第一步：转动基矢的导数。以 \(\vect\Omega=\Omega\uvec z\) 为例（\(\Omega\) 为常量），\(S'\) 的基矢在 \(S\) 中为 \(\uvec e'_1=(\cos\Omega t,\sin\Omega t,0)\)、\(\uvec e'_2=(-\sin\Omega t,\cos\Omega t,0)\)。直接求导： \[\tag{2.1} \dv{\uvec e'_1}{t}=\Omega(-\sin\Omega t,\cos\Omega t,0)=\Omega\uvec z\times\uvec e'_1,\qquad \dv{\uvec e'_2}{t}=\Omega\uvec z\times\uvec e'_2 .\] 几何意义：单位矢量刚性地绕 \(\vect\Omega\) 转动，其端点作圆周运动，速度就是 \(\vect\Omega\times\uvec e'\)。一般情形（\(\vect\Omega\) 方向任意、可随时间变化）在每一瞬时同样成立：\(\dot{\uvec e}'_i=\vect\Omega\times\uvec e'_i\)。

第二步：任意矢量。把任意矢量写成 \(\vect A=\sum_i A'_i\uvec e'_i\)，其中 \(A'_i\) 是 \(S'\) 中的分量。在 \(S\) 中求导，用乘积法则，再用第一步： \[\tag{2.2} \left.\dv{\vect A}{t}\right|_S=\underbrace{\sum_i\dot A'_i\uvec e'_i}_{S'\text{ 中看到的变化率}}+\sum_iA'_i\,\vect\Omega\times\uvec e'_i =\left.\dv{\vect A}{t}\right|_{S'}+\vect\Omega\times\vect A .\]

第三步：速度。取 \(\vect A=\vect r\)（位矢在两个参考系中是同一个矢量），记 \(\vect v'=\dd\vect r/\dd t|_{S'}\)： \[\tag{2.3} \vect v_S=\vect v'+\vect\Omega\times\vect r .\]

第四步：加速度。再对 \(\vect v_S\) 用一次式 (2.2)，并把 \(\vect v_S\) 换成式 (2.3)： \begin{align*} \vect a_S&=\left.\dv{}{t}\right|_{S'}\!\left(\vect v'+\vect\Omega\times\vect r\right)+\vect\Omega\times\left(\vect v'+\vect\Omega\times\vect r\right)\\ &=\vect a'+\dot{\vect\Omega}\times\vect r+\vect\Omega\times\vect v'+\vect\Omega\times\vect v'+\vect\Omega\times(\vect\Omega\times\vect r)\\ &=\vect a'+2\vect\Omega\times\vect v'+\vect\Omega\times(\vect\Omega\times\vect r)+\dot{\vect\Omega}\times\vect r .\tag{2.4} \end{align*} 第二行对 \(\vect\Omega\times\vect r\) 在 \(S'\) 中求导用了乘积法则，得 \(\dot{\vect\Omega}\times\vect r\) 与 \(\vect\Omega\times\vect v'\) 两项（\(\vect\Omega\) 的分量在两系中相同，其导数 \(\dot{\vect\Omega}\) 也相同）。

令 \(\xi=x+\ii y\)，两个方程合成一个：\(\ddot\xi=-\omega_0^2\xi\)。其通解为 \[\tag{2.6} \xi(t)=a_+\ee^{\ii\omega_0t}+a_-\ee^{-\ii\omega_0t},\qquad a_\pm\in\mathbb C .\] \(a_+\ee^{\ii\omega_0t}\) 在复平面上以半径 \(\abs{a_+}\) 逆时针匀速转圈，\(a_-\ee^{-\ii\omega_0t}\) 以半径 \(\abs{a_-}\) 顺时针转圈。写 \(a_\pm=\abs{a_\pm}\ee^{\ii\alpha_\pm}\)。若 \(\abs{a_+}=\abs{a_-}=a\)，提出公共相位： \[\tag{2.7} \begin{aligned} \xi&=a\,\ee^{\ii(\alpha_++\alpha_-)/2}\left[\ee^{\ii(\omega_0t+(\alpha_+-\alpha_-)/2)}+\ee^{-\ii(\omega_0t+(\alpha_+-\alpha_-)/2)}\right]\\ &=2a\cos\!\Big(\omega_0t+\tfrac{\alpha_+-\alpha_-}{2}\Big)\,\ee^{\ii\psi},\qquad \psi=\frac{\alpha_++\alpha_-}{2}. \end{aligned}\] 即：两等大反向圆运动之和是沿方向角 \(\psi\) 的直线振动；\(\abs{a_+}\neq\abs{a_-}\) 时是椭圆。

取 \(F=F_0\cos\omega t\)，用复数法：设 \(x=\Re[X\ee^{\ii\omega t}]\)，代入得 \[\tag{2.11} X=\frac{F_0/m}{\omega_0^2-\omega^2+\ii\,\omega\omega_0/Q},\qquad \abs{X}=\frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+(\omega\omega_0/Q)^2}} .\] 位移落后于力的相位 \(\alpha=\arg(\omega_0^2-\omega^2+\ii\omega\omega_0/Q)\in[0,\pi]\)。共振 \(\omega=\omega_0\) 时 \(\abs{X}=QF_0/k\)（静态位移的 \(Q\) 倍），\(\alpha=90^\circ\)，即速度与力同相。

近共振时令 \(\omega=\omega_0+\delta\omega\)，小参量 \(\abs{\delta\omega}/\omega_0\ll1\)，保留一阶：\(\omega_0^2-\omega^2=-(2\omega_0+\delta\omega)\delta\omega\approx-2\omega_0\delta\omega\)，\(\omega\omega_0/Q\approx\omega_0^2/Q\)（舍去 \(\delta\omega/(Q\omega_0)\) 项）。于是 \[\tag{2.12} \abs{X}^2\approx\frac{(F_0/m)^2}{4\omega_0^2\left[\delta\omega^2+(\omega_0/2Q)^2\right]} .\] 这是洛伦兹线形。\(\abs X^2\) 降到峰值一半处 \(\delta\omega=\pm\omega_0/2Q\)，故半功率全宽 \[\tag{2.13} \Delta\omega_{1/2}=\frac{\omega_0}{Q}=\frac{2}{\tau_{\mathrm r}} .\]

设驱动力 \(F(t)=\Re[\tilde F(t)\ee^{\ii\omega t}]\)，其复振幅 \(\tilde F(t)\) 随时间缓慢变化；同样设解为 \(x=\Re[A(t)\ee^{\ii\omega t}]\)，\(A(t)\) 称为复包络。

1. 求导：\(\dot x=\Re[(\dot A+\ii\omega A)\ee^{\ii\omega t}]\)，\(\ddot x=\Re[(\ddot A+2\ii\omega\dot A-\omega^2A)\ee^{\ii\omega t}]\)。

2. 代入式 (2.10)（除以 \(m\)），比较 \(\ee^{\ii\omega t}\) 的系数： \[\ddot A+2\ii\omega\dot A+\frac{\omega_0}{Q}\dot A+\Big(\omega_0^2-\omega^2+\ii\frac{\omega\omega_0}{Q}\Big)A=\frac{\tilde F}{m}.\]

3. 近似：包络变化率远小于载波频率（\(\abs{\dot A}\ll\omega\abs A\)），故 \(\ddot A\) 比 \(2\ii\omega\dot A\) 小一个因子 \(\sim\abs{\dot A}/(\omega\abs A)\)，舍去；\((\omega_0/Q)\dot A\) 比 \(2\ii\omega\dot A\) 小一个因子 \(1/(2Q)\)，舍去。并像式 (2.12) 那样取 \(\omega_0^2-\omega^2\approx2\omega(\omega_0-\omega)\)。

4. 除以 \(2\ii\omega\)，记 \(\Delta\equiv\omega_0-\omega\)（固有频率减驱动频率）：

\[\tag{2.14} \boxed{\dot A=-\Big(\frac{1}{\tau_{\mathrm r}}-\ii\Delta\Big)A-\frac{\ii\tilde F}{2m\omega}}\qquad(\tau_{\mathrm r}=2Q/\omega_0).\] 适用条件：\(Q\gg1\)，\(\abs\Delta\ll\omega\)，\(\tilde F\) 的变化率 \(\ll\omega\)。

(a) 时间平均：平均时间记为 \(T_a\)（与温度 \(T\) 区分），\(\bar f=\frac1{T_a}\int_0^{T_a}f\dd t\)。\(\avg{\bar f^2}=\frac1{T_a^2}\int_0^{T_a}\!\!\int_0^{T_a}\avg{f(t)f(t')}\dd t\dd t'=\frac{1}{T_a^2}\int_0^{T_a}S_F\dd t\)，即 \[\tag{2.18} \avg{\bar f^2}=\frac{S_F}{T_a}\qquad\text{（平均时间越长，涨落越小，按 }1/\sqrt{T_a}\text{ 下降）}.\] (b) 积分（随机游走）：\(\mathcal W(t)=\int_0^tf\dd t'\)。同样的计算给出 \[\tag{2.19} \avg{\mathcal W(t)^2}=S_F\,t\qquad\text{（积分量的离散程度按 }\sqrt t\text{ 增长）}.\] 陀螺输出的是角速度，导航需要的是角度（角速度的积分），所以白噪声角速度造成的角度误差按 \(\sqrt t\) 增长——这叫角随机游走。

一个受阻力 \(-bv\) 与随机力 \(f(t)\) 的质点：\(m\dot v=-bv+f(t)\)。在 \(\dd t\) 内积分：\(v(t+\dd t)=v(t)(1-\tfrac bm\dd t)+\tfrac1m\dd\mathcal W\)，其中 \(\dd\mathcal W=\int_t^{t+\dd t}f\dd t'\)。平方后取平均：

• \(\avg{v(t)\,\dd\mathcal W}=0\)：\(\dd\mathcal W\) 由 \(t\) 之后的碰撞决定，与此前已确定的 \(v(t)\) 无关；

• \(\avg{\dd\mathcal W^2}=S_F\dd t\)（式 (2.19)）。

于是 \(\avg{v^2}(t+\dd t)=\avg{v^2}(1-\tfrac{2b}{m}\dd t)+\tfrac{S_F}{m^2}\dd t\)（舍去 \(\dd t^2\)）。稳态时 \(\avg{v^2}=S_F/(2mb)\)；再由能量均分 \(m\avg{v^2}=\kB T\) 得 \[\tag{2.20} \boxed{S_F=2b\,\kB T}\] 物理意义：阻尼（耗散）越大，热涨落力也越大，两者由同一批分子碰撞产生——这就是涨落–耗散关系的最简单形式。随机力只与“环境 + 阻尼”有关，与质点是否连着弹簧无关，所以式 (2.20) 对振子同样适用。

由式 (2.5)，科里奥利力 \(-2m\vect\Omega\times\vect v'\) 中 \(\vect v'=(\dot x,\dot y,\dot z)\)， \[\vect\Omega\times\vect v'=\big(\Omega_y\dot z-\Omega_z\dot y,\ \Omega_z\dot x-\Omega_x\dot z,\ \Omega_x\dot y-\Omega_y\dot x\big),\qquad\Omega_x=0 .\] 水平分量中 \(\Omega_y\dot z\) 比 \(\Omega_z\dot y\) 小因子 \(A/L\)，舍去；竖直分量 \(2m\Omega_y\dot x\) 只使绳中张力有 \(\order{\Omega/\omega_0}\) 的相对变化，对水平回复力的影响是 \(\Omega\times(A/L)\) 级别的高阶量，舍去。于是 \[\tag{3.1} \ddot x=-\omega_0^2x+2\Omega_z\dot y,\qquad \ddot y=-\omega_0^2y-2\Omega_z\dot x,\qquad \Omega_z=\Omega_{\mathrm E}\sin\lambda .\] 只有 \(\vect\Omega\) 的竖直分量进入水平运动。

令 \(\xi=x+\ii y\)，把第二式乘 \(\ii\) 加到第一式：\(\ddot\xi=-\omega_0^2\xi+2\Omega_z(\dot y-\ii\dot x)=-\omega_0^2\xi-2\ii\Omega_z(\dot x+\ii\dot y)\)，即 \[\tag{3.2} \ddot\xi+2\ii\Omega_z\dot\xi+\omega_0^2\xi=0 .\] 试探 \(\xi\propto\ee^{st}\)：\(s^2+2\ii\Omega_zs+\omega_0^2=0\)，\(s=-\ii\Omega_z\pm\ii\omega'\)，\(\omega'=\sqrt{\omega_0^2+\Omega_z^2}\)。通解 \[\tag{3.3} \xi(t)=\ee^{-\ii\Omega_zt}\left(a_+\ee^{\ii\omega't}+a_-\ee^{-\ii\omega't}\right).\] 地面系中逆时针圆分量的频率为 \(\omega_+=\omega'-\Omega_z\)，顺时针分量为 \(\omega_-=\omega'+\Omega_z\)。由引理 (2.8)，振动方向以 \[\tag{3.4} \dot\psi=\frac{\omega_+-\omega_-}{2}=-\Omega_z=-\Omega_{\mathrm E}\sin\lambda\] 转动：北半球（\(\lambda>0\)）从上往下看顺时针进动，进动一周需时 \(T_{\mathrm F}=2\pi/(\Omega_{\mathrm E}\sin\lambda)\)。式 (3.3) 中的因子 \(\ee^{-\ii\Omega_zt}\) 直观地表明：整个振动图样在以 \(-\Omega_z\) 旋转。

科里奥利力可写成 \(F_{\mathrm C}/m=2\Omega(t)X_0\omega_d\sin\omega_dt=\Re[-2\ii\,\Omega(t)X_0\omega_d\,\ee^{\ii\omega_dt}]\)，即复振幅 \(\tilde F/m=-2\ii\Omega X_0\omega_d\)。设 \(y=\Re[A(t)\ee^{\ii\omega_dt}]\)，代入包络方程 (2.14)（其中 \(\Delta=\omega_y-\omega_d=\Delta\omega\)）： \[\tag{4.6} \dot A=-\Big(\frac1{\tau_{\mathrm r}}-\ii\Delta\omega\Big)A-X_0\,\Omega(t),\qquad \tau_{\mathrm r}=\frac{2Q}{\omega_y} .\]

令 \(p\equiv1/\tau_{\mathrm r}-\ii\Delta\omega\)，式 (4.6) 写成 \(\dot A=-pA-X_0\Omega(t)\)。

1. 恒定 \(\Omega\)：稳态 \(A=-X_0\Omega/p\)，\(\abs A=X_0\Omega/\abs p\)。定义直流灵敏度 \(\mathcal S\equiv\abs A/\Omega=X_0/\abs p\)，即式 (4.4) 的近共振形式。

2. 解调输出：读出电路把 \(y\) 与参考正弦 \(2\cos(\omega_dt+\alpha_{\mathrm{ref}})\) 相乘，在若干载波周期 \(T\) 上平均： \[\frac1T\int\Re\!\left[A\ee^{\ii\omega_dt}\right]\cdot2\cos(\omega_dt+\alpha_{\mathrm{ref}})\,\dd t=\Re\!\left[A\,\ee^{-\ii\alpha_{\mathrm{ref}}}\right]\] （含 \(\ee^{\pm2\ii\omega_dt}\) 的项平均为零），即复包络在参考相位 \(\alpha_{\mathrm{ref}}\) 上的投影，记为 \(D(t)\)。取 \(\ee^{-\ii\alpha_{\mathrm{ref}}}=-p/\abs p\)，使恒定 \(\Omega\) 时 \(D=X_0\Omega/\abs p>0\) 最大。注意 \(D\) 对 \(A\) 是线性的，而 \(\abs A\) 不是。

3. 正弦变化的角速度 \(\Omega=\Omega_0\cos\nu t=\frac{\Omega_0}2(\ee^{\ii\nu t}+\ee^{-\ii\nu t})\)。方程是线性的，对每个复指数分别求特解：输入 \(\ee^{\pm\ii\nu t}\) 时 \(A=-X_0\ee^{\pm\ii\nu t}/(p\pm\ii\nu)\)。代入 \(D\)，并用 \(\Re z=\Re z^*\) 把第二项改写成 \(\ee^{\ii\nu t}\) 的形式（这里讨论的是没有反馈的读出，称为开环响应）： \[\tag{4.7} \begin{gathered} D(t)=\frac{X_0\Omega_0}{\abs p}\,\Re\!\left[H(\nu)\,\ee^{\ii\nu t}\right],\\ H(\nu)=\frac12\left[\frac{p}{p+\ii\nu}+\frac{p^*}{p^*+\ii\nu}\right]. \end{gathered}\] 显然 \(H(0)=1\)。我们把 \(\abs{H}\) 保持在 \([1/\sqrt2,\sqrt2]\)（即 \(\pm3\) dB）之内的最高频率称为平坦带宽。

4. 模态匹配（\(\Delta\omega=0\)，\(p=1/\tau_{\mathrm r}\)）：\(H=1/(1+\ii\nu\tau_{\mathrm r})\)，\(\abs H=1/\sqrt{1+\nu^2\tau_{\mathrm r}^2}\)，与 RC 电路的输出一样随频率单调下降，称为一阶低通；\(\abs H=1/\sqrt2\) 处 \(\nu=1/\tau_{\mathrm r}\)，带宽 \(f_{\mathrm{bw}}=1/(2\pi\tau_{\mathrm r})=f_d/(2Q)\)。

5. 大失配（\(\Delta\omega\tau_{\mathrm r}\gg1\)）：第一项分母 \(p+\ii\nu=1/\tau_{\mathrm r}+\ii(\nu-\Delta\omega)\) 在 \(\nu=\Delta\omega\) 处最小，谐振峰高 \(\abs H\approx\frac12\abs p\tau_{\mathrm r}\approx\frac12\Delta\omega\tau_{\mathrm r}\)。离峰较远处可令 \(1/\tau_{\mathrm r}\to0\)（\(p\to-\ii\Delta\omega\)）： \[\tag{4.8} H(\nu)\approx\frac12\left[\frac{\Delta\omega}{\Delta\omega-\nu}+\frac{\Delta\omega}{\Delta\omega+\nu}\right]=\frac{\Delta\omega^2}{\Delta\omega^2-\nu^2}.\] 增益随 \(\nu\) 增大而上升，到 \(\nu=\Delta\omega\sqrt{1-1/\sqrt2}=0.54\,\Delta\omega\) 时已达 \(\sqrt2\)（\(+3\) dB）。所以平坦带宽只有约 \(0.54\,\Delta f\)。

第一步：解调就是“取一个正交分量并平均”。定义作用在检测模态上的力 \(F(t)\) 的正弦分量的解调值 \[\hat F_s\equiv\frac2{T_m}\int_0^{T_m}F(t)\sin(\omega_dt)\,\dd t .\] 对科里奥利力 \(F_{\mathrm C}=2m\Omega X_0\omega_d\sin\omega_dt\)，由于 \(\frac2{T_m}\int\sin^2=1\)，得 \(\hat F_s=2m\Omega X_0\omega_d\)——解调值正比于 \(\Omega\)。

第二步：噪声力的解调值的方差。用式 (2.17)： \[\avg{\hat F_s^2}=\frac4{T_m^2}\int_0^{T_m}\!\!\int_0^{T_m}\sin\omega_dt\,\sin\omega_dt'\,S_F\delta(t-t')\,\dd t\dd t'=\frac{4S_F}{T_m^2}\int_0^{T_m}\sin^2\omega_dt\,\dd t=\frac{2S_F}{T_m}.\]

第三步：折算成角速度。信号力和噪声力经历同一个机械响应（假设中的条件保证这一点），所以只需比较力：等效角速度误差 \(\Omega_n=\hat F_{s}^{\,\text{噪声}}/(2mX_0\omega_d)\)，其方差 \(\avg{\Omega_n^2}=\dfrac{2S_F}{T_m(2mX_0\omega_d)^2}\)。

第四步：与“白噪声角速度”对照。若角速度读数含强度为 \(N^2\) 的白噪声（\(\avg{\Omega_n(t)\Omega_n(t')}=N^2\delta(t-t')\)），由式 (2.18)，平均 \(T_m\) 后方差为 \(N^2/T_m\)。对照第三步得 \(N^2=2S_F/(2mX_0\omega_d)^2\)；代入 \(S_F=2m\omega\kB T/Q\)（取 \(\omega_y\approx\omega_d\equiv\omega\)）： \[\tag{4.10} \boxed{N=\frac1{X_0}\sqrt{\frac{\kB T}{m\,\omega\,Q}}}\] 由式 (2.19)，积分得到的角度误差 \(\sigma_\vartheta(t)=N\sqrt t\)，所以 \(N\) 叫角随机游走（angle random walk，ARW）系数，单位 \(\mathrm{rad}/\sqrt{\mathrm s}\)，工程上常用 \(^\circ/\sqrt{\mathrm h}\)（\(1\,^\circ/\sqrt{\mathrm s}=60\,^\circ/\sqrt{\mathrm h}\)）。

考虑静止时位于 \(\theta\) 与 \(\theta+\dd\theta\) 之间、长为 \(R\dd\theta\) 的一小段。位移后其长度在一阶下有两个变化来源：

• 径向外移 \(u\)：该段所在圆的半径变为 \(R+u\)，长度变为 \((R+u)\dd\theta\)，伸长 \(u\,\dd\theta\)；

• 切向位移不均匀：两端的切向位移分别为 \(v(\theta)\) 与 \(v(\theta+\dd\theta)\)，该段被拉长 \(\frac{\partial v}{\partial\theta}\dd\theta\)。

所以中线的相对伸长（应变）为 \[\tag{5.1} \varepsilon_\theta=\frac{1}{R}\Big(u+\pdv{v}{\theta}\Big).\] （verify_symbolic.py 由精确弧长展开到一阶核对了此式。）

\(u(\theta,t)\) 是 \(\theta\) 的周期函数，可展开为 \(u=\sum_n\left[q_{1n}(t)\cos n\theta+q_{2n}(t)\sin n\theta\right]\)。由式 (5.2) 积分得 \(v=-\int u\,\dd\theta\)。逐项看：

• \(n=0\)（均匀胀缩，“呼吸”模式）：\(v=-q_{10}\theta\) 不是周期函数，不允许——呼吸模式必须拉伸中线，频率高得多，不在我们关心的低频范围内。

• \(n=1\)：\(u=q_1\cos\theta+q_2\sin\theta\)，\(v=-q_1\sin\theta+q_2\cos\theta\)。位移矢量 \(u\uvec e_r+v\uvec e_\theta=(q_1,q_2)\) 与 \(\theta\) 无关——整环刚体平移，不变形、频率为零。

• \(n\geq2\)：真正的弯曲振型。对第 \(n\) 阶， \[\tag{5.3} u=q_1\cos n\theta+q_2\sin n\theta,\qquad v=\frac1n\left(-q_1\sin n\theta+q_2\cos n\theta\right).\] （积分常数对应整环刚体转动，已并入“壳体转角”，此处取零。）

在壳体系中，标记为 \(\theta\) 的材料点位于 \(\vect r=(R+u)\uvec e_r+v\uvec e_\theta\)，其中 \(\uvec e_r,\uvec e_\theta\) 是该材料点处、随壳体转动的单位矢量（在壳体系中不动）。由式 (2.3)，惯性系速度为 \[\vect v_S=\dot u\,\uvec e_r+\dot v\,\uvec e_\theta+\Omega\uvec z\times\left[(R+u)\uvec e_r+v\uvec e_\theta\right].\] 用 \(\uvec z\times\uvec e_r=\uvec e_\theta\)、\(\uvec z\times\uvec e_\theta=-\uvec e_r\)： \[\tag{5.4} \vect v_S=(\dot u-\Omega v)\,\uvec e_r+\left[\dot v+\Omega(R+u)\right]\uvec e_\theta .\]

质元质量 \(\dd m=\mu R\,\dd\theta\)（用静止长度：质量守恒）。 \begin{align*} T&=\frac{\mu R}2\int_0^{2\pi}\left\{(\dot u-\Omega v)^2+\left[\dot v+\Omega(R+u)\right]^2\right\}\dd\theta\\ &=T_0+T_1+T_2,\tag{5.5}\\ T_0&=\frac{\mu R}2\int(\dot u^2+\dot v^2)\dd\theta\qquad(\Omega\text{ 的零次}),\\ T_1&=\mu R\,\Omega\int\left(u\dot v-v\dot u\right)\dd\theta+\mu R^2\Omega\int\dot v\,\dd\theta\qquad(\Omega\text{ 的一次}),\\ T_2&=\frac{\mu R}{2}\Omega^2\int\left[(R+u)^2+v^2\right]\dd\theta\qquad(\Omega\text{ 的二次}). \end{align*} 代入式 (5.3)，用 \(\int_0^{2\pi}\cos^2n\theta\,\dd\theta=\int_0^{2\pi}\sin^2n\theta\,\dd\theta=\pi\)，\(\int_0^{2\pi}\sin n\theta\cos n\theta\,\dd\theta=0\)，逐项计算：

• \(T_0\)：\(\int\dot u^2=\pi(\dot q_1^2+\dot q_2^2)\)，\(\int\dot v^2=\frac{\pi}{n^2}(\dot q_1^2+\dot q_2^2)\)，故 \[\tag{5.6} T_0=\frac M2(\dot q_1^2+\dot q_2^2),\qquad M\equiv\pi\mu R\Big(1+\frac1{n^2}\Big).\] \(M\) 是模态质量：\(1\) 来自径向运动，\(1/n^2\) 来自切向运动。

• \(T_1\)：\(\int\dot v\,\dd\theta=0\)（\(n\geq1\) 的正弦、余弦在整周上积分为零）。又 \[u\dot v=\frac1n(q_1\cos n\theta+q_2\sin n\theta)(-\dot q_1\sin n\theta+\dot q_2\cos n\theta)\ \Rightarrow\ \int u\dot v\,\dd\theta=\frac\pi n(q_1\dot q_2-q_2\dot q_1),\] 同理 \(\int v\dot u\,\dd\theta=\frac\pi n(-q_1\dot q_2+q_2\dot q_1)\)。相减： \[\tag{5.7} T_1=G\,(q_1\dot q_2-q_2\dot q_1),\qquad G\equiv\frac{2\pi\mu R\,\Omega}{n}.\]

• \(T_2=\order{\Omega^2}\)：\(\int(R+u)^2=2\pi R^2+\pi(q_1^2+q_2^2)\)（交叉项 \(2R\int u=0\)），\(\int v^2=\frac\pi{n^2}(q_1^2+q_2^2)\)。所以 \(T_2=\text{常数}+\frac12M\Omega^2(q_1^2+q_2^2)\)——对 \(q_1,q_2\) 完全对称，使两个模式的频率一起移动（\(\omega_n^2\to\omega_n^2-\Omega^2\)）。离心力在转动环中产生的环向张力也会改变弯曲刚度，同样是对两模式对称的 \(\order{\Omega^2}\) 修正。这些效应的相对大小 \(\sim(\Omega/\omega_n)^2\)，与 \(T_2\) 同阶，下面一并舍去。

\(L=T_0+T_1-V\)。由陀螺项规则 (2.16)： \[\tag{5.10} M\ddot q_1-2G\dot q_2+\kappa q_1=0,\qquad M\ddot q_2+2G\dot q_1+\kappa q_2=0 .\] 除以 \(M\)，并定义 \[\tag{5.11} \beta\equiv\frac GM=\frac{2\pi\mu R\Omega/n}{\pi\mu R(1+1/n^2)}=\frac{2n}{n^2+1}\,\Omega .\] 令 \(z=q_1+\ii q_2\)，第二式乘 \(\ii\) 加到第一式：\(\ddot z+2\beta(-\dot q_2+\ii\dot q_1)+\omega_n^2z=0\)，而 \(-\dot q_2+\ii\dot q_1=\ii(\dot q_1+\ii\dot q_2)=\ii\dot z\)，所以 \[\tag{5.12} \ddot z+2\ii\beta\dot z+\omega_n^2z=0 .\]

两路电极经相敏解调得到复包络 \(c_1,c_2\)（\(q_j=\Re[c_j\ee^{\ii\omega t}]\)）。理想驻波 \((q_1,q_2)=a(\cos n\phi,\sin n\phi)\cos(\omega t+\alpha)\) 对应 \(c_j=a\,\ee^{\ii\alpha}(\cos n\phi,\sin n\phi)_j\)。于是 \[\tag{6.2} \begin{aligned} &\mathcal E\equiv\abs{c_1}^2+\abs{c_2}^2=a^2,\qquad \abs{c_1}^2-\abs{c_2}^2=a^2\cos2n\phi,\\ &2\Re(c_1c_2^*)=a^2\sin2n\phi,\qquad \varepsilon\equiv\frac{2\Im(c_1c_2^*)}{\mathcal E}=0 . \end{aligned}\] 公共相位 \(\alpha\) 在 \(c_1c_2^*\) 中消去，所以 \(\tan2n\phi=2\Re(c_1c_2^*)/(\abs{c_1}^2-\abs{c_2}^2)\) 与振动相位无关——这是式 (2.9) 的复包络版本。若 \(c_1,c_2\) 的相位不同，\(q\) 平面里的运动是椭圆（环上驻波混入了行波），\(\varepsilon\neq0\) 衡量这种“正交分量”：\(\varepsilon=\pm1\) 是纯行波（圆运动）。

设 \(q_j=\Re[c_j(t)\ee^{\ii\omega_0t}]\)，与第 2.3 节相同：代入后比较 \(\ee^{\ii\omega_0t}\) 的系数，舍去 \(\ddot c_j\) 及“小量 \(\times\dot c_j\)”（\(\gamma\dot c\)、\(\beta\dot c\)），并用 \(\omega_1^2-\omega_0^2=2\omega_0\delta+\delta^2\approx2\omega_0\delta\)： \[2\ii\omega_0\dot c_1+2\omega_0\delta\,c_1+2\ii\omega_0\gamma_1c_1-2\ii\omega_0\beta c_2=0 .\] 除以 \(2\ii\omega_0\)（注意 \(1/\ii=-\ii\)），对 \(c_2\) 同样处理： \[\tag{6.4} \dot c_1=(\ii\delta-\gamma_1)c_1+\beta c_2,\qquad \dot c_2=(-\ii\delta-\gamma_2)c_2-\beta c_1 .\] 检验：\(\delta=\gamma_j=0\) 时 \(c=(\cos\beta t,-\sin\beta t)c_0\)，\(q\) 平面方向角 \(\psi=-\beta t\)，回到式 (5.13)。（verify_symbolic.py 用符号运算核对了此推导。）

令 \(\delta=0\)。若初始为驻波（\(c_1,c_2\) 同相，取为实数），式 (6.4) 的系数全是实数，\(c_j\) 保持为实数：阻尼不对称不产生椭圆化。写 \(c=a(\cos\psi,\sin\psi)\)，则 \(\dot\psi=(c_1\dot c_2-c_2\dot c_1)/a^2\)；代入： \[\dot\psi=\frac{c_1(-\gamma_2c_2-\beta c_1)-c_2(-\gamma_1c_1+\beta c_2)}{a^2}=-\beta+(\gamma_1-\gamma_2)\cos\psi\sin\psi ,\] 即 \[\tag{6.5} \boxed{\dot\psi=-\beta+\frac{\Delta\gamma}{2}\sin2\psi}\qquad(\psi=n\phi,\ \beta=nK\Omega).\] 这在电子学中称为 Adler 方程，原本描述注入锁定：一个自激振荡器受到频率相近的外来信号作用时，若频差足够小，它会被“拉”到与外来信号同频同步[30]。

令 \(\gamma_1=\gamma_2=0\)。式 (6.4) 写成 \(\dot{\vect c}=\mathsf M\vect c\)，\(\mathsf M=\begin{pmatrix}\ii\delta&\beta\\-\beta&-\ii\delta\end{pmatrix}\)。直接做矩阵乘法： \[\mathsf M^2=\begin{pmatrix}(\ii\delta)^2-\beta^2 & \ii\delta\beta-\ii\delta\beta\\ -\ii\delta\beta+\ii\delta\beta & -\beta^2+(\ii\delta)^2\end{pmatrix}=-W^2\,\mathsf I,\qquad W\equiv\sqrt{\beta^2+\delta^2},\] 其中 \(\mathsf I\) 为 \(2\times2\) 单位矩阵。 于是 \(\ddot{\vect c}=\mathsf M\dot{\vect c}=\mathsf M^2\vect c=-W^2\vect c\)：每个分量都满足简谐方程，通解为 \(\vect c=\cos(Wt)\,\vect c(0)+\frac{\sin Wt}{W}\dot{\vect c}(0)\)，而 \(\dot{\vect c}(0)=\mathsf M\vect c_0\)： \[\tag{6.7} \vect c(t)=\cos(Wt)\,\vect c_0+\frac{\sin Wt}{W}\,\mathsf M\vect c_0 .\] 从主轴 1 上的驻波出发，\(\vect c_0=(1,0)\)： \[c_1=\cos Wt+\ii\frac{\delta}{W}\sin Wt,\qquad c_2=-\frac{\beta}{W}\sin Wt .\]

设 \(\avg{\Omega_n(t)\Omega_n(t')}=N^2\delta(t-t')\)。由式 (2.18)，每段平均值方差为 \(N^2/\tau\)；相邻两段互不相关，差值方差为 \(2N^2/\tau\)。由定义 (7.1)： \[\tag{7.2} \sigma^2(\tau)=\frac{N^2}{\tau},\qquad \sigma(\tau=1\,\mathrm s)=N .\] 双对数图上斜率 \(-1/2\)，在 \(\tau=1\) s 处读出 \(N\)（\(\sigma\) 用 \(^\circ/\mathrm h\)，则 \(N\) 的单位为 \(^\circ/\mathrm h\cdot\sqrt{\mathrm s}\)，除以 60 得 \(^\circ/\sqrt{\mathrm h}\)）。

设角速度本身作随机游走：\(\Omega_n(t)=\int_0^tw\,\dd t'\)，\(\avg{w(t)w(t')}=K_{\mathrm{rw}}^2\delta(t-t')\)。把相邻两段平均之差写成对 \(w\) 的加权积分： \[\bar\Omega_2-\bar\Omega_1=\frac1\tau\int_\tau^{2\tau}\Omega_n\dd t-\frac1\tau\int_0^\tau\Omega_n\dd t=\int_0^{2\tau}h(s)\,w(s)\,\dd s ,\] 其中权函数 \(h(s)\) 是时刻 \(s\) 的 \(w\) 对两段平均之差的贡献：\(0<s<\tau\) 时它进入第二段的全部 \(\tau\) 和第一段的后 \((\tau-s)\)，\(h=\frac{\tau-(\tau-s)}{\tau}=\frac s\tau\)；\(\tau<s<2\tau\) 时只进入第二段的后 \((2\tau-s)\)，\(h=\frac{2\tau-s}{\tau}\)。由白噪声的性质，\(\avg{(\bar\Omega_2-\bar\Omega_1)^2}=K_{\mathrm{rw}}^2\int_0^{2\tau}h^2\dd s=K_{\mathrm{rw}}^2\left(\frac\tau3+\frac\tau3\right)\)，故 \[\tag{7.3} \sigma^2(\tau)=\frac{K_{\mathrm{rw}}^2\tau}{3},\qquad \sigma(\tau=3\,\mathrm s)=K_{\mathrm{rw}} .\]

梁弯曲时，距中性层 \(y\) 的纤维应变 \(\epsilon=-y\,\delta\kappa_c\)（\(\delta\kappa_c\) 为曲率的变化），弹性能密度 \(\frac12E\epsilon^2\)。对截面积分：单位长度弯曲能 \(\frac12E\delta\kappa_c^2\int y^2\dd A=\frac12EI\,\delta\kappa_c^2\)。

把变形后的中线写成 \(\vect P(\theta)=(R+u)\uvec e_r+v\uvec e_\theta\)。用 \(\dd\uvec e_r/\dd\theta=\uvec e_\theta\)、\(\dd\uvec e_\theta/\dd\theta=-\uvec e_r\) 及不可伸长条件 \(v'=-u\)（撇号表示 \(\partial/\partial\theta\)）： \[\vect P'=(u'-v)\uvec e_r+(R+u+v')\uvec e_\theta=(u'-v)\uvec e_r+R\,\uvec e_\theta,\qquad \vect P''=(u''+u-R)\uvec e_r+(u'-v)\uvec e_\theta .\] 平面曲线曲率 \(\kappa_c=(\vect P'\times\vect P'')_z/\abs{\vect P'}^3\)。保留一阶：\((\vect P'\times\vect P'')_z=(u'-v)^2-R(u''+u-R)\approx R^2-R(u+u'')\)，\(\abs{\vect P'}\approx R\)，故 \[\tag{B.1} \kappa_c\approx\frac1R-\frac{u+u''}{R^2},\qquad \delta\kappa_c=-\frac{u+u''}{R^2}.\] （verify_symbolic.py 由精确曲率公式展开核对。）

壳上材料点的静止位置 \(\vect r_0\)，位移 \(\vect d\)，惯性系速度 \(\dot{\vect d}+\Omega\uvec z\times(\vect r_0+\vect d)\)。动能中 \(\Omega\) 的一次项为 \(\Omega\int\dot{\vect d}\cdot[\uvec z\times(\vect r_0+\vect d)]\dd m\)。其中 \(\dot{\vect d}\cdot(\uvec z\times\vect r_0)=\dv{}{t}[\vect d\cdot(\uvec z\times\vect r_0)]\) 是全导数（且对 \(n\ge1\) 的振型在周向积分为零），不影响运动方程；剩下 \(\dot{\vect d}\cdot(\uvec z\times\vect d)=\uvec z\cdot(\vect d\times\dot{\vect d})=d_\rho\dot d_\theta-d_\theta\dot d_\rho\)，只含水平分量（\(d_\rho\) 为水平径向分量，\(d_\theta\) 为周向分量）。 取两个简并振型：\(\vect d=q_1(U_\rho\cos n\theta,\,V_\theta\sin n\theta,\,U_z\cos n\theta)+q_2(U_\rho\sin n\theta,\,-V_\theta\cos n\theta,\,U_z\sin n\theta)\)（分量依次为水平径向、周向、竖直；第二个振型是第一个转过 \(\pi/2n\)）。对 \(\theta\) 积分（\(\int\cos^2=\int\sin^2=\pi\)）： \[T_0=\frac{\pi}{2}(\dot q_1^2+\dot q_2^2)\int(U_\rho^2+U_z^2+V_\theta^2)\dd\tilde m,\qquad T_1=-2\pi\Omega\Big(\int U_\rho V_\theta\dd\tilde m\Big)(q_1\dot q_2-q_2\dot q_1),\] 其中 \(\dd\tilde m\) 为沿母线、单位周向角的质量元。于是 \(M=\pi\int\abs{\vect U}^2\dd\tilde m\)，\(G=-2\pi\Omega\int U_\rho V_\theta\dd\tilde m\)，\(\beta=G/M\)，振型相对壳体转速 \(-\beta/n\equiv-K\Omega\)，得式 (5.14)。圆环：\(U_\rho=1\)，\(V_\theta=-1/n\)（式 (5.3)），\(U_z=0\)，回到 \(2/(n^2+1)\)。

半径 \(a\) 的球面，用从碗底极点量起的余纬 \(\chi\in[0,\pi/2]\) 与方位角 \(\theta\)。中面位移的经向、周向、法向（向外）分量 \(u_\chi,u_\theta,w\) 产生的三个中面应变为[34] \[\varepsilon_{\chi}=\frac1a\Big(\pdv{u_\chi}{\chi}+w\Big),\quad \varepsilon_{\theta}=\frac1a\Big(u_\chi\cot\chi+\frac{1}{\sin\chi}\pdv{u_\theta}{\theta}+w\Big),\quad \gamma_{\chi\theta}=\frac1a\Big(\frac1{\sin\chi}\pdv{u_\chi}{\theta}+\pdv{u_\theta}{\chi}-u_\theta\cot\chi\Big).\] （\(\varepsilon_\theta\) 的来源与圆环的式 (5.1) 相同：纬线圆半径 \(a\sin\chi\) 的变化 \(u_\chi\cos\chi+w\sin\chi\) 加上周向位移的不均匀。）瑞利的不可伸长振型为 \[\tag{C.1} u_\chi=\sin\chi\tan^n\tfrac\chi2\cos n\theta,\quad u_\theta=\sin\chi\tan^n\tfrac\chi2\sin n\theta,\quad w=-(n+\cos\chi)\tan^n\tfrac\chi2\cos n\theta ,\] verify_symbolic.py 核对了它使三个应变恒为零。碗底附近（\(\chi\to0\)）位移 \(\propto\chi^n\) 很小，所以这一振型与碗底支撑柄相容。水平径向分量 \(U_\rho=u_\chi\cos\chi+w\sin\chi\) 的振幅函数，\(\dd\tilde m\propto\sin\chi\,\dd\chi\)（等厚壳）。代入式 (5.14) 数值积分：\(n=2\) 得 \(K=0.2770\)，\(n=3\) 得 \(K=0.1622\)。

把白噪声力看成许多独立的、随机相位的正弦分量之和；频率在 \([f,f+\dd f]\) 的分量贡献力的方差 \(2S_F\dd f\)（双边约定，见第 2.5 节的定义）。每个分量驱动振子，位移振幅乘以 \(\abs{H}=1/\abs{k-m\omega^2+\ii b\omega}\)（式 (2.11)）；独立分量的方差相加： \[\avg{x^2}=\int_0^\infty2S_F\abs{H}^2\dd f=\frac{S_F}{\pi m^2}\int_0^\infty\frac{\dd\omega}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\gamma_b^2\omega^2},\qquad\gamma_b=b/m .\] 记积分为 \(I\)。作代换 \(\omega\to\omega_0^2/\omega\)：被积函数变为 \(\frac{\omega^2}{\omega_0^2}\cdot\frac{1}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\gamma_b^2\omega^2}\)（积分限不变），故 \[2I=\int_0^\infty\frac{(1+\omega_0^2/\omega^2)\,\dd\omega}{(\omega-\omega_0^2/\omega)^2+\gamma_b^2}\cdot\frac{1}{\omega_0^2} =\frac1{\omega_0^2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\dd s}{s^2+\gamma_b^2}=\frac{\pi}{\gamma_b\omega_0^2},\] 这里用了恒等式 \((\omega_0^2-\omega^2)^2+\gamma_b^2\omega^2=\omega^2[(\omega-\omega_0^2/\omega)^2+\gamma_b^2]\) 与代换 \(s=\omega-\omega_0^2/\omega\)（\(\dd s=(1+\omega_0^2/\omega^2)\dd\omega\)，\(s\) 从 \(-\infty\) 增到 \(\infty\)）。于是 \(I=\pi/(2\gamma_b\omega_0^2)\)， \[\avg{x^2}=\frac{S_F}{2m^2\gamma_b\omega_0^2}=\frac{S_F}{2bk}=\frac{\kB T}{k}\quad(\text{用 }S_F=2b\kB T).\]

先看单个正弦分量 \(\Omega(t)=A_s\cos(2\pi ft+\varphi_0)\)，\(\varphi_0\) 随机均匀分布。长 \(\tau\) 的窗口平均为 \(\bar\Omega=A_s\frac{\sin\pi f\tau}{\pi f\tau}\cos\Phi\)（\(\Phi\) 为窗口中心的相位）；下一窗口中心相位多 \(2\pi f\tau\)，差值 \[\bar\Omega_2-\bar\Omega_1=A_s\frac{\sin\pi f\tau}{\pi f\tau}\left[\cos(\Phi+2\pi f\tau)-\cos\Phi\right]=-2A_s\frac{\sin\pi f\tau}{\pi f\tau}\sin(\pi f\tau)\sin(\Phi+\pi f\tau).\] 对随机相位平均 \(\avg{\sin^2}=\frac12\)：\(\frac12\avg{(\bar\Omega_2-\bar\Omega_1)^2}=A_s^2\frac{\sin^4\pi f\tau}{(\pi f\tau)^2}=2\cdot\frac{A_s^2}{2}\cdot\frac{\sin^4\pi f\tau}{(\pi f\tau)^2}\)，其中 \(A_s^2/2\) 是该分量的方差。随机信号在 \([f,f+\dd f]\) 内的方差为 \(2S(f)\dd f\)，各分量独立相加，即得 \(\sigma^2(\tau)=4\int_0^\infty S(f)\sin^4(\pi f\tau)/(\pi f\tau)^2\dd f\)。

记 \(g(x)=\sin^4x=\frac18(3-4\cos2x+\cos4x)\)，则 \(g(x)=\order{x^4}\)，\(g'(x)=\frac18(8\sin2x-4\sin4x)=\order{x^3}\)，\(g''=2\cos2x-2\cos4x\)。

• 白噪声：分部积分一次，边界项为零，\(\int_0^\infty\frac{g}{x^2}\dd x=\int_0^\infty\frac{g'}{x}\dd x=\frac18\left(8\cdot\frac\pi2-4\cdot\frac\pi2\right)=\frac\pi4\)，用了 \(\int_0^\infty\frac{\sin kx}{x}\dd x=\frac\pi2\)（\(k>0\)）。代入式 (7.4)：\(\sigma^2=\frac{4N^2}{\pi\tau}\cdot\frac\pi4=\frac{N^2}{\tau}\)，与式 (7.2) 一致。

• 闪烁噪声：分部积分两次，边界项为零，\(\int_0^\infty\frac{g}{x^3}\dd x=\frac12\int_0^\infty\frac{g''}{x}\dd x=\int_0^\infty\frac{\cos2x-\cos4x}{x}\dd x=\ln\frac42=\ln2\)。最后一步是 Frullani 积分 \(\int_0^\infty\frac{\cos ax-\cos bx}{x}\dd x=\ln\frac ba\)：因 \(\frac{\cos ax-\cos bx}{x}=\int_a^b\sin(kx)\dd k\)，乘收敛因子 \(\ee^{-\epsilon x}\) 后交换积分次序，\(\int_0^\infty\ee^{-\epsilon x}\sin kx\,\dd x=\frac{k}{k^2+\epsilon^2}\to\frac1k\)，再对 \(k\) 积分得 \(\ln(b/a)\)。

（verify_symbolic.py 数值核对两积分；gen_allan_data.py 用模拟数据核对平台值。）

要证明：当 \(a>\abs b\) 时 \[\int_0^{2\pi}\frac{\dd x}{a-b\sin x}=\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-b^2}} .\] 展开为几何级数 \(\frac1{a-b\sin x}=\frac1a\sum_{k\ge0}\left(\frac ba\right)^k\sin^kx\)（因 \(\abs{b\sin x/a}<1\)）。奇次项在一周上平均为零；\(\sin^{2j}x\) 的一周平均为 \(\binom{2j}{j}/4^j\)。由二项式级数 \((1-4z)^{-1/2}=\sum_j\binom{2j}{j}z^j\)，取 \(z=b^2/4a^2\)： \[\int_0^{2\pi}\frac{\dd x}{a-b\sin x}=\frac{2\pi}{a}\sum_j\binom{2j}{j}\Big(\frac{b^2}{4a^2}\Big)^j=\frac{2\pi}{a}\frac1{\sqrt{1-b^2/a^2}}=\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-b^2}}.\] 用于 Adler 周期：令 \(x=2\psi\)，\(T_{\mathrm A}=\int_0^\pi\frac{\dd\psi}{\abs{\beta-\frac{\Delta\gamma}2\sin2\psi}}=\frac12\cdot\frac{2\pi}{\sqrt{\beta^2-\Delta\gamma^2/4}}\)。