} .\]

几何怎样决定 \(\ell\)

式 (9.6) 的推导中，分母里的 2 来自上下两个栅各提供一份 \(\varepsilon_\mathrm{ox}/t_\mathrm{ox}\) 的“栅耦合”。推广到 \(N\) 面栅（截面近似为方形），\(\ell\approx\sqrt{\varepsilon_\mathrm{s}t_\mathrm{si}t_\mathrm{ox}/(N\varepsilon_\mathrm{ox})}\)，\(N\) 叫“等效栅数”：单栅薄体 \(N=1\)，双栅 2，三面栅（FinFET）约 3，全环绕栅 4[34]。体硅平面器件没有薄体，耗尽层深度 \(W_\mathrm{d}\) 起 \(t_\mathrm{si}\) 的作用，\(\ell\approx\sqrt{\varepsilon_\mathrm{s}W_\mathrm{d}t_\mathrm{ox}/\varepsilon_\mathrm{ox}}\)。数值（\(\varepsilon_\mathrm{s}/\varepsilon_\mathrm{ox}=3\)，等效氧化层 1 nm）：

• 平面体硅，\(W_\mathrm{d}={20\,}\mathrm{nm}\)：\(\ell\approx{7.7\,}\mathrm{nm}\)，要求 \(L\gtrsim{40\,}\mathrm{nm}\)；而 \(W_\mathrm{d}\) 要再减小就必须提高掺杂，迁移率与阈值涨落随之变差。

• FinFET，鳍宽 7 nm，\(N=3\)：\(\ell\approx{2.6\,}\mathrm{nm}\)，\(L\approx{15\,}\mathrm{nm}\) 也能保持良好栅控；全环绕栅 \(N=4\) 时 \(\ell\) 再小约 13%，而且多片纳米片叠起来可以在同样的占地面积内提供更大的沟道宽度。

这就是从平面器件走向 FinFET（2011 年）与全环绕栅（2022 年）的静电学原因（图 14）[24], [25], [34]：栅从更多方向包住一块更薄的沟道，\(\ell\) 变小，源漏电场被更有效地屏蔽。

10 决赛风格例题

例题中的数值均由 scripts/example_numbers.py 计算并用 assert 交叉核对。常数：\(\varepsilon_0={8.854\times 10^{-12}\,}\mathrm{F/m}\)，\(\varepsilon_\mathrm{s}=11.7\varepsilon_0\)，\(\varepsilon_\mathrm{ox}=3.9\varepsilon_0\)，\(n_\mathrm{i}=1.0\times10^{10}\ \mathrm{cm^{-3}}\)（300 K），\(U_T={25.85\,}\mathrm{mV}\)（300 K）。

11 实验与数据处理：从电学测量提取 MOSFET 的参数

12 小结：推导链

1. 载流子统计：玻尔兹曼因子 + 泡利原理 \(\Rightarrow\) 费米–狄拉克分布 (4.1)；平衡时费米能级处处相等。态密度 (4.3) \(\Rightarrow\) \(n=N_\mathrm{c}\ee^{-(E_\mathrm{c}-E_\mathrm{F})/\kB T}\)（式 (4.4)）\(\Rightarrow\) \(np=n_\mathrm{i}^2\)（式 (4.6)）\(\Rightarrow\) \(n=n_\mathrm{i}\ee^{(E_\mathrm{F}-E_\mathrm{i})/\kB T}\)（式 (4.8)）\(\Rightarrow\) 费米势 \(\phi_\mathrm{F}=U_T\ln(N_\mathrm{A}/n_\mathrm{i})\)（式 (4.10)）。

2. 输运与静电：漂移 + 扩散 (5.1)，平衡零电流 \(\Rightarrow\) 爱因斯坦关系 (5.2) \(\Rightarrow\) \(J_n=\mu_nn\,\dd E_\mathrm{Fn}/\dd x\)；能带图即电势图 (5.4)；高斯定理 \(\Rightarrow\) 泊松方程 (5.6) \(\Rightarrow\) 德拜屏蔽 (5.7)。

3. MOS 电容：功函数差与固定电荷 \(\Rightarrow\) \(V_\mathrm{FB}\)（式 (6.2)）；高斯定理 \(\Rightarrow\) 栅压方程 (6.3)；泊松方程第一积分 \(\Rightarrow\) \(Q_\mathrm{s}(\psi_\mathrm{s})\)（式 (6.5)）\(\Rightarrow\) 耗尽近似 (6.9)、强反型判据 \(\psi_\mathrm{s}=2\phi_\mathrm{F}\) \(\Rightarrow\) \(V_\mathrm{T}\)（式 (6.11)）与 \(Q_\mathrm{n}=-C_\mathrm{ox}(V_\mathrm{G}-V_\mathrm{T})\)（式 (6.12)；阈值上偏 0.1 V 量级，\(V_\mathrm{G}-V_\mathrm{T}\lesssim0.5\) V 时 \(|Q_\mathrm{n}|\) 被高估 30% 以上）；界面陷阱 \(\Rightarrow\) 电容分压 (6.14)；串联电容 (6.15) \(\Rightarrow\) \(C\)–\(V\) 曲线。

4. MOSFET：准费米能级 \(\Rightarrow\) \(I_\mathrm{D}=-W\mu Q_\mathrm{n}\,\dd V/\dd y\)（式 (7.1)）\(\Rightarrow\)（渐变沟道近似）\(I_\mathrm{D}=(W\mu/L)\int(-Q_\mathrm{n})\dd V\)（式 (7.2)）\(\Rightarrow\) 平方律 (7.5)–(7.6) 与夹断 \(\Rightarrow\) 体因子 \(m\) 与体效应 (7.9)、(7.10) \(\Rightarrow\) 沟道长度调制 (7.11)；速度饱和 (7.13) \(\Rightarrow\) \(I_\mathrm{D,sat}\to WC_\mathrm{ox}v_\mathrm{sat}(V_\mathrm{GS}-V_\mathrm{T})\)（式 (7.16)）。

5. 亚阈值：弱反型电荷 \(\propto\ee^{(\psi_\mathrm{s}-V)/U_T}\)（式 (8.1)）\(\Rightarrow\) 扩散电流 (8.2) \(\Rightarrow\) \(S=\ln10\cdot U_T(1+(C_\mathrm{d}+C_\mathrm{it})/C_\mathrm{ox})\ge{60\,}\mathrm{mV/dec}\)（式 (8.4)）\(\Rightarrow\) \(I_\mathrm{off}=I_\mathrm{T}10^{-V_\mathrm{T}/S}\)（式 (8.5)）。

6. CMOS 与缩小：反相器 \(V_\mathrm{M}\)、噪声容限 (9.1)、(9.2)，亚阈值增益 (9.3)；能量守恒 \(\Rightarrow\) \(P=\alpha C_\mathrm{L}V_\mathrm{DD}^2f\)（式 (9.4)）；泊松方程的标度不变性 \(\Rightarrow\) Dennard 规则（表 2）；\(S\) 与内建电势不缩小、隧穿 \(\Rightarrow\) 失效；二维拉普拉斯方程 \(\Rightarrow\) 自然长度 (9.6) \(\Rightarrow\) 短沟道效应 \(\propto\ee^{-L/2\ell}\)（式 (9.7)、(9.8)）\(\Rightarrow\) 多栅结构。

参考文献

附录 A 计算细节与插值模型

A.1 态密度积分与有效态密度

需要的积分是 \(I_{1/2}\equiv\int_0^\infty x^{1/2}\ee^{-x}\dd x\)。令 \(x=t^2\)，\(\dd x=2t\,\dd t\)： \[I_{1/2}=2\int_0^\infty t^2\ee^{-t^2}\dd t .\] 分部积分（\(u=t\)，\(\dd v=t\ee^{-t^2}\dd t\)，\(v=-\frac12\ee^{-t^2}\)）：\(2\int_0^\infty t^2\ee^{-t^2}\dd t=2\left[-\frac t2\ee^{-t^2}\right]_0^\infty+\int_0^\infty\ee^{-t^2}\dd t=\frac{\sqrt\pi}{2}\)，最后一步用了高斯积分 \(\int_0^\infty\ee^{-t^2}\dd t=\sqrt\pi/2\)（把它的平方写成平面上的二重积分，改用极坐标即得）。代入第 4.3 节： \begin{align*}n&=\frac{1}{2\pi^2}\left(\frac{2m^*\kB T}{\hbar^2}\right)^{3/2}\frac{\sqrt\pi}{2}\ee^{-(E_\mathrm{c}-E_\mathrm{F})/\kB T}\\ &=2\left(\frac{m^*\kB T}{2\pi\hbar^2}\right)^{3/2}\ee^{-(E_\mathrm{c}-E_\mathrm{F})/\kB T},\end{align*} 其中用了 \(\frac{1}{2\pi^2}\cdot2^{3/2}\cdot\frac{\sqrt\pi}{2}=2\cdot(2\pi)^{-3/2}\)。再用 \(\hbar=h/2\pi\) 即得式 (4.4)。同样的积分给出导带电子的平均动能 \(\avg{E-E_\mathrm{c}}=\kB T\,I_{3/2}/I_{1/2}=\frac32\kB T\)（\(I_{3/2}=\frac32I_{1/2}\)，分部积分），与经典理想气体相同（图 3(b)）。

数值：\(m^*=m_0\)、\(T={300\,}\mathrm{K}\) 时 \(2(2\pi m_0\kB T/h^2)^{3/2}={2.51\times 10^{25}\,}\mathrm{m^{-3}}=2.51\times10^{19}\ \mathrm{cm^{-3}}\)；\(N_\mathrm{c}\propto T^{3/2}\)。

A.2 速度饱和模型的饱和点

由第 7.9 节第三步，\(I_\mathrm{D}(L+V_\mathrm{DS}/\mathcal{E}_\mathrm{sat})=W\mu C_\mathrm{ox}g(V_\mathrm{DS})\)，\(g(V)=V_\mathrm{ov}V-mV^2/2\)。两边对 \(V_\mathrm{DS}\) 求导： \[\dv{I_\mathrm{D}}{V_\mathrm{DS}}\left(L+\frac{V_\mathrm{DS}}{\mathcal{E}_\mathrm{sat}}\right)+\frac{I_\mathrm{D}}{\mathcal{E}_\mathrm{sat}}=W\mu C_\mathrm{ox}(V_\mathrm{ov}-mV_\mathrm{DS}).\] 在极大值处 \(\dd I_\mathrm{D}/\dd V_\mathrm{DS}=0\)，所以 \(I_\mathrm{D,sat}=W\mu\mathcal{E}_\mathrm{sat}C_\mathrm{ox}(V_\mathrm{ov}-mV_\mathrm{DS,sat})=WC_\mathrm{ox}v_\mathrm{sat}(V_\mathrm{ov}-mV_\mathrm{DS,sat})\)，这就是式 (7.15) 的最后一式。把它代回原式： \begin{gather*}\mathcal{E}_\mathrm{sat}(V_\mathrm{ov}-mV)\left(L+\frac{V}{\mathcal{E}_\mathrm{sat}}\right)=V_\mathrm{ov}V-\frac m2V^2\\ \Longrightarrow\ \frac m2V^2+m\mathcal{E}_\mathrm{sat}LV-V_\mathrm{ov}\mathcal{E}_\mathrm{sat}L=0,\end{gather*} 取正根即得式 (7.15) 的第一式（\(u=2V_\mathrm{ov}/(m\mathcal{E}_\mathrm{sat}L)\)）。物理解释：漏端局部有 \(I_\mathrm{D}=W|Q_\mathrm{n}(L)|\,v(\mathcal{E}_L)\)，\(|Q_\mathrm{n}(L)|=C_\mathrm{ox}(V_\mathrm{ov}-mV_\mathrm{DS})\)；与上面的 \(I_\mathrm{D,sat}\) 比较得 \(v(\mathcal{E}_L)=v_\mathrm{sat}\)，在式 (7.13) 中这要求 \(\mathcal{E}_L\to\infty\)——与长沟道模型漏端电场发散（式 (7.7)）同理，模型在饱和点的漏端都失效，但给出的电流是可靠的。两个极限的展开：令 \(u=2V_\mathrm{ov}/(m\mathcal{E}_\mathrm{sat}L)\)，\(\sqrt{1+u}-1=u/2-u^2/8+\cdots\)。\(u\ll1\) 时 \(V_\mathrm{DS,sat}\approx V_\mathrm{ov}/m-V_\mathrm{ov}^2/(2m^2\mathcal{E}_\mathrm{sat}L)\)，\(I_\mathrm{D,sat}\approx\frac{\mu C_\mathrm{ox}W}{2mL}V_\mathrm{ov}^2\left(1-\frac{V_\mathrm{ov}}{m\mathcal{E}_\mathrm{sat}L}\right)\)；\(u\gg1\) 时得式 (7.16)。

A.3 CMOS 计算与演示所用的插值器件模型

图 12、第 9.1 节的数值与 mosfet-transfer、mosfet-cmos 两个演示，需要一个从亚阈值区连续过渡到强反型区的器件模型。本讲用 EKV 型插值式（scripts/cmoslib.py）： \begin{gather*} I_\mathrm{D}=2mkU_T^2\Bigl[F\Bigl(\frac{V_\mathrm{P}}{U_T}\Bigr)-F\Bigl(\frac{V_\mathrm{P}-V_\mathrm{DS}}{U_T}\Bigr)\Bigr](1+\lambda V_\mathrm{DS}),\\ F(z)=\ln^2\bigl(1+\ee^{z/2}\bigr),\qquad V_\mathrm{P}=\frac{V_\mathrm{GS}-V_\mathrm{T}}{m}, \end{gather*} 其中 \(k=\mu C_\mathrm{ox}W/L\)，源极接地（\(V_\mathrm{S}=0\)）。两个极限：

• 强反型（\(z\gg1\)）：\(\ln(1+\ee^{z/2})\approx z/2\)，\(F\approx z^2/4\)。若 \(V_\mathrm{P}>V_\mathrm{DS}\)（线性区），\(I_\mathrm{D}\approx\frac{mk}{2}[V_\mathrm{P}^2-(V_\mathrm{P}-V_\mathrm{DS})^2]=k[(V_\mathrm{GS}-V_\mathrm{T})V_\mathrm{DS}-\frac m2V_\mathrm{DS}^2]\)，即体电荷模型 (7.9)；若 \(V_\mathrm{DS}>V_\mathrm{P}\)，第二项趋于 0，\(I_\mathrm{D}\approx k(V_\mathrm{GS}-V_\mathrm{T})^2/(2m)\)，即饱和电流，饱和电压 \(V_\mathrm{P}=(V_\mathrm{GS}-V_\mathrm{T})/m\)。

• 弱反型（\(z\ll-1\)）：\(\ln(1+\ee^{z/2})\approx\ee^{z/2}\)，\(F\approx\ee^{z}\)，\(I_\mathrm{D}\approx2mkU_T^2\ee^{(V_\mathrm{GS}-V_\mathrm{T})/mU_T}\bigl(1-\ee^{-V_\mathrm{DS}/U_T}\bigr)\)，与式 (8.2) 同形，摆幅恰为 \(\ln10\cdot mU_T\)。

中间区域只是光滑插值，并非由第一性原理推出；本讲只把它用于反相器的半定量计算，器件物理的结论都以 Pao–Sah 精确积分为准。因子 \((1+\lambda V_\mathrm{DS})\) 使饱和区满足第 7.8 节的定义 \(\lambda=I_\mathrm{D0}^{-1}\partial I_\mathrm{D}/\partial V_\mathrm{DS}\)。

附录 B 泊松方程第一积分的推广与弱反型电荷

B.1 沟道电势不为零时的第一积分

MOSFET 沟道中电子的准费米势为 \(V\)（相对衬底），电子浓度 \(n=n_0\ee^{(\psi-V)/U_T}\)，空穴仍为 \(p=p_0\ee^{-\psi/U_T}\)。为使深处体内（\(\psi=0\)）电中性，把电荷密度写成 \[\rho=q\left[p_0\left(\ee^{-\psi/U_T}-1\right)-n_0\ee^{-V/U_T}\left(\ee^{\psi/U_T}-1\right)\right]\] （体内电子浓度 \(n_0\ee^{-V/U_T}\) 比 \(p_0\) 小十几个数量级，这样写只差可以忽略的量）。重复第 6.4 节的步骤： \[\tag{B.1} \begin{gathered}\left(\dv{\psi}{x}\right)^2=\frac{2qp_0U_T}{\varepsilon_\mathrm{s}}F_V^2(\psi),\\ \begin{aligned}F_V^2=\;&\left(\ee^{-\psi/U_T}+\frac{\psi}{U_T}-1\right)\\&+\frac{n_0}{p_0}\ee^{-V/U_T}\left(\ee^{\psi/U_T}-\frac{\psi}{U_T}-1\right).\end{aligned}\end{gathered}\] 电子项现在是 \(\ee^{(\psi-2\phi_\mathrm{F}-V)/U_T}\)：强反型需要 \(\psi_\mathrm{s}\approx2\phi_\mathrm{F}+V\)，这就是式 (7.4) 的依据。反型层电荷 \(Q_\mathrm{n}=-q\int(n-n_\mathrm{bulk})\,\dd x\) 用变量代换 \(\dd x=\dd\psi/|\dd\psi/\dd x|\) 化为对 \(\psi\) 的积分： \[\tag{B.2} Q_\mathrm{n}=-qn_0\ee^{-V/U_T}\int_0^{\psi_\mathrm{s}}\frac{\ee^{\psi/U_T}-1}{|\dd\psi/\dd x|}\,\dd\psi ,\] \(|\dd\psi/\dd x|\) 由式 (B.1) 给出。本讲的“精确解”（图 6、9、11 与实验题的数据）都用式 (B.1)、(B.2) 与栅压方程 (6.3) 数值计算（scripts/mos1d.py），并用有限差分直接解泊松方程核对（表面电场相差 \(<4\times10^{-4}\)）。

B.2 弱反型电荷的更精确形式

弱反型时，电子只分布在表面附近很薄的一层内，可以在这一层内把电势展开到二阶。由泊松方程，这一层中电荷几乎只有电离受主，\(\psi''=qN_\mathrm{A}/\varepsilon_\mathrm{s}\)，所以 \begin{gather*}\psi(x)\approx\psi_\mathrm{s}-\mathcal{E}_\mathrm{s}x+\frac{qN_\mathrm{A}}{2\varepsilon_\mathrm{s}}x^2,\\ \mathcal{E}_\mathrm{s}^2=\frac{2qN_\mathrm{A}(\psi_\mathrm{s}-U_T)}{\varepsilon_\mathrm{s}} ,\end{gather*} 后一式来自第一积分 (B.1) 略去电子项后的耗尽区形式（比耗尽近似多出 \(-U_T\)）。电子浓度 \(n=n_\mathrm{s}\exp\left[-\dfrac{\mathcal{E}_\mathrm{s}x}{U_T}+\dfrac{qN_\mathrm{A}x^2}{2\varepsilon_\mathrm{s}U_T}\right]\)，第二项相对第一项是小量（在 \(x\sim U_T/\mathcal{E}_\mathrm{s}\) 处，比值为 \(U_T/[4(\psi_\mathrm{s}-U_T)]\)）。展开 \(\ee^{\epsilon}\approx1+\epsilon\) 后逐项积分（\(\int_0^\infty x^2\ee^{-x/a}\dd x=2a^3\)，\(a=U_T/\mathcal{E}_\mathrm{s}\)）： \begin{align*}\int_0^\infty n\,\dd x&\approx n_\mathrm{s}\frac{U_T}{\mathcal{E}_\mathrm{s}}\left[1+\frac{qN_\mathrm{A}U_T}{\varepsilon_\mathrm{s}\mathcal{E}_\mathrm{s}^2}\right]\\&=n_\mathrm{s}\frac{U_T}{\mathcal{E}_\mathrm{s}}\left[1+\frac{U_T}{2(\psi_\mathrm{s}-U_T)}\right].\end{align*} 整理得 \[\tag{B.3} \begin{gathered}\begin{aligned}Q_\mathrm{n}\approx\;&-C_\mathrm{d}\,U_T\left(\frac{n_\mathrm{i}}{N_\mathrm{A}}\right)^2\ee^{(\psi_\mathrm{s}-V)/U_T}\\&\times\left[1+\frac{U_T}{2(\psi_\mathrm{s}-U_T)}\right],\end{aligned}\\ C_\mathrm{d}=\sqrt{\frac{\varepsilon_\mathrm{s}qN_\mathrm{A}}{2(\psi_\mathrm{s}-U_T)}} .\end{gathered}\] 其中 \(C_\mathrm{d}\) 即正文式 (8.1) 的定义，所以式 (B.3) 就是正文式乘以方括号。与式 (B.2) 的数值积分比较（标准器件，\(\psi_\mathrm{s}=0.45\)–0.75 V）：式 (B.3) 的误差 \(<0.4\%\)；正文式 (8.1)（去掉方括号）偏小 1.9%–3.4%；若再把 \(C_\mathrm{d}\) 中的 \(\psi_\mathrm{s}-U_T\) 换成 \(\psi_\mathrm{s}\)（耗尽近似），偏小 3.7%–6.5%。注意：直接把第一积分 (6.5) 按电子项展开，得到的“\(Q_\mathrm{s}\)（有电子）\(-Q_\mathrm{s}\)（无电子）”恰是去掉方括号的形式——它不等于电子电荷，因为电子的出现还改变了同一表面势下耗尽层的电荷。

附录 C 自然长度：改进的抛物线近似与精确本征方程

保留表面与中心的电势差

第 9.5 节第二步的连续条件 \(\varepsilon_\mathrm{s}at_\mathrm{si}=\varepsilon_\mathrm{ox}(V_\mathrm{g}'-\psi_\mathrm{c}-at_\mathrm{si}^2/4)/t_\mathrm{ox}\) 可以精确解出 \(a\)：\(a=\varepsilon_\mathrm{ox}(V_\mathrm{g}'-\psi_\mathrm{c})/[t_\mathrm{si}(\varepsilon_\mathrm{s}t_\mathrm{ox}+\varepsilon_\mathrm{ox}t_\mathrm{si}/4)]\)。代入 \(\psi_\mathrm{c}''=-2a\)： \[\tag{C.1} \ell^2=\frac{\varepsilon_\mathrm{s}t_\mathrm{si}t_\mathrm{ox}}{2\varepsilon_\mathrm{ox}}+\frac{t_\mathrm{si}^2}{8} .\]

分离变量的精确解

拉普拉斯方程是线性的，偏离长沟道值的部分 \(\phi\equiv\psi-V_\mathrm{g}'\) 满足 \(\nabla^2\phi=0\)，在栅上（\(x=\pm d\)，\(d=t_\mathrm{si}/2+t_\mathrm{ox}\)）\(\phi=0\)。试探 \(\phi=X(x)\ee^{-y/\ell}\)：\(X''+X/\ell^2=0\)。对称的最低阶解：硅中 \(X=\cos(x/\ell)\)（\(|x|<t_\mathrm{si}/2\)），氧化层中 \(X=B\sin[(d-|x|)/\ell]\)（在栅上为零）。在界面 \(x=t_\mathrm{si}/2\) 处 \(\phi\) 连续、\(\varepsilon\,\partial\phi/\partial x\) 连续： \[\cos\frac{t_\mathrm{si}}{2\ell}=B\sin\frac{t_\mathrm{ox}}{\ell},\qquad \varepsilon_\mathrm{s}\sin\frac{t_\mathrm{si}}{2\ell}=\varepsilon_\mathrm{ox}B\cos\frac{t_\mathrm{ox}}{\ell} .\] 两式相除消去 \(B\)： \[\tag{C.2} \varepsilon_\mathrm{s}\tan\frac{t_\mathrm{si}}{2\ell}\tan\frac{t_\mathrm{ox}}{\ell}=\varepsilon_\mathrm{ox}\] （取 \(t_\mathrm{si}/2\ell<\pi/2\) 的根）[37]。两个正切都取小角近似 \(\tan z\approx z\)，即回到式 (9.6)。比较（\(t_\mathrm{si}/t_\mathrm{ox}\)，单位 nm）：

（二维数值解的衰减长度由 scripts/scalelen.py 拟合，\(L={80\,}\mathrm{nm}\)，拟合区间 \(8<y<{25\,}\mathrm{nm}\)。）简单抛物线近似偏小约 20%，改进的近似偏大约 5%，精确本征方程与数值解相差 \(<1\%\)。各种近似的指数规律 \(\ee^{-L/2\ell}\) 相同，只是 \(\ell\) 的数值不同；文献中常用的“等效栅数”公式（第 9.5 节）属于简单抛物线近似一类，用于比较不同几何的趋势。

附录 D 最小二乘直线拟合

对数据 \((x_i,y_i)\)（\(i=1,\dots,N\)）拟合 \(y=a+bx\)，使 \(\chi^2=\sum_iw_i(y_i-a-bx_i)^2\) 最小（\(w_i=1/\sigma_i^2\)；各点误差未知时先取 \(w_i=1\)）。令 \(\partial\chi^2/\partial a=\partial\chi^2/\partial b=0\)，记 \(\Sigma_0=\sum w_i\)，\(\Sigma_x=\sum w_ix_i\)，\(\Sigma_y=\sum w_iy_i\)，\(\Sigma_{xx}=\sum w_ix_i^2\)，\(\Sigma_{xy}=\sum w_ix_iy_i\)，\(D_\Sigma=\Sigma_0\Sigma_{xx}-\Sigma_x^2\)： \[b=\frac{\Sigma_0\Sigma_{xy}-\Sigma_x\Sigma_y}{D_\Sigma},\qquad a=\frac{\Sigma_{xx}\Sigma_y-\Sigma_x\Sigma_{xy}}{D_\Sigma} .\] \(a\)、\(b\) 是 \(y_i\) 的线性组合，按误差传递得 \(\sigma_a^2=\Sigma_{xx}/D_\Sigma\)，\(\sigma_b^2=\Sigma_0/D_\Sigma\)，协方差 \(\mathrm{cov}(a,b)=-\Sigma_x/D_\Sigma\)。若各点误差未知，用残差估计 \(\sigma^2=\sum(y_i-a-bx_i)^2/(N-2)\)，再令 \(w_i=1/\sigma^2\)。

实验题中阈值电压是直线与横轴的交点 \(x_0=-a/b\)。\(a\) 与 \(b\) 相关，误差传递必须计入协方差： \[\sigma_{x_0}^2=\left(\frac{\sigma_a}{b}\right)^2+\left(\frac{a\sigma_b}{b^2}\right)^2-\frac{2a}{b^3}\mathrm{cov}(a,b).\] 数据点集中在 \(x_0\) 一侧时 \(a\)、\(b\) 强相关，忽略协方差会明显高估 \(\sigma_{x_0}\)。\(\lambda=b/a\) 的误差同理。