1 导读

一台实验室里的氦氖激光器，两块镜子相距几十厘米，出射光束直径约 1 mm；LIGO 引力波探测器的一条“臂”，两块 40 kg 的熔石英镜子相距约 4 km，镜面上的光斑半径约 6 cm，腔内来回奔跑的激光功率按设计可达 750 kW。两者尺度相差上万倍，背后却是同一套物理：光在两块弯曲镜子之间来回反射，什么样的镜子能把光“关住”？被关住的光在横截面上是什么形状、沿传播方向怎样变粗变细？它们只能在哪些频率上共振？

本讲用三件普通物理里能找到原型的工具回答这些问题：几何光学的“光线”（升级为 \(2\times2\) 的光线转移矩阵）、波动光学的多光束干涉（法布里–珀罗腔），以及描述光束衍射的波动方程（化为傍轴波动方程）。它们在“高斯光束”这个对象上汇合：一个复数参数 \(q\) 同时记录光束的粗细与波前的弯曲，并且像光线一样按 ABCD 矩阵变换。最后我们把这些结论用到 LIGO 臂腔，逐项核对它的设计参数。

学习目标

学完本讲，你应当能够：

1. 推导自由传播、薄透镜、球面反射镜、球面折射界面的光线转移矩阵，正确地按顺序相乘，并说明行列式为 1 的物理含义；

2. 由多光束求和得到法布里–珀罗腔的透射谱（Airy 函数）、自由光谱区、精细度、线宽与腔内功率增益；

3. 由往返矩阵的递推（或本征值）推出谐振腔的稳定条件 \(0\le g_1g_2\le1\)，并会用稳定性图判断各种腔；

4. 从亥姆霍兹方程出发，在写清小参量的前提下得到傍轴波动方程，代入验证高斯光束解，说出 \(w_0\)、\(z_{\rm R}\)、\(R(z)\)、Gouy 相位的含义；

5. 用 \(q\) 参数与 ABCD 定律处理透镜聚焦、腔模自洽、模式匹配；推出谐振频率公式并解释共焦腔的频率简并；

6. 用以上结论估算 LIGO 臂腔的光斑、功率增益、失准灵敏度与热透镜；处理刀口法测量光束参数的实验数据。

建议学时

课堂 2 学时（约 90 分钟）只讲主线（第 3–9 节中的定义、要点与关键推导）：ABCD 矩阵与法布里–珀罗腔 20 分钟；稳定性 15 分钟；傍轴方程与高斯光束 20 分钟；腔模、频率与模式匹配 20 分钟；LIGO 臂腔 15 分钟。推导细节框、例题、实验题与附录供课后阅读与练习。

推导路线

三条线索——光线矩阵与稳定性、多光束干涉、傍轴波动方程与高斯光束——在腔模与谐振频率处汇合，再用于 LIGO 臂腔；完整的依赖链见第 12 节。

2 名词与符号

符号说明：例题、实验题与附录中临时引入的字母（如例 1 的 \(p_1,p_2\)，例 3 的腔长偏离 \(s\) 与 \(\Delta R\)，实验题的斜率 \(k_1\)、系数 \(\alpha_i\)、比值 \(\gamma\) 与相对误差 \(\varepsilon_{\rm r}\)）只在该处使用，届时另行定义，与表中同字母的量无关。几个容易混淆的名词：谐振腔指两块或多块反射镜围成、使光沿同一路径反复往返的结构，本讲只讨论两块球面镜（平面镜看作 \(R\to\infty\)）的“两镜腔”；模是往返一次后横向形状完全复原、整体只乘一个复数因子的场分布，横向形状不同的叫不同横模（TEM\(_{mn}\)，第 8.5 节），横向形状相同、沿轴驻波节点数不同的叫不同纵模；稳定腔指近轴光线经任意多次往返仍留在轴附近的腔（第 6 节），说的是几何光线而非输出功率；高斯光束指横截面光强按 \(\ee^{-2r^2/w^2}\) 分布的光束，是傍轴波动方程最简单的解，也是稳定腔的基模 TEM\(_{00}\)。

3 前置模块 I：傍轴光线与 ABCD 矩阵

3.1 光线的描述与傍轴近似

取光轴为 \(z\) 轴，光大体沿 \(+z\) 方向传播。我们只考虑在含光轴的一个平面（\(y\)–\(z\) 平面）内的光线；对旋转对称的系统，这已足够。

3.2 四种基本元件的矩阵

图 1 画出了四种元件与符号约定。下面逐个推导。

3.3 级联：矩阵相乘的顺序

光依次经过元件 1、2、…、\(N\)，每个元件把前一个的出射当作自己的入射，所以 \[\tag{3.5} \begin{pmatrix}y_{\rm out}\\ \theta_{\rm out}\end{pmatrix}=\mathbf M_N\cdots\mathbf M_2\mathbf M_1\begin{pmatrix}y_{\rm in}\\ \theta_{\rm in}\end{pmatrix}.\] 先经过的元件写在最右边。这与书写顺序相反，是初学者最常犯的错误。

3.4 行列式为 1 的意义

由式 (3.1)–(3.4)，自由传播、薄透镜、反射镜的行列式都是 1，折射界面是 \(n_1/n_2\)。由乘积规则 \(\det(\mathbf M_2\mathbf M_1)=\det\mathbf M_2\det\mathbf M_1\)，任何光学系统的 \[\tag{3.6} \det\mathbf M=AD-BC=\frac{n_{\rm in}}{n_{\rm out}} ,\] 中间经过的界面都相互抵消，只剩首末两端的折射率之比。入射与出射在同一种介质中时，\(\det\mathbf M=1\)。本讲的谐振腔都在空气或真空中，往返矩阵的行列式恒为 1，这一点在第 6 节求稳定条件时是关键。

4 前置模块 II：法布里–珀罗腔的多光束干涉

这一节暂时忽略光束的横向结构，把腔内的光当作沿轴往返的平面波，只关心“相位”与“振幅”的记账。

4.1 复振幅

叠加原理：几列同频率的光在同一点叠加，复振幅直接相加。干涉现象就是复数相加时辐角起的作用。

4.2 多光束求和：透射与腔内场

4.3 自由光谱区、线宽与精细度

4.4 腔内功率增益与阻抗匹配

由式 (4.3)，共振时（\(\ee^{\ii\delta}=1\)）腔内功率与入射功率之比为 \[\tag{4.10} G=\frac{T_1}{(1-r_1r_2)^2}\approx\frac{4T_1}{(T_1+\ell)^2},\] 其中 \(\ell\equiv T_2+\ell_1+\ell_2\)，近似式用了 \(r_1r_2\approx1-(T_1+\ell)/2\)。把 \(\ell\)（除输入镜透射以外的全部往返损耗）看作给定，\(G\) 作为 \(T_1\) 的函数在 \(T_1=\ell\) 时最大（对 \(T_1\) 求导即得），最大值 \(G_{\max}=1/\ell\)。

5 前置模块 III：从亥姆霍兹方程到傍轴波动方程

5.1 亥姆霍兹方程

把式 (4.1) 代入波动方程：\(\pdv{^2}{t^2}\) 作用在 \(\ee^{-\ii\omega t}\) 上给出 \(-\omega^2\)，于是复振幅满足亥姆霍兹方程 \[\tag{5.1} \nabla^2U+k^2U=0,\qquad k=\omega/c .\] 平面波 \(\ee^{\ii kz}\) 与球面波 \(\ee^{\ii k\rho}/\rho\)（\(\rho\) 为到点源的距离）都是它的解（后者可在球坐标中直接验证）。

5.2 球面波的傍轴形式

注意保留相位二次项、丢掉四次项的条件与“振幅近似”的条件不同：相位乘了很大的 \(k\)，所以要求更严。Fox–Li 的例子（第 8.1 节）中这个条件只是勉强满足，傍轴积分与精确积分的损耗相差约 2%。

5.3 慢变包络近似与傍轴波动方程

激光束几乎是沿 \(z\) 传播的平面波，只是横截面有限、并且横向分布随 \(z\) 缓慢变化。把这一图像写成 \[\tag{5.3} U(x,y,z)=u(x,y,z)\,\ee^{\ii kz},\] \(\ee^{\ii kz}\) 携带快速振荡的相位，\(u\) 叫包络。

丢掉式 (5.4) 的最后一项，得到傍轴波动方程： \[\tag{5.5} \boxed{\ \nabla_\perp^2u+2\ii k\pdv{u}{z}=0\ }\]

5.4 菲涅耳衍射积分

傍轴方程是线性的，所以已知 \(z=0\) 平面上的包络 \(u_0(x',y')\) 后，可以把这个平面上的每一点当作一个次波源（惠更斯原理），把它们发出的傍轴球面波叠加起来： \[\tag{5.6} \begin{split} u(x,y,z)&=\frac{k}{2\pi\ii z}\iint u_0(x',y')\\ &\quad\times\exp\!\Big[\ii k\frac{(x-x')^2+(y-y')^2}{2z}\Big]\\ &\quad\times\dd x'\dd y' . \end{split}\] 被积函数中的指数就是从 \((x',y',0)\) 到 \((x,y,z)\) 的傍轴球面波（式 (5.2)，平移了原点），上面已验证它满足式 (5.5)，所以叠加后的 \(u\) 也满足。前面的常数 \(k/(2\pi\ii z)\) 由一个要求确定：均匀平面波（\(u_0=1\)）传播后应保持为 1。由附录 B 的菲涅耳积分 \(\int_{-\infty}^{\infty}\ee^{\ii ax^2}\dd x=\sqrt{\pi\ii/a}\)（\(a>0\)）可验证这一点。式 (5.6) 叫菲涅耳衍射积分，它把傍轴方程的求解化为一次积分，是第 8.1 节 Fox–Li 数值实验的工具。对于只在 \(x\) 方向有限、\(y\) 方向无限长的“条形”问题，对 \(y'\) 的积分可以先做掉，得到一维形式：前因子变为 \(\sqrt{k/(2\pi\ii z)}\)，只保留 \(x\) 的指数。

6 谐振腔的几何稳定性

6.1 展开的腔：周期性透镜序列

两镜腔：镜 1（曲率半径 \(R_1\)）与镜 2（\(R_2\)）相距 \(L\)，凹面朝向腔内为正。按第 3.2 节，把每次反射展开成一个焦距 \(R_i/2\) 的透镜，光在腔内的无数次往返就变成了沿一条直线穿过一串透镜：间距 \(L\)，焦距交替为 \(R_2/2\)、\(R_1/2\)、\(R_2/2\)、……这串透镜每两片重复一次，一个“周期”对应光在腔内往返一次。

6.2 往返矩阵

以“刚在镜 1 上反射之后、向镜 2 出发”的位置为参考面。光依次经过：自由传播 \(L\)、镜 2 反射、自由传播 \(L\)、镜 1 反射。按式 (3.5)，先经过的写在右边： \[\tag{6.2} \mathbf M=\mathbf F_{R_1/2}\,\mathbf T_L\,\mathbf F_{R_2/2}\,\mathbf T_L .\]

两个最重要的组合： \[\tag{6.4} \det\mathbf M=1,\qquad h\equiv\frac{A+D}{2}=2g_1g_2-1 .\] 行列式为 1 不必再算：四个因子的行列式都是 1（第 3.4 节）。半迹 \(h\) 只依赖于乘积 \(g_1g_2\)——这一点并非偶然：若把参考面换到镜 2，往返矩阵变为 \(\mathbf F_{R_2/2}\mathbf T_L\mathbf F_{R_1/2}\mathbf T_L\)，它与 \(\mathbf M\) 只差“从哪里开始数”，两者的迹相同（一般地 \(\operatorname{tr}(\mathbf X\mathbf Y)=\operatorname{tr}(\mathbf Y\mathbf X)\)，可直接展开验证）。

6.3 多次往返：递推、本征值与稳定条件

光线往返 \(p\) 次后的状态为 \(\mathbf v_p=\mathbf M^p\mathbf v_0\)。我们要问：\(p\to\infty\) 时 \(y_p\) 是否有界？

把 \(h=2g_1g_2-1\) 代入 \(-1\le h\le1\)： \[\tag{6.8} \boxed{\ 0\le g_1g_2\le1\ }\qquad\text{（等号对应临界稳定）}\] 这就是两镜腔的稳定条件[6], [8]。

6.4 稳定性图与几种典型腔

以 \(g_1\)、\(g_2\) 为坐标轴，稳定区是第一、三象限中夹在坐标轴与双曲线 \(g_1g_2=1\) 之间的部分（图 3(a)）。几种典型腔：

三个对称特例都在边界上，“临界”的方式各不相同。平行平面腔：\(\mathbf M=\begin{pmatrix}1&2L\\0&1\end{pmatrix}\)，与轴成 \(\theta\) 角的光线每次往返横移 \(2L\theta\)，线性走出镜面，模完全由镜边衍射决定（第 8.1 节）。同心腔：\(\mathbf M=\begin{pmatrix}-3&-2L\\8/L&5\end{pmatrix}\)，\(h=1\) 但 \(\mathbf M\ne\mathbf I\)，光线一般也线性发散。共焦腔：\(\mathbf M=-\mathbf I\)，任何傍轴光线往返一次变成 \((-y,-\theta)\)、两次复原（第 8.6 节会看到它对应频率简并）；光线并不走失，模存在且衍射损耗很低（第 8.3 节）。共焦腔的“临界”在于它位于两条坐标轴的交点：若两镜曲率稍有不等，\(L\) 介于 \(R_1\)、\(R_2\) 之间时 \((g_1,g_2)\) 落入第二、四象限而不稳定（例题 3）。实际激光器通常工作在稳定区内部，离边界有一定余量。

7 高斯光束

本节在傍轴方程 (5.5) 中寻找横向有限、能量集中在轴附近的解。

7.1 试探解与复参数 \(q\)

第 5.3 节验证了傍轴球面波 \(u=\frac1z\ee^{\ii k(x^2+y^2)/(2z)}\) 满足式 (5.5)。它的问题是：\(z\) 为实数时，\(\abs{u}\) 在横向不衰减，不能代表一束光。一个大胆的尝试是把 \(z\) 换成一般的复函数。

于是 \(q(z)=z-z_0'\)，\(z_0'\) 是任意复常数。\(z_0'\) 为实数时回到傍轴球面波；要得到横向有限的光束，取 \(z_0'\) 的虚部非零。把 \(z\) 的原点选在合适的位置，并按惯例记 \(q=z-\ii z_{\rm R}\)（\(z_{\rm R}>0\) 为实常数，下面会看到符号为什么这样取）： \[\tag{7.3} q(z)=z-\ii z_{\rm R},\qquad u=\frac{A_0}{q}\exp\!\Big[\ii k\frac{r^2}{2q}\Big].\]

7.2 光斑、波前与 Gouy 相位

合起来，基模高斯光束的复振幅为 \[\tag{7.4} \begin{split} U(r,z)=U_0\,&\frac{w_0}{w(z)}\exp\!\Big[-\frac{r^2}{w^2(z)}\Big]\\ &\times\exp\!\Big[\ii\Big(kz+\frac{kr^2}{2R(z)}-\psi(z)\Big)\Big] \end{split}\] 其中 \begin{align*} w(z)&=w_0\sqrt{1+(z/z_{\rm R})^2}, \tag{7.5}\\ R(z)&=z\big[1+(z_{\rm R}/z)^2\big], \tag{7.6}\\ \psi(z)&=\arctan(z/z_{\rm R}), \tag{7.7}\\ z_{\rm R}&=\frac{\pi w_0^2}{\lambda}. \tag{7.8} \end{align*} 式 (7.5) 由 \(w^2=\frac{\lambda}{\pi z_{\rm R}}(z^2+z_{\rm R}^2)\) 得到：令 \(z=0\) 得 \(w_0^2=\lambda z_{\rm R}/\pi\)，即式 (7.8)；再代回即得式 (7.5)。

7.3 远场发散角与衍射

由式 (7.5)，\(\abs z\gg z_{\rm R}\) 时 \(w\approx w_0\abs z/z_{\rm R}\)，远场发散半角 \[\tag{7.9} \theta_0=\frac{w_0}{z_{\rm R}}=\frac{\lambda}{\pi w_0},\qquad w_0\theta_0=\frac{\lambda}{\pi}.\] 这是衍射的普遍规律“发散角 \(\sim\lambda/\)孔径”的精确版本：光束越细，发散越快。乘积 \(w_0\theta_0\) 是第 3.4 节所说“位置–角度面积”的度量。可以证明（用光束横向分布的二阶矩，见第 7.6 节）：在所有傍轴光束中，基模高斯光束的这一乘积最小，任何其他光束都满足 \(W_0\Theta_0=M^2\lambda/\pi\)，\(M^2\ge1\)。

7.4 ABCD 定律

现在把高斯光束送过光学元件。光束由复参数 \(q\) 完全确定（\(q\) 给出 \(R\) 与 \(w\)；整体振幅与相位另行跟踪），所以只需知道每个元件怎样改变 \(q\)。

把两个结果与对应的 ABCD 矩阵并排写： \begin{align*} \mathbf T_d&=\begin{pmatrix}1&d\\0&1\end{pmatrix}:& q_2&=\frac{1\cdot q_1+d}{0\cdot q_1+1};\\ \mathbf F_f&=\begin{pmatrix}1&0\\-1/f&1\end{pmatrix}:& q_2&=\frac{q_1}{-q_1/f+1}=\frac{1\cdot q_1+0}{-\frac1f q_1+1}. \end{align*} 两者都具有同一形式： \[\tag{7.10} \boxed{\ q_2=\frac{Aq_1+B}{Cq_1+D}\ }\] 这就是ABCD 定律[7]。

7.5 透镜聚焦与束腰的“成像”

7.6 实际光束：\(M^2\) 因子

实际激光束往往不是纯粹的基模。为了用统一的方式描述，ISO 11146 标准用光强分布的二阶矩定义光束半径[17], [18]： \[\tag{7.14} W_x^2(z)\equiv4\,\frac{\int x^2I(x,y,z)\,\dd x\dd y}{\int I\,\dd x\dd y},\] 其中光束中心取为 \(x=0\)。 对基模高斯光束，\(I\propto\ee^{-2x^2/w^2}\)，\(\langle x^2\rangle=w^2/4\)，所以 \(W_x=w\)，定义是自洽的。由傍轴方程可以证明（附录 G）：对任何傍轴光束，\(W_x^2(z)\) 都严格是 \(z\) 的二次函数，可写成 \[\tag{7.15} \begin{split} &W_x^2(z)=W_0^2\Big[1+\Big(\frac{z-z_0}{z_{\rm R}}\Big)^2\Big],\\ &W_0\,\Theta_0=M^2\frac{\lambda}{\pi},\qquad \Theta_0=\frac{W_0}{z_{\rm R}} , \end{split}\] 形式与式 (7.5) 相同，只是束腰与发散角的乘积是基模的 \(M^2\) 倍。\(M^2\ge1\)，等号当且仅当光束是基模高斯光束（这是傅里叶分析中“宽度 × 频谱宽度”不等式的推论[18]，本讲不证）。

8 谐振腔的本征模

8.1 模从哪里来：重做 Fox–Li 的数值实验

在讨论高斯光束之前，先看一个不依赖任何假设解的“实验”。两块宽 \(2a\)、在另一方向无限长的条形平面镜相距 \(b\)。在镜 1 上放一个初始场 \(u_0(x)\)，用一维菲涅耳积分（第 5.4 节）算出它到达镜 2 时的场，截去镜面以外的部分（那部分光从镜边漏掉了），再算回镜 1……如此反复。这正是 Fox 与厉鼎毅 1961 年在 IBM 704 上做的事[2]。

图 6 是我们按 Fox–Li 原文的参数（\(2a=50\lambda\)，\(b=100\lambda\)，\(N=6.25\)）、从均匀平面波出发重做的结果。第 1 次渡越后，振幅与相位上有许多涟漪——均匀照明的镜面边缘衍射出的菲涅耳条纹；随着渡越次数增加，涟漪逐渐减弱，场在镜边变小、中间变大；约 200–300 次以后（原文的判据是相邻两次渡越的场分布之差小于 0.03%），每次渡越的功率损耗收敛到一个常数，相对分布不再改变。这个不再改变的分布就是模：它满足“传播一次 = 乘一个复常数 \(\Gamma\)”，即积分方程 \(\Gamma\,u(x)=\int_{-a}^{a}\mathcal K(x,x')u(x')\dd x'\) 的本征解（\(\mathcal K\) 是一维衍射积分的核），\(\abs\Gamma^2\) 是每次渡越保留的功率比例，\(\arg\Gamma\) 是相对几何相移 \(kb\) 的附加相位。

几点观察，后面会一一得到解释：模的振幅在中心最大、向镜边单调减小，与高斯光束相似，但平面镜腔的模由镜边衍射决定，不是严格的高斯函数；每次渡越的相位比 \(kb\) 超前 1.59°，这是有限横向尺寸带来的附加相位，与第 7.2 节的 Gouy 相位同源；换成曲面镜组成的稳定腔，模的光斑远小于镜面，衍射损耗可以低几个数量级（Fox–Li 原文对共焦腔的计算即如此[2]；演示中可以切换验证），这样的模可以用解析的高斯光束描述。

8.2 自洽条件：往返后 \(q\) 不变

在稳定腔中，镜面足够大（光斑远小于镜面，镜边衍射可忽略），腔内的光可以用高斯光束描述。一束高斯光束成为“模”的条件是：在腔内往返一次后，它的 \(q\) 参数复原。由 ABCD 定律，这就是 \[\tag{8.1} q=\frac{Aq+B}{Cq+D},\] 其中 \(\mathbf M=\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\) 是以某参考面为起点的往返矩阵。

8.3 两镜腔的模：镜面就是波前

高斯光束的等相位面是曲率半径 \(R(z)\) 的球面；一块球面镜要把光束原样反射回去，镜面必须与到达那里的波前重合（否则反射波的波前与入射波不同，往返后就不是同一束光）。这给出两镜腔模的直接求法。

与自洽解对照：取式 (6.3)（参考面在镜 1 反射之后），\(\frac{D-A}{2B}=\frac{-4g_2(1-g_1)}{4g_2L}=-\frac1{R_1}\)，即刚离开镜 1 的波前是半径 \(R_1\) 的会聚球面，正好贴合镜 1；再用 \(1-h^2=4g_1g_2(1-g_1g_2)\) 代入式 (8.3)，得到同一个 \(w_1^2\)。两种方法一致（\(g_1,g_2\) 同号时 \(\abs{g_2}/\sqrt{g_1g_2}=\sqrt{g_2/g_1}\)）。

8.4 谐振频率

模的横向形状由 \(q\) 决定；它的频率由“往返一次相位增加 \(2\pi\) 的整数倍”决定（第 4.3 节的共振条件）。与平面波相比，高斯光束的轴上相位多了 \(-\psi(z)\)（式 (7.4)）。

接下来要把 \(\Delta\psi\) 用 \(g_1,g_2\) 表示。可以把式 (8.4)、(8.5) 代入 \(\cos\Delta\psi=\frac{z_{\rm R}^2-z_1z_2}{\sqrt{(z_1^2+z_{\rm R}^2)(z_2^2+z_{\rm R}^2)}}\) 硬算（附录 A）；下面给出一个更有启发的推导，它把 Gouy 相位与光线的往返相位 \(\Phi\) 联系起来。

于是基模的谐振频率为 \[\tag{8.9} \nu_j=\frac{c}{2L}\Big[j+\frac{1}{\pi}\arccos\big(\pm\sqrt{g_1g_2}\big)\Big],\] 其中 \(g_1,g_2>0\) 时取 \(+\)，\(g_1,g_2<0\) 时取 \(-\)。对 TEM\(_{00}\) 模，第二项只是让整个频率梳平移，相邻纵模仍相隔 \(c/(2L)\)。它的真正作用在下一小节的高阶横模中显现。

8.5 高阶横模：厄米–高斯模

傍轴方程还有其他解。最低的一个可以直接验证：

\(u_{10}\) 比基模多了因子 \(x/q\)。由第 7.2 节，\(\frac1q=\frac{\ii\,\ee^{-\ii\psi}}{z_{\rm R}}\frac{w_0}{w}\)，所以 \(\frac xq\propto\frac{x}{w}\ee^{-\ii\psi}\)（略去常数）：横向形状多了一个过零点的因子 \(x/w\)，积累的相位再少一个 \(\psi\)（即再超前 \(\psi\)）。一般地， \[\tag{8.10} \begin{split} u_{mn}\propto\frac{w_0}{w}\,&H_m\!\Big(\frac{\sqrt2x}{w}\Big)H_n\!\Big(\frac{\sqrt2y}{w}\Big)\ee^{-r^2/w^2}\\ &\times\exp\!\Big[\ii\frac{kr^2}{2R}-\ii(1+m+n)\psi(z)\Big], \end{split}\] 叫厄米–高斯模 TEM\(_{mn}\)。这里 \(H_m\) 是厄米多项式：\(H_0=1\)，\(H_1(\xi)=2\xi\)，\(H_2=4\xi^2-2\)，\(H_3=8\xi^3-12\xi\)，一般由递推 \(H_{m+1}=2\xi H_m-2mH_{m-1}\) 生成；\(H_m\) 有 \(m\) 个实零点，所以 TEM\(_{mn}\) 的光强在 \(x\) 方向有 \(m\) 条暗线、\(y\) 方向有 \(n\) 条（图 8(a)）。式 (8.10) 满足傍轴方程的证明见附录 C：代入后归结为 \(H_m''-2\xi H_m'+2mH_m=0\)（厄米方程），而这个方程只有当 \(m\) 为非负整数时才有不在无穷远处“压倒”高斯因子的多项式解。三点要记住：

1. 所有 TEM\(_{mn}\) 共用同一个 \(q\)，即同样的 \(w(z)\) 与 \(R(z)\)——所以同一个稳定腔的镜面同时与它们的波前重合，它们都是这个腔的模。

2. 高阶模的光斑更宽：TEM\(_{m0}\) 在 \(x\) 方向的二阶矩宽度为 \(W_x=w\sqrt{2m+1}\)（附录 C）。在腔内放一个光阑可以挡掉高阶模、只留基模，这是激光器选模的常用办法。

3. Gouy 相位乘以 \((1+m+n)\)。对旋转对称的拉盖尔–高斯模（另一组完备的模），对应的因子是 \((1+2s+\abs l)\)（\(s\)、\(l\) 为径向与角向指数）；本讲不展开。

把式 (8.9) 的推导中 \(\Delta\psi\) 换成 \((1+m+n)\Delta\psi\)： \[\tag{8.11} \boxed{\ \nu_{jmn}=\frac{c}{2L}\Big[j+(1+m+n)\frac{\arccos(\pm\sqrt{g_1g_2})}{\pi}\Big]\ }\] 这就是 Kogelnik 与厉鼎毅给出的两镜腔谐振频率公式[8]。同一纵模序数 \(j\) 下，横模阶数 \(m+n\) 每增加 1，频率升高 \[\tag{8.12} \Delta\nu_{\rm T}=\nu_{\rm FSR}\,\frac{\arccos(\pm\sqrt{g_1g_2})}{\pi},\] 称为横模间隔。它总是小于 \(\nu_{\rm FSR}\)，所以横模频率夹在纵模之间（图 8(b)）。

8.6 频率简并

若 \(\Delta\psi/\pi\) 是有理数，不同 \((j,m,n)\) 的频率可以完全重合，称为频率简并。

• 共焦腔（\(g_1=g_2=0\)）：\(\Delta\psi=\pi/2\)，\(\nu_{jmn}=\frac{c}{2L}\big(j+\frac{1+m+n}{2}\big)\)。\(m+n\) 为偶数的所有模与 TEM\(_{00}\) 的频率重合；奇数的模恰好落在两个 TEM\(_{00}\) 共振的正中间。若入射光没有与腔模严格匹配（同时激发了各阶横模），透射峰每隔 \(c/(4L)\) 出现一次，“有效自由光谱区”减半，但峰的位置与入射光的横向形状、对准误差无关。这正是“共焦扫描干涉仪”用来测激光光谱的原理（例题 3）。它与第 6.4 节“共焦腔 \(\mathbf M=-\mathbf I\)、光线两次往返复原”是同一事实的两面：光线两次往返（光程 \(4L\)）回到原状态，对应频率间隔 \(c/(4L)\)。

• 平行平面腔（\(g=1\)）：\(\Delta\psi=0\)，按式 (8.11) 所有横模都与基模简并。实际上平面镜腔不满足“光斑远小于镜面”的前提，简并由镜边衍射解除：Fox–Li 算出的 1.59° 相位超前就是衍射给出的“Gouy 相位”，不同横模的这一相位不同，频率也就略有不同[2]。

• 一般的再入条件：若 \(\Phi=2\pi j_1/j_2\)（\(j_1,j_2\) 为互质整数），光线往返 \(j_2\) 次后回到原状态；相应地 \(m+n=j_2\) 的横模与基模的频率相差 \(j_1\) 个自由光谱区，二者简并。设计激光器时通常要避开低阶简并，否则高阶模容易与基模同时起振；而“Herriott 多次反射池”等器件反过来利用再入条件让光在两镜间走很多次。

8.7 模式匹配

实验中常需要把一束外来的激光“送进”一个无源腔（参考腔、模式清洁器——一种只让 TEM\(_{00}\) 共振透过、借此滤掉光束中高阶模成分的短腔——以及 LIGO 臂腔）。只有入射光与腔的 TEM\(_{00}\) 模在形状和位置上都吻合，共振时才能全部耦合进去。

9 应用：LIGO 的法布里–珀罗臂腔

引力波使两条臂的长度发生方向相反的微小变化（相对长度变化即“应变”约 \(10^{-21}\)，两条 4 km 臂的长度差变化约 \(4\times10^{-18}\) m），迈克耳孙干涉仪把它转换成输出端的光强变化。法布里–珀罗臂腔在这里起两个作用：放大“臂长变化 → 光相位变化”的转换系数，以及把有限的激光功率堆积起来（图 9）。

9.1 为什么用法布里–珀罗臂腔：相位放大

于是同样的臂长变化，在臂腔中产生的反射光相位变化是普通迈克耳孙臂（光在臂中往返一次，相位变化 \(2k\Delta L\)）的 \(2\mathcal F/\pi\) 倍。LIGO 臂腔 \(T_1=1.4\%\)，放大约 \(4/0.014\approx286\) 倍，相当于让光在 4 km 臂中往返约 280 次（等效光程约 2000 km）。注意光子在腔内的平均往返次数只有 \(1/\Lambda\approx71\)（式 (4.8)），多出的 4 倍来自各次往返光的相干叠加。这个结论只对比储能时间慢的信号成立：信号频率高于腔极点 \(\delta\nu/2\)（式 (4.9)）时，光在腔内来不及累积，放大倍数下降。

9.2 设计参数的逐项核对

表 3 中，镜面光斑与 \(g_1g_2\) 的计算值与设计值完全一致——这说明 LIGO 的镜面曲率半径正是按照第 8.3 节的公式、为得到指定光斑而选的。几个说明：

• 由于 \(g_1,g_2<0\)，\(\Delta\psi=\arccos(-\sqrt{0.83})=155.7°>90°\)。由式 (8.11)，TEM\(_{10}\) 比 TEM\(_{00}\) 高 \(0.865\nu_{\rm FSR}\)，即比下一个 TEM\(_{00}\) 纵模低 \(0.135\nu_{\rm FSR}=5.07\) kHz。远大于 85 Hz 的线宽，高阶横模不会与基模同时共振，臂腔起到“模式过滤”的作用。

• 分束器处 5.2 kW 由两臂平分，每臂入射 2.6 kW，乘以增益 281 得 730 kW，比设计值 750 kW 小 3%。设计文献正是按 75 ppm 往返损耗算出 5.2 kW 与 750 kW 的[10]，所以差别不来自损耗：由式 (4.10)，即使臂腔完全无损，\(G\le T_1/(1-\sqrt{1-T_1})^2=283.7\)，2.6 kW 入射也只有约 738 kW。这 2–3% 的出入属于设计表中 5.2 kW、1.4%、750 kW 等数值的取整，不宜在 1% 量级上比较。（设计文献另按实测镜面形貌估计往返损耗约 44 ppm，好于 75 ppm 的目标。）

• 实际运行中，第三期观测的平均臂腔功率约为 200–240 kW（文献 [13]），低于设计值，限制来自热效应与“参量不稳定性”（腔内高阶光学模与镜子的声学振动模通过光压相互放大）等高功率问题，下面会讨论其中的热透镜。

9.3 光斑尺寸的取舍：热噪声、截断损耗与稳定性边缘

为什么要大光斑

镜面镀膜内部的微观热运动使镜面位置随机起伏（布朗热噪声）。激光读出的是光斑范围内镜面位置的加权平均。粗略地说，若镜面由许多尺度为 \(\ell_c\) 的独立起伏小块组成，光斑覆盖 \(\sim(w/\ell_c)^2\) 块，平均后的起伏按 \(1/\sqrt{\text{块数}}\propto1/w\) 减小。Levin 的严格计算[19]与 Harry 等对镀膜的分析[20]给出同样的结论，设计文献明确说明“镀膜热噪声引起的位移噪声与光斑尺寸成反比”[10]。

大光斑的代价之一：截断损耗

镜面直径 34 cm，半径 \(a=17\) cm。按第 7.2 节，高斯光束落在半径 \(a\) 以外的功率比例为 \(\ee^{-2a^2/w^2}\)。ETM 上 \(w_2=6.2\) cm 时为 \(\ee^{-15.0}=2.9\times10^{-7}\)，远小于 75 ppm 的损耗预算；若光斑增大到 9 cm，则为 \(\ee^{-7.1}=8\times10^{-4}\)，已超出预算十倍。（这只是简单截断的估计，真实的衍射损耗还与镜面边缘的形状有关。）

代价之二：靠近稳定性边缘

对固定的 \(L\) 与 \(\lambda\)，由式 (8.6)，要让两块镜子上的光斑同时远大于共焦腔的 \(\sqrt{L\lambda/\pi}=3.68\) cm，只能 \(g_1g_2\to1\)（只让 \(g_1\to0\) 会使 \(w_1\to\infty\) 而 \(w_2\to0\)；图 10(a)）。LIGO 的 \(g_1g_2=0.83\) 就是为此付出的代价：

1. 对曲率半径误差敏感。两镜曲率半径同时增大 50 m（2.5%），\(g_1g_2\) 从 0.83 降到 0.75，光斑缩小约 9%（图 10(b)）。第 9.4 节会看到，热变形恰好会造成几十米的曲率变化。

2. 对失准敏感。腔的光轴是两镜曲率中心的连线（只有沿这条线，光才垂直打在两镜上并原路返回）。镜 \(i\) 绕其顶点转过小角 \(\vartheta_i\)，曲率中心横移 \(R_i\vartheta_i\)；新光轴与两镜的交点（光斑中心）随之移动。由几何关系可得（例题 4 推导） \[\tag{9.2} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\frac{L}{1-g_1g_2}\begin{pmatrix}g_2&1\\1&g_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\vartheta_1\\ \vartheta_2\end{pmatrix}.\] 因子 \(1/(1-g_1g_2)\) 在稳定边缘发散。LIGO 的 \(L/(1-g_1g_2)=23.5\) km：ETM 倾斜 1 nrad，ITM 上的光斑就移动 \(24\,\mu\)m。

近同心还是近平面

式 (8.6) 只依赖于 \(g_1g_2\) 与 \(g_2/g_1\)，把 \((g_1,g_2)\) 换成 \((-g_1,-g_2)\) 光斑不变：LIGO 的近同心设计有一个光斑相同的“孪生”近平面设计。设计文献选择近同心，理由是辐射压力矩[10], [11]：光斑偏离镜心时光压（750 kW 时 \(2P/c\approx5\) mN）产生力矩，而式 (9.2) 说明光斑位置又由镜子倾斜决定，两者构成反馈。例题 4 将算出：近平面设计中光学刚度大的那个模式是反恢复的，近同心设计中它是恢复的。

9.4 热透镜

镀膜对 1064 nm 光的吸收虽只有约 0.5 ppm（设计上限；实测 0.2–0.4 ppm[10]），乘以 750 kW 的腔内功率，每块测试质量的高反射面要吸收约 375 mW。热量从镜面中心（光斑处）向四周传导，中心比边缘热；熔石英的折射率随温度升高（\(\dd n/\dd T>0\)），于是 ITM 基底变成一块中心光程更长的“正透镜”——热透镜。

热透镜对 LIGO 的影响要分开看：

• ITM 基底热透镜：臂腔内 750 kW 的光不穿过 ITM 基底（只在其高反射面上反射），所以它主要影响的是穿过 ITM 基底、在功率循环腔与信号循环腔中传播的光——这两个腔的模与臂腔模的匹配被破坏（第 8.7 节）。设计文献指出这是最主要的热畸变[10]。

• 表面热变形：吸热使镜面中心微微鼓起（热膨胀），设计文献估计未补偿时会使 ITM 与 ETM 的曲率半径增大几十米、光斑缩小约 10%[10]——与图 10(b) 中 \(\Delta R=+50\) m 时光斑缩小 9% 的计算一致。光斑变小会增大镀膜热噪声，并降低臂腔与循环腔之间的模式匹配。

• 补偿：环形加热器从镜子侧面加热，产生与吸收热透镜符号相反的折射率分布与表面变形；CO\(_2\) 激光照射补偿板，按需要的空间分布“写入”光程修正；波前传感器监测热透镜[12]。¹

10 决赛风格例题

四道例题都要求在正文没有直接给出的情境中建立模型。数值答案由 scripts/examples.py 重算并交叉核对。

11 实验与数据处理：刀口法测光束参数与 \(M^2\)

12 小结：推导链

光线：折射/反射定律 \(\xrightarrow{\text{傍轴}}\) ABCD 矩阵（式 (3.1)–(3.4)，逆序相乘，同介质 \(\det=1\)）\(\to\) 往返矩阵（式 (6.3)）\(\xrightarrow{\text{凯莱–哈密顿}}\) 二阶递推（式 (6.6)）\(\to\) 稳定条件 \(0\le g_1g_2\le1\)（式 (6.8)），光线往返相位 \(\cos\Phi=2g_1g_2-1\)。 干涉：等比级数 \(\to\) Airy 函数（式 (4.4)）\(\to\) 自由光谱区、精细度、线宽、储能时间（式 (4.6)–(4.9)）、腔内增益与阻抗匹配（式 (4.10)）。 波动：亥姆霍兹方程 \(\xrightarrow{\text{慢变包络，小参量 }\theta_0^2}\) 傍轴方程（式 (5.5)）\(\to\) \(\dd q/\dd z=1\) 的高斯光束（式 (7.4)–(7.8)）\(\to\) ABCD 定律（式 (7.10)）\(\to\) 聚焦与束腰成像（式 (7.11)–(7.13)）。 腔模：往返后 \(q\) 不变（式 (8.1)）\(\Leftrightarrow\) 光线稳定（共焦边界除外）；“镜面 = 波前”给出束腰与光斑（式 (8.4)–(8.6)）；往返 Gouy 相位与 \(\Phi\) 同余弦 \(\to\) \(\cos^2\Delta\psi=g_1g_2\) \(\to\) 谐振频率（式 (8.11)），横模因子 \(1+m+n\) 给出横模间隔与共焦简并；正交性 \(\to\) 模式匹配（式 (8.14)、(8.15)）。 LIGO：相位放大 \(2\mathcal F/\pi\)（式 (9.1)），光斑与稳定边缘、失准矩阵（式 (9.2)），热透镜（式 (9.4)）。

参考文献

附录 A 两镜腔模的代数细节

束腰位置

由正文，\(z_1(R_1+R_2-2L)=L(R_2-L)\)。代入 \(R_i=L/(1-g_i)\)： \begin{align*} R_2-L&=\frac{Lg_2}{1-g_2},\\ R_1+R_2-2L&=L\,\frac{(1-g_2)+(1-g_1)-2(1-g_1)(1-g_2)}{(1-g_1)(1-g_2)}\\ &=L\,\frac{g_1+g_2-2g_1g_2}{(1-g_1)(1-g_2)} . \end{align*} 相除得 \(z_1=\frac{g_2(1-g_1)}{g_1+g_2-2g_1g_2}L\)。由对称性得 \(z_2\)；可验证 \(z_1+z_2=L\frac{g_2-g_1g_2+g_1-g_1g_2}{g_1+g_2-2g_1g_2}=L\)。

瑞利长度

\(z_{\rm R}^2=z_1(R_1-z_1)\)。\(R_1-z_1=\frac{L}{1-g_1}-\frac{g_2(1-g_1)L}{D_g}\)，其中 \(D_g\equiv g_1+g_2-2g_1g_2\)。通分：\(R_1-z_1=\frac{L[D_g-g_2(1-g_1)^2]}{(1-g_1)D_g}\)。分子 \(D_g-g_2(1-2g_1+g_1^2)=g_1-g_1^2g_2=g_1(1-g_1g_2)\)。所以 \[z_{\rm R}^2=\frac{g_2(1-g_1)L}{D_g}\cdot\frac{g_1(1-g_1g_2)L}{(1-g_1)D_g}=\frac{g_1g_2(1-g_1g_2)}{D_g^2}L^2 .\]

镜面光斑

\(w_1^2=w_0^2(1+z_1^2/z_{\rm R}^2)=\frac{\lambda}{\pi z_{\rm R}}(z_{\rm R}^2+z_1^2)\)。\(z_{\rm R}^2+z_1^2=\frac{L^2g_2}{D_g^2}[g_1(1-g_1g_2)+g_2(1-g_1)^2]=\frac{L^2g_2}{D_g^2}D_g=\frac{L^2g_2}{D_g}\)（方括号展开后恰为 \(D_g\)）。于是 \(w_1^2=\frac{\lambda}{\pi}\frac{L^2g_2/D_g}{L\sqrt{g_1g_2(1-g_1g_2)}/\abs{D_g}}\)。稳定腔中 \(g_2/D_g>0\)（\(g_1,g_2\) 同号时 \(D_g=g_1(1-g_2)+g_2(1-g_1)\) 与它们同号，因为 \(g_i\le1\)），化简即得式 (8.6)。

\(\cos\Delta\psi\) 的显式计算

由 \(\tan\psi_i=z_i/z_{\rm R}\)， \[\cos(\psi_1+\psi_2)=\frac{z_{\rm R}^2-z_1z_2}{\sqrt{(z_{\rm R}^2+z_1^2)(z_{\rm R}^2+z_2^2)}} .\] 分子：\(z_{\rm R}^2-z_1z_2=\frac{L^2}{D_g^2}[g_1g_2(1-g_1g_2)-g_1g_2(1-g_1)(1-g_2)]=\frac{L^2g_1g_2}{D_g^2}D_g=\frac{L^2g_1g_2}{D_g}\)。分母：由上一段，\(\sqrt{\frac{L^2g_2}{D_g}\cdot\frac{L^2g_1}{D_g}}=\frac{L^2\sqrt{g_1g_2}}{\abs{D_g}}\)。所以 \[\cos\Delta\psi=\frac{g_1g_2}{\sqrt{g_1g_2}}\cdot\frac{\abs{D_g}}{D_g}=\pm\sqrt{g_1g_2},\] 符号与 \(D_g\) 相同，即与 \(g_1,g_2\) 相同。这确认了式 (8.9) 的符号规则。（verify_sympy.py 对多组 \(g\) 值做了数值核对，含 LIGO 参数。）

附录 B 复参数的高斯积分与菲涅耳积分

对实数 \(\alpha>0\)，\(\int_{-\infty}^{\infty}\ee^{-\alpha x^2}\dd x=\sqrt{\pi/\alpha}\)（换元 \(x=t/\sqrt\alpha\)）。正文多次用到 \(\alpha\) 为复数、\(\Re\alpha>0\) 的情形。论证如下：记 \(I(\alpha)=\int\ee^{-\alpha x^2}\dd x\)。当 \(\Re\alpha>0\) 时被积函数的模 \(\ee^{-(\Re\alpha)x^2}\) 可积，积分收敛，并且可以在积分号下对 \(\alpha\) 求导：\(I'(\alpha)=-\int x^2\ee^{-\alpha x^2}\dd x\)。分部积分（\(x\ee^{-\alpha x^2}\dd x=-\frac{1}{2\alpha}\dd(\ee^{-\alpha x^2})\)）得 \(I'=-\frac{1}{2\alpha}I\)。这个一阶方程的解是 \(I=C\alpha^{-1/2}\)；在正实轴上 \(I=\sqrt{\pi/\alpha}\) 定出 \(C=\sqrt\pi\)。所以对一切 \(\Re\alpha>0\)，\(I(\alpha)=\sqrt{\pi/\alpha}\)，其中 \(\sqrt{\ }\) 取实部为正的那一支。

二维轴对称形式 \(\int_0^\infty\ee^{-\alpha r^2}2\pi r\,\dd r=\pi/\alpha\) 可直接积出（\(2r\,\dd r=\dd(r^2)\)），对 \(\Re\alpha>0\) 同样成立。

菲涅耳积分：\(\int_{-\infty}^{\infty}\ee^{\ii ax^2}\dd x\)（\(a>0\)）相当于 \(\alpha=-\ii a\)，\(\Re\alpha=0\)，处在收敛边界上。取 \(\alpha=\epsilon-\ii a\) 再令 \(\epsilon\to0^+\)（物理上相当于给场一点点横向衰减），得 \(\sqrt{\pi/(-\ii a)}=\sqrt{\pi\ii/a}=\sqrt{\pi/a}\,\ee^{\ii\pi/4}\)。由此可验证式 (5.6) 的前因子：\(u_0=1\) 时二维积分为 \(\big(\sqrt{\pi\ii\cdot2z/k}\big)^2=2\pi\ii z/k\)，乘以 \(k/(2\pi\ii z)\) 恰为 1。

附录 C 厄米–高斯模

分离变量

傍轴方程 \(\partial_x^2u+\partial_y^2u+2\ii k\partial_zu=0\) 中 \(x\)、\(y\) 地位独立。若 \(u=X(x,z)Y(y,z)\)，且 \(X\) 满足一维方程 \(\partial_x^2X+2\ii k\partial_zX=0\)、\(Y\) 也满足同样的方程，则代入得 \(Y(\partial_x^2X+2\ii k\partial_zX)+X(\partial_y^2Y+2\ii k\partial_zY)=0\)。所以只需求一维解。一维基模为 \(X_0=q^{-1/2}\ee^{\ii kx^2/(2q)}\)（与正文的推导相同，只是一维时 \(\nabla_\perp^2\) 只给出 \(\ii k/q\) 一项，前因子变为 \(q^{-1/2}\)）；其 Gouy 相位为 \(\psi/2\)，两个方向合起来恰为正文的 \(\psi\)。

高阶解

试探 \(X_m=H(\xi)\,\ee^{-\ii m\psi(z)}X_0\)，\(\xi\equiv\sqrt2x/w(z)\)。计算中要用到三个关系：\(\partial_xX_0=\frac{\ii kx}{q}X_0\)；\(\partial_x\xi=\sqrt2/w\)，\(\partial_z\xi=-\xi w'/w\)；以及由式 (7.5)–(7.7) 直接求导得到的 \(\frac{w'}{w}=\frac{z}{z^2+z_{\rm R}^2}=\frac1R\)、\(\psi'=\frac{z_{\rm R}}{z^2+z_{\rm R}^2}=\frac{2}{kw^2}\)。代入 \(\partial_x^2X_m+2\ii k\partial_zX_m\)，利用 \(X_0\) 本身满足方程消去 \(H\) 不求导的项，剩下（公共因子 \(\ee^{-\ii m\psi}X_0\) 略去）： \[\frac{2}{w^2}H''+H'\Big[2\cdot\frac{\sqrt2}{w}\cdot\frac{\ii kx}{q}-2\ii k\,\xi\frac{w'}{w}\Big]+2km\psi'H .\] 用 \(x=\xi w/\sqrt2\)，方括号 \(=2\ii k\xi\big(\frac1q-\frac1R\big)=2\ii k\xi\cdot\frac{\ii\lambda}{\pi w^2}=-\frac{4\xi}{w^2}\)（用了 \(\frac1q-\frac1R=\ii\frac{\lambda}{\pi w^2}\) 与 \(k\lambda=2\pi\)）。末项 \(2km\cdot\frac{2}{kw^2}=\frac{4m}{w^2}\)。合起来： \[\frac{2}{w^2}\big[H''-2\xi H'+2mH\big]=0 ,\] 即厄米方程。用幂级数 \(H=\sum_ka_k\xi^k\) 代入，同次幂系数给出递推 \(\frac{a_{k+2}}{a_k}=\frac{2(k-m)}{(k+1)(k+2)}\)。若级数不截断，\(k\) 很大时比值 \(\to2/k\)，与 \(\ee^{\xi^2}=\sum\xi^{2j}/j!\) 的相邻系数比相同，于是 \(H\sim\ee^{\xi^2}\)，乘上场的高斯因子 \(\ee^{-\xi^2/2}\) 后仍发散，不是物理解。递推只联系 \(a_k\) 与 \(a_{k+2}\)，奇次项与偶次项是两条独立的级数。级数截断（得到多项式）当且仅当 \(m=0,1,2,\dots\)，此时与 \(m\) 同奇偶的那一支在 \(k=m\) 处截断，另一支必须取其首项系数为零；解就是厄米多项式 \(H_m\)（可用递推 \(H_{m+1}=2\xi H_m-2mH_{m-1}\) 逐个验证，例如 \(H_2=4\xi^2-2\)：\(H_2''-2\xi H_2'+4H_2=8-16\xi^2+16\xi^2-8=0\)）。每个方向的 Gouy 相位为 \((m+\tfrac12)\psi\)，二维合起来为 \((1+m+n)\psi\)，即式 (8.10)。

正交性

厄米方程可写成 \((\ee^{-\xi^2}H_m')'=-2m\,\ee^{-\xi^2}H_m\)（展开左边即得）。对 \(H_n\) 写同样的式子，两式分别乘 \(H_n\)、\(H_m\) 后相减并对 \(\xi\) 积分；左边分部积分后为 \([\ee^{-\xi^2}(H_nH_m'-H_mH_n')]_{-\infty}^{\infty}=0\)，于是 \(2(n-m)\int H_mH_n\ee^{-\xi^2}\dd\xi=0\)。所以 \(m\ne n\) 时 \(\int H_mH_n\ee^{-\xi^2}\dd\xi=0\)；\(m=n\) 时可用递推求得 \(\int H_m^2\ee^{-\xi^2}\dd\xi=2^mm!\sqrt\pi\)（例：\(m=1\) 时 \(\int4\xi^2\ee^{-\xi^2}=2\sqrt\pi\)）。由于场的横向部分为 \(H_m(\xi)\ee^{-\xi^2/2}\)，模的正交性 \(\int u_m^*u_n\dd x=0\) 就是这条关系（相位因子 \(\ee^{\ii kx^2/2R}\) 在 \(u_m^*u_n\) 中相消）。

二阶矩

TEM\(_{m0}\) 在 \(x\) 方向的光强 \(\propto H_m^2(\xi)\ee^{-\xi^2}\)。利用厄米多项式的正交关系与 \(\xi H_m=\frac12H_{m+1}+mH_{m-1}\)（由递推式改写），可得 \(\langle\xi^2\rangle=m+\frac12\)，即 \(\langle x^2\rangle=\frac{w^2}{2}(m+\frac12)=\frac{(2m+1)w^2}{4}\)，故二阶矩宽度 \(W_x=2\sqrt{\langle x^2\rangle}=w\sqrt{2m+1}\)。\(m=1\) 时 \(\langle x^2\rangle=3w^2/4\)，可直接用 \(\int\xi^4\ee^{-\xi^2}\dd\xi\big/\int\xi^2\ee^{-\xi^2}\dd\xi=3/2\) 核对。

附录 D 两束高斯光束的匹配效率

两束同轴基模高斯光束，束腰分别为 \(w_1\)（在 \(z=0\)）与 \(w_2\)（在 \(z=\Delta\)）。在 \(z=0\) 面上计算式 (8.13)：\(U_1=\ee^{-r^2/w_1^2}\)；\(U_2\propto\frac{1}{q_2}\ee^{\ii kr^2/(2q_2)}\)，\(q_2=-\Delta-\ii z_{\rm R2}\)。交叠积分 \(\int U_1^*U_2\,2\pi r\,\dd r=\frac{1}{q_2}\cdot\frac{\pi}{\alpha}\)，\(\alpha=\frac1{w_1^2}-\frac{\ii k}{2q_2}\)（\(\Re\alpha>0\)，附录 B）。\(\abs{U_2}^2\) 的积分为 \(\frac{1}{\abs{q_2}^2}\frac{\pi w_2^2(-\Delta)}{2}\)，其中 \(w_2^2(-\Delta)=w_2^2(1+\Delta^2/z_{\rm R2}^2)\)。利用 \(\abs{q_2}^2=z_{\rm R2}^2+\Delta^2\)，后者化为 \(\pi w_2^2/(2z_{\rm R2}^2)\)；\(\abs{U_1}^2\) 的积分为 \(\pi w_1^2/2\)。于是 \begin{align*} \eta&=\frac{\pi^2/\abs{\alpha q_2}^2}{\frac{\pi w_1^2}{2}\cdot\frac{\pi w_2^2}{2z_{\rm R2}^2}}=\frac{4z_{\rm R2}^2}{w_1^2w_2^2\abs{\alpha q_2}^2},\\ \abs{\alpha q_2}^2&=\Big|\frac{-\Delta-\ii z_{\rm R2}}{w_1^2}-\frac{\ii k}{2}\Big|^2\\ &=\frac{\Delta^2}{w_1^4}+\Big(\frac{z_{\rm R2}}{w_1^2}+\frac k2\Big)^2 . \end{align*} 代入 \(z_{\rm R2}=kw_2^2/2\)：\(\frac{z_{\rm R2}}{w_1^2}+\frac k2=\frac k2\big(1+\frac{w_2^2}{w_1^2}\big)\)，分子分母同乘 \(\frac{4w_1^2}{k^2w_2^2}\)，并用 \(2/k=\lambda/\pi\)，得 \[\eta=\frac{4}{\big(\frac{w_1}{w_2}+\frac{w_2}{w_1}\big)^2+\big(\frac{\lambda\Delta}{\pi w_1w_2}\big)^2} .\] \(\Delta=0\) 时回到正文结果；\(w_1=w_2=w_0\) 时 \(\eta=1/[1+(\Delta/2z_{\rm R})^2]\)：束腰错开一个瑞利长度损失 20%。verify_sympy.py 在一组数值上核对了上式与直接积分一致，examples.py 用数值积分在三组参数上核对（差别 \(<10^{-6}\)）。

附录 E 热透镜模型中的函数 Ein

\(\mathrm{Ein}(x)=\int_0^x\frac{1-\ee^{-u}}{u}\dd u\)。把 \(1-\ee^{-u}=u-\frac{u^2}{2!}+\frac{u^3}{3!}-\cdots\) 逐项除以 \(u\) 再积分： \[\mathrm{Ein}(x)=x-\frac{x^2}{2\cdot2!}+\frac{x^3}{3\cdot3!}-\cdots ,\] 所以小 \(x\) 时 \(\mathrm{Ein}(x)\approx x\)（温度分布在轴附近是抛物线，热透镜近似为理想透镜）。大 \(x\) 时，\(\int_0^x\frac{1-\ee^{-u}}{u}\dd u=\ln x+\gamma_{\rm E}+E_1(x)\)，其中 \(\gamma_{\rm E}=0.5772\) 为欧拉常数，\(E_1(x)=\int_x^\infty\frac{\ee^{-u}}{u}\dd u\approx\frac{\ee^{-x}}{x}\) 很快趋于零，所以远离光斑处温度随 \(\ln r\) 变化——这正是无限长线热源的二维导热解。\(\mathrm{Ein}(2)=1.3193\)。fig_thermal.py 用数值求积核对了这些值，并直接数值积分径向导热方程验证了式 (9.3)。

附录 F 加权线性最小二乘与协方差

模型 \(y=\sum_{k=1}^p\alpha_k\varphi_k(u)\) 对参数 \(\alpha_k\) 是线性的（\(\varphi_k\) 是已知函数，如 \(1,u,u^2\)）。有 \(n_{\rm d}\) 个数据点 \((u_i,y_i)\)，各自的标准差 \(\sigma_i\)。令 \[\chi^2(\vect\alpha)=\sum_{i=1}^{n_{\rm d}}\frac{\big[y_i-\sum_k\alpha_k\varphi_k(u_i)\big]^2}{\sigma_i^2} .\] 对每个 \(\alpha_k\) 求偏导并令其为零，得到 \(p\) 个线性方程（正规方程）。用矩阵写：设 \(A_{ik}=\varphi_k(u_i)\)，\(\mathbf W=\mathrm{diag}(1/\sigma_i^2)\)，则 \[(\mathbf A^{\rm T}\mathbf W\mathbf A)\,\vect\alpha=\mathbf A^{\rm T}\mathbf W\vect y,\qquad \mathbf V_\alpha=(\mathbf A^{\rm T}\mathbf W\mathbf A)^{-1}.\] 若误差模型正确（\(\sigma_i\) 是真实的标准差、模型无系统偏差），最小的 \(\chi^2\) 是一个随机量，期望值为 \(\nu=n_{\rm d}-p\)（自由度），标准差为 \(\sqrt{2\nu}\)；它所服从的分布叫自由度为 \(\nu\) 的 \(\chi^2\) 分布，\(\chi^2\) 落在某一范围内的概率可查表或由软件算出。\(\chi^2\) 远大于 \(\nu\) 说明误差低估或模型不对，远小于 \(\nu\) 说明误差高估或是少见的涨落。\(\mathbf V_\alpha\) 是参数的协方差矩阵：对角元是各参数的方差，非对角元 \(V_{jk}\) 描述 \(\alpha_j\) 与 \(\alpha_k\) 的误差是否“一起偏”；相关系数 \(V_{jk}/\sqrt{V_{jj}V_{kk}}\)。若只知道 \(\sigma_i\) 的相对大小（如实验题中 \(\sigma_i\propto w_i^2\)），先用相对权重求解，再把 \(\mathbf V_\alpha\) 乘以 \(\chi^2/\nu\)（\(\nu=n_{\rm d}-p\)）。直线拟合是 \(p=2\)、\(\varphi_1=1\)、\(\varphi_2=u\) 的特例，此时 \(2\times2\) 的正规方程可手算。

由参数算出的量 \(f(\vect\alpha)\)（如束腰、\(M^2\)）的方差为 \(\sigma_f^2=\sum_{j,k}\frac{\partial f}{\partial\alpha_j}V_{jk}\frac{\partial f}{\partial\alpha_k}\)；只用对角元等于假设参数间无相关，在参数强相关时会严重高估或低估（实验题第 (4) 问）。

附录 G 二阶矩宽度严格按二次函数传播

只看 \(x\) 方向（对 \(y\) 积分后的问题与一维相同）。\(u(x,z)\) 满足 \(\partial_x^2u+2\ii k\partial_zu=0\)，即 \(\partial_zu=\frac{\ii}{2k}u''\)（撇号表示 \(\partial_x\)），共轭为 \(\partial_zu^*=-\frac{\ii}{2k}u^{*\prime\prime}\)。设 \(u\) 及其导数在 \(\abs x\to\infty\) 时足够快地趋于零（有限光束），以下分部积分的边界项都为零。

第一步：功率守恒

\(\partial_z\abs u^2=u^*\partial_zu+u\partial_zu^*=\frac{\ii}{2k}(u^*u''-uu^{*\prime\prime})=\frac{\ii}{2k}\partial_x(u^*u'-uu^{*\prime})\) 是全导数，所以 \(P=\int\abs u^2\dd x\) 不随 \(z\) 变。同理，\(u'\) 也满足同一方程，所以 \(\mathcal Q\equiv\int\abs{u'}^2\dd x\) 也不随 \(z\) 变。

第二步：\(\Sigma=\int x^2\abs u^2\dd x\) 的一阶导数

用第一步的全导数并分部积分一次： \begin{align*} &\dv{\Sigma}{z}=\frac{\ii}{2k}\int x^2\partial_x(u^*u'-uu^{*\prime})\dd x=\frac1k J,\\ &J\equiv-\ii\int x\,(u^*u'-uu^{*\prime})\dd x\quad(\text{实数}). \end{align*}

第三步：\(J\) 的导数

对 \(J\) 求导，含 \((\partial_zu)'\) 与 \((\partial_zu^*)'\) 的两项各分部积分一次，再代入 \(\partial_zu=\frac{\ii}{2k}u''\)，整理得 \begin{align*} \dv{J}{z}&=\frac{1}{2k}\int\Big[-2x\,\partial_x\abs{u'}^2-(u^*u''+uu^{*\prime\prime})\Big]\dd x\\ &=\frac{1}{2k}\big[2\mathcal Q+2\mathcal Q\big]=\frac{2\mathcal Q}{k}, \end{align*} 其中用了 \(u'u^{*\prime\prime}+u^{*\prime}u''=\partial_x\abs{u'}^2\) 与 \(\int(u^*u''+uu^{*\prime\prime})\dd x=-2\mathcal Q\)（各分部积分一次）。

结论

\(\frac{\dd^2\Sigma}{\dd z^2}=\frac{2\mathcal Q}{k^2}\) 是常数，所以 \(\Sigma(z)\)、从而 \(W_x^2=4\Sigma/P\) 严格是 \(z\) 的二次函数。配方即得式 (7.15) 的形式。检验：基模 \(u\propto\ee^{-x^2/w_0^2}\)（束腰处）有 \(\mathcal Q/P=1/w_0^2\)，\(\frac{\dd^2}{\dd z^2}\frac{W_x^2}{4}=\frac{2}{k^2w_0^2}\)；而由式 (7.5)，\(\frac{\dd^2}{\dd z^2}\frac{w^2}{4}=\frac{w_0^2}{2z_{\rm R}^2}=\frac{2}{k^2w_0^2}\)（用 \(z_{\rm R}=kw_0^2/2\)），一致。