1 导读

把一束电子射进一个通电的短线圈，电子束会像光线经过凸透镜那样会聚到一点；把两个这样的线圈串起来，就得到一台“显微镜”。200 kV 的电子，德布罗意波长只有 2.5 pm，比可见光短十万倍。按照光学显微镜的经验，分辨率应当接近波长，可是到 20 世纪末，常用的 200 kV 电镜点分辨率只有约 0.2 nm，即使 400 kV 的商用电镜也只有约 0.16 nm[1]，都在波长的五十到一百倍。差距来自磁透镜自身的“像差”。1936 年 Scherzer 证明：凡是轴对称、静态的磁透镜，球差系数一定为正，无法像玻璃透镜那样用“凸凹组合”消掉。直到 1990 年代，人们才用非轴对称的多极场绕开这个定理，把电子显微镜推进到亚埃（\(<{0.1\,}\mathrm{nm}\)）分辨率。

本讲从洛伦兹力出发，一步一步推出：为什么轴对称磁场总是会聚透镜（第 4–5 节），焦距与像的旋转怎样计算（第 6 节），球差从哪里来、为什么一定为正（第 7 节），球差和衍射怎样共同决定分辨率（第 8 节），以及怎样绕过 Scherzer 定理（第 9 节）。

学习目标

学完本讲，你应当能够：

1. 写出相对论修正后的电子波长 \(\lambda=h/\sqrt{2meU^*}\)，并说明 \(U^*\) 的来源；

2. 由 \(\nabla\cdot\vect{B}=0\) 与安培环路定理推出轴对称磁场的近轴展开，由洛伦兹力矩推出 Busch 定理（正则角动量守恒），并解释拉莫尔转动；

3. 在拉莫尔转动系中推出近轴方程 \(w''+\dfrac{eB^2}{8mU^*}w=0\)，说明为什么轴对称磁场总是会聚透镜；

4. 计算薄磁透镜的焦距与像旋转角，理解 Glaser 钟形场的精确解与强透镜的特点；

5. 推出三阶球差系数的积分表达式，并把它写成各项非负的形式，从而理解 Scherzer 定理及其每一个前提；

6. 由球差与衍射的平衡估计分辨极限，理解 Scherzer 欠焦与相位衬度传递函数，估计色差的影响；

7. 用一个简化模型说明两个六极子怎样产生负球差；

8. 处理“纵向磁场聚焦法测电子比荷”的实验数据，包括有限长螺线管与地磁场的修正。

建议学时

共 2 学时（约 90 分钟）：前置模块与 Busch 定理 20 分钟；近轴方程与薄透镜 20 分钟；球差与 Scherzer 定理 25 分钟；分辨率与像差校正 25 分钟。例题、实验题与附录供课后研读。

推导路线

洛伦兹力 + \(\nabla\cdot\vect{B}=0\) \(\Rightarrow\) Busch 定理（拉莫尔转动）\(\Rightarrow\) 拉莫尔系中的近轴方程 \(w''+KB^2w=0\) \(\Rightarrow\) 薄透镜焦距与像旋转 \(\Rightarrow\) 三阶展开 + 常数变易 \(\Rightarrow\) 球差积分（配方后各项非负：Scherzer 定理）\(\Rightarrow\) 与衍射平衡：分辨极限 \(\Rightarrow\) 破坏前提：多极子校正器。

2 名词与符号

例题中只在一题内使用的符号（如 \(L_{12}\)、\(L_{\mathrm{d}}\)、\(L_{\mathrm{in}}\)）在题内定义。几个易混淆的名称：光线在本讲指电子的轨迹（几何光学的说法）；近轴指离轴距离 \(r\) 远小于磁场沿轴变化的特征长度、且轨迹斜率很小；像差指实际光线偏离近轴（理想）成像的部分；物方量是把像面上的偏差除以放大率、折合回物面的量。

3 前置模块

3.1 电子的德布罗意波长与相对论修正

电子从静止经电压 \(U\) 加速，获得动能 \(E_{\mathrm{k}}=eU\)。电子显微镜常用的 \(U\) 是 100–300 kV，而电子静能 \(mc^2={511.0\,}\mathrm{keV}\)，两者同一量级，必须用相对论处理。

3.2 洛伦兹力、回旋运动与“磁场不做功”

电子（电荷 \(-e\)）在磁场中受洛伦兹力 \[\tag{3.3} \dv{\vect{p}}{t}=-e\,\vect{v}\times\vect{B},\qquad \vect{p}=\gamma m\vect{v}.\] 力始终垂直于速度，不做功，所以速率 \(v\)、\(\gamma\) 都是常量。于是 \(\dv{\vect{p}}{t}=\gamma m\dv{\vect{v}}{t}\)：在纯磁场中，相对论电子的运动方程与非相对论方程完全相同，只要把 \(m\) 换成 \(\gamma m\)。本讲以后凡写“质量”处都理解为 \(\gamma m\)，并在最终公式里通过 \(p^2=(\gamma mv)^2=2meU^*\) 换成 \(U^*\)。

\(p/e=B\rho\) 叫磁刚度，表示把动量为 \(p\) 的电子弯成半径 \(\rho\) 的圆需要多强的场。200 kV 电子的 \(p/e={1.649\times 10^{-3}\,}\mathrm{T\cdot m}\)：在 1 T 的场中回旋半径只有 1.6 mm。

3.3 轴对称磁场的近轴展开

磁透镜的磁场关于光轴（\(z\) 轴）旋转对称。用柱坐标 \((r,\theta,z)\)，对称性意味着各分量与 \(\theta\) 无关。我们还假设没有环向分量 \(B_\theta\)（由安培环路定理，\(B_\theta\neq0\) 需要有电流沿轴流过，磁透镜中没有这种电流）。于是磁场只有 \(B_r(r,z)\) 与 \(B_z(r,z)\) 两个分量。线圈设计者能直接控制、也最容易测量的是轴上的场 \[B(z)\equiv B_z(0,z).\] 下面说明：只要知道 \(B(z)\)，近轴区域的全部磁场就确定了。

3.4 几种典型的轴上场

• 圆电流环（短线圈）：半径 \(a\)、\(N\) 匝、电流 \(I\)，由毕奥–萨伐尔定律 \[\tag{3.10} B(z)=\frac{\mu_0NIa^2}{2(a^2+z^2)^{3/2}} .\]

• 有限长螺线管：长 \(\ell\)、半径 \(R_{\mathrm{s}}\)、单位长度匝数 \(n\)，中心在原点，把式 (3.10) 沿线圈长度积分得 \begin{gather*} B(z)=\frac{\mu_0nI}{2}\Big[\Lambda\big(z+\tfrac{\ell}{2}\big)\\ -\Lambda\big(z-\tfrac{\ell}{2}\big)\Big],\\ \Lambda(\xi)\equiv\frac{\xi}{\sqrt{\xi^2+R_{\mathrm{s}}^2}}.\tag{3.11} \end{gather*}

• Glaser 钟形场： \[\tag{3.12} B(z)=\frac{B_0}{1+z^2/a^2},\] \(a\) 是半高半宽。实际电镜物镜用铁磁“极靴”把磁场集中在几毫米的间隙里，轴上场接近钟形；Glaser 在 1941 年发现这种场的近轴方程有精确解[25]，因此它是电子光学的标准模型。

4 Busch 定理与拉莫尔转动

4.1 洛伦兹力矩与磁通：Busch 定理

轴对称系统中，绕 \(z\) 轴的角动量是否守恒？在没有磁场时守恒；有磁场时，洛伦兹力有环向分量，会产生绕轴的力矩。Busch 发现，这个力矩恰好可以写成某个量的时间导数，于是存在一个新的守恒量。

机制

平行于轴射入的电子在进入线圈的边缘场时，经过 \(B_r\approx-\tfrac r2B'\) 的区域。在这里 \(v_z\) 与 \(B_r\) 给出环向力 \(-e(v_zB_r)>0\)，使电子开始绕轴旋转，获得环向速度 \(v_\theta=r\omega_{\mathrm{L}}\)。随后环向速度与轴向场 \(B_z\) 一起产生径向力 \(-ev_\theta B_z<0\)，指向轴。把 \(B\) 反向，两步的符号同时改变：旋转方向反过来，径向力仍指向轴。这就是第 5 节“磁透镜总是会聚”的定性原因。

4.2 匀强场中的例子：螺旋线与拉莫尔系中的直线

在长螺线管内部（匀强场 \(B\)），让电子从轴上一点以横向速度 \(v_\perp\) 出发。把横向位置写成复数 \(u=x+\ii y\)：复平面就是垂直于轴的平面，一个复数乘以 \(\ee^{\ii\psi}=\cos\psi+\ii\sin\psi\) 就是把对应的矢量逆时针转过 \(\psi\)，乘以 \(\ii\) 就是转 \(90^\circ\)。由式 (3.3)，\(\vect{B}=B\uvec{z}\) 时 \(-e\vect{v}\times\vect{B}=(-eB\dot y,\ eB\dot x,\ 0)\)，两个分量方程为 \[\gamma m\ddot x=-eB\dot y,\qquad \gamma m\ddot y=eB\dot x .\] 第二式乘以 \(\ii\) 与第一式相加：\(\gamma m(\ddot x+\ii\ddot y)=eB(-\dot y+\ii\dot x)=\ii eB(\dot x+\ii\dot y)\)，即 \(\gamma m\ddot u=\ii eB\dot u\)：加速度总是速度转过 \(90^\circ\)。它的解是 \(\dot u=v_\perp\ee^{\ii\theta_0}\ee^{\ii\omega_{\mathrm{c}}t}\)（求导验证：\(\dv{}{t}\ee^{\ii\omega_{\mathrm{c}}t}=\ii\omega_{\mathrm{c}}\ee^{\ii\omega_{\mathrm{c}}t}\)），横向速度以 \(\omega_{\mathrm{c}}\) 逆时针旋转。第 5.2 节会把同样的方法用于一般的轴对称场。积分并利用 \(\ee^{\ii\omega_{\mathrm{c}}t}-1=2\ii\sin(\omega_{\mathrm{L}}t)\,\ee^{\ii\omega_{\mathrm{L}}t}\)： \begin{align*} u(t)&=\frac{v_\perp\ee^{\ii\theta_0}}{\ii\omega_{\mathrm{c}}}\big(\ee^{\ii\omega_{\mathrm{c}}t}-1\big)\\ &=\underbrace{\frac{v_\perp}{\omega_{\mathrm{L}}}\sin(\omega_{\mathrm{L}}t)\,\ee^{\ii\theta_0}}_{w(t)}\;\ee^{\ii\omega_{\mathrm{L}}t}.\tag{4.3} \end{align*} 在实验室系中，横向投影是一个经过轴的圆（图 2(a)）。乘上 \(\ee^{-\ii\omega_{\mathrm{L}}t}\)，即换到以 \(\omega_{\mathrm{L}}\) 同向转动的参考系，电子的横向位置 \(w(t)\) 沿一条固定的直线做简谐振动（图 2(b)）。这与 Busch 定理一致：从轴出发的电子绕轴的角速度恒为 \(\omega_{\mathrm{L}}\)（转动参考系中为零）。

经过时间 \(t=\pi/\omega_{\mathrm{L}}=2\pi/\omega_{\mathrm{c}}\)，所有电子同时回到轴上，与 \(v_\perp\) 的大小和方向无关：这是一次“点对点成像”。在此期间电子沿轴前进 \[\tag{4.4} L=v_z\frac{2\pi}{\omega_{\mathrm{c}}}=\frac{2\pi p_z}{eB}\approx\frac{2\pi p}{eB}.\] 小角度时 \(p_z\approx p\)，相对误差为 \(\order{\alpha^2}\)（\(\alpha=v_\perp/v_z\)）。对非相对论电子 \(p=\sqrt{2meU}\)，于是 \(e/m=8\pi^2U/(B^2L^2)\)，这就是 Busch 1922 年测比荷的原理（第 11 节的实验题）。对离轴物点，拉莫尔系中 \(w(t)=w_0\cos(\omega_{\mathrm{L}}t)+\frac{\dot w_0}{\omega_{\mathrm{L}}}\sin(\omega_{\mathrm{L}}t)\)，在 \(t=\pi/\omega_{\mathrm{L}}\) 时为 \(-w_0\)（倒像）；而参考系本身转过了 \(\pi\)，两者合起来，实验室中的像与物重合且正立，放大率为 \(+1\)。

5 近轴运动方程：为什么磁透镜总是会聚

5.1 子午光线的径向方程

从轴上物点出发的电子，Busch 常量为零，它们的轨道始终位于一个绕轴转动（角速度 \(\omega_{\mathrm{L}}\)）的平面内，这种光线叫子午光线。先求它的径向运动。

离心项 \(+r\omega_{\mathrm{L}}^2\) 与洛伦兹径向力 \(-2r\omega_{\mathrm{L}}^2\) 部分抵消，剩下一个“弹簧力”\(-\gamma m\omega_{\mathrm{L}}^2r\)，它恒指向轴，劲度系数正比于 \(B^2\)。

5.2 一般光线：复坐标与拉莫尔转动系

不从轴上出发的光线（Busch 常量不为零）一般不在子午面内，叫斜光线。成像要求所有光线（包括斜光线）都满足同一个线性方程。下面用复坐标一次性处理。

这就是第 5.1 节的径向方程，但现在对任意近轴光线成立：在拉莫尔系中，\(x\) 与 \(y\) 方向是两个互不耦合的、劲度系数随时间变化的谐振子。

5.3 以 z 为自变量：近轴光线方程

光学中关心的是光线的形状 \(w(z)\)，而不是 \(w(t)\)。由速率守恒，\(\dot z=v/\sqrt{1+r'^2+r^2\theta'^2}=v[1+\order{w'^2+KB^2w^2}]\)（第 3 项来自绕轴转动，见第 7.2 节），近轴时取 \(\dot z=v\)，则 \(\dv{}{t}=v\dv{}{z}\)，\(\ddot w=v^2w''\)。代入式 (5.3)，并用 \(\gamma mv=p\)、\(p^2=2meU^*\)： \begin{align*} \frac{\omega_{\mathrm{L}}^2}{v^2}&=\frac{e^2B^2}{4(\gamma mv)^2}\\ &=\frac{e^2B^2}{4\cdot2meU^*}=\frac{eB^2}{8mU^*}. \end{align*}

5.4 基本光线、成像与放大率

式 (5.4) 是二阶线性方程，任何解都可以写成两个特解的线性组合。取物面在 \(z_{\mathrm{o}}\)，定义两条基本光线： \begin{gather*} h(z_{\mathrm{o}})=0,\quad h'(z_{\mathrm{o}})=1;\\ g(z_{\mathrm{o}})=1,\quad g'(z_{\mathrm{o}})=0 .\tag{5.6} \end{gather*} \(h\) 是从轴上物点以单位斜率出发的光线（有长度量纲），\(g\) 是从单位高度平行出发的光线（无量纲）。从物面上 \(w_{\mathrm{o}}\) 处以斜率 \(w'_{\mathrm{o}}\) 出发的任意光线为 \[\tag{5.7} w(z)=w_{\mathrm{o}}\,g(z)+w'_{\mathrm{o}}\,h(z).\]

回到实验室系，像还要整体转过角度 \(\Theta(z_{\mathrm{i}})-\Theta(z_{\mathrm{o}})=\sqrt K\int_{z_{\mathrm{o}}}^{z_{\mathrm{i}}}B\,\dd z\)。磁透镜的像是“放大 \(M\) 倍再转过 \(\Theta\)”。

6 薄磁透镜与 Glaser 场

6.1 Busch 焦距公式

6.2 短线圈透镜

对式 (3.10) 积分（令 \(z=a\tan\psi\)）： \begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}B\,\dd z&=\mu_0NI,\\ \int_{-\infty}^{\infty}B^2\,\dd z&=\frac{(\mu_0NI)^2a^4}{4}\int\frac{\dd z}{(a^2+z^2)^3}\\ &=\frac{3\pi(\mu_0NI)^2}{32a}. \end{align*} 第一个积分正是安培环路定理：沿轴从 \(-\infty\) 到 \(+\infty\)，再从无穷远处绕回，回路套住 \(N\) 匝电流。代入式 (6.1)、(6.2)： \begin{gather*} \frac1f=\frac{3\pi e\mu_0^2(NI)^2}{256\,mU^*a},\\ \Theta=\sqrt{\frac{e}{8mU^*}}\,\mu_0NI,\qquad \Theta^2=\frac{32}{3\pi}\frac{a}{f}.\tag{6.3} \end{gather*} 最后一式消去了电流和电压：薄线圈透镜（\(f\gg a\)）的旋转角必然较小，\(\Theta\approx1.84\sqrt{a/f}\)；要得到 \(f\sim a\) 的强透镜，像必然转过 1 rad 量级。

图 3 是精确磁场、精确洛伦兹力下的轨迹：沿轴看，平行入射的电子先绕轴旋进再穿过轴；在拉莫尔系中看，它们是平面内的会聚光线。

6.3 Glaser 钟形场的精确解与强透镜

薄透镜近似在 \(f\sim a\) 时失效，而高分辨物镜恰恰工作在这一区间。Glaser 场 (3.12) 的近轴方程可以精确求解。定义无量纲的透镜强度 \begin{gather*} k_{\mathrm{G}}^2\equiv KB_0^2a^2=\frac{eB_0^2a^2}{8mU^*},\\ \omega\equiv\sqrt{1+k_{\mathrm{G}}^2}.\tag{6.4} \end{gather*}

由式 (6.6) 可以读出两种“焦距”（附录 C）：

• 物镜焦距：光线第一次过轴发生在 \(z_1=-a\cot(\pi/\omega)\) 处（强透镜时在场内），过轴斜率为 \(-w_0/f_{\mathrm{o}}\)， \[\tag{6.7} f_{\mathrm{o}}=\frac{a}{\sin(\pi/\omega)} .\] 物镜的样品就放在场中、这个焦点附近。

• 投影（渐近）焦距：把出射光线在远处的渐近直线反向延长求得，\(f_{\mathrm{p}}=-a\omega/\sin(\pi\omega)\)。它对应把磁场当作一个整体、物和像都在场外的用法（投影镜）。

数量级

200 kV 时 \(\sqrt{3/K}={5.71\times 10^{-3}\,}\mathrm{T\cdot m}\)。若要 \(k_{\mathrm{G}}^2=3\) 且 \(a={2\,}\mathrm{mm}\)，需要 \(B_0={2.86\,}\mathrm{T}\)；纯铁的饱和磁化强度 \(M_s\approx{1.7\times 10^{6}\,}\mathrm{A/m}\)，对应 \(\mu_0M_s\approx{2.1\,}\mathrm{T}\)[26]，高端极靴常用的铁钴钒合金（如 Hiperco 50）也只有约 2.4 T[27]，这就是极靴物镜的峰值场被限制在 2 T 量级、焦距被限制在毫米量级的原因（例题 3）。整个 Glaser 场中的旋转角为 \(\Theta=\sqrt K\int B\dd z=\sqrt K\,\pi aB_0=\pi k_{\mathrm{G}}\)，\(k_{\mathrm{G}}^2=3\) 时为 \({5.44\,}\mathrm{rad}\approx312^\circ\)。

7 球差与 Scherzer 定理

7.1 什么是球差

近轴方程 (5.4) 是对 \(w\)、\(w'\) 的线性近似。实际光线离轴更远、斜率更大时，还有正比于 \(w^3\)、\(w\,w'^2\) 等的三阶项。对轴上物点，这些项使孔径角为 \(\alpha\) 的光线不再精确地落在高斯像点（近轴像点）上。由旋转对称，偏差只能是 \(\alpha\) 的奇函数，最低阶为 \(\alpha^3\)。

由式 (5.8)，像方光线斜率为 \(\alpha/M\)，所以边缘光线过轴的位置在高斯像面之前 \(M^2C_s\alpha^2\) 处（纵向球差）。

7.2 三阶子午光线方程

\(F_3\) 的四项各有来历：\(-K^2B^4r^3\) 与 \(-KB^2rr'^2\) 来自“电子总速率一定，横向运动越快、纵向越慢，在场中停留越久”；\(BB''r^3\) 来自磁场离轴的变化 (3.8) 与 (3.9)；\(BB'r^2r'\) 来自纵向速度沿轨道的变化。

7.3 像面上的偏差：常数变易

令 \(r=\alpha h+\Delta r\)，其中 \(\alpha h\) 是近轴解，\(\Delta r\) 是三阶修正，满足 \(\Delta r(z_{\mathrm{o}})=\Delta r'(z_{\mathrm{o}})=0\)（初始位置、斜率都由 \(\alpha h\) 给定）。代入式 (7.2)，右边只需保留首阶： \[\tag{7.3} \Delta r''+k^2\Delta r=F_3(\alpha h)=\alpha^3F_3(h).\]

比较定义 (7.1)，\(C_s=-\int hF_3(h)\,\dd z\)。

7.4 配方：Scherzer 定理

把式 (7.2) 的 \(F_3\)（以 \(h\) 代 \(r\)）代入，得到 \begin{align*} C_s=\int_{z_{\mathrm{o}}}^{z_{\mathrm{i}}}\Big[&K^2B^4h^4+KB^2h^2h'^2\\ &-\frac K2BB''h^4-KBB'h^3h'\Big]\dd z . \end{align*} 第三项含 \(B''\)，符号不定。对它分部积分： \begin{align*} -\frac K2\int BB''h^4\,\dd z={}&-\frac K2\Big[BB'h^4\Big]_{z_{\mathrm{o}}}^{z_{\mathrm{i}}}\\ &+\frac K2\int\big(B'^2h^4+4BB'h^3h'\big)\dd z . \end{align*} 边界项为零，因为 \(h\) 在物面和像面都为零。合并后 \begin{align*} C_s=\int\Big[&K^2B^4h^4+\frac K2B'^2h^4\\ &+KB^2h^2h'^2+KBB'h^3h'\Big]\dd z . \end{align*} 后三项可以配成一个完全平方加一个非负项：\(K\big(Bhh'+\tfrac12B'h^2\big)^2=K\big(B^2h^2h'^2+BB'h^3h'+\tfrac14B'^2h^4\big)\)。

7.5 数值验证与物理含义

用两类场检验式 (7.5)（脚本 verify_numeric.py、fig_cs.py）：(i) 圆电流环，离轴场用椭圆积分精确计算（与级数展开完全独立）；(ii) Glaser 场，200 kV。对每个透镜，先由近轴方程求出像面与 \(M\)，再精确追迹孔径角 \(\alpha=2\)–8 mrad 的电子，拟合 \(\Delta r_{\mathrm{i}}/(M\alpha^3)\) 并外推到 \(\alpha\to0\)。表 3 显示两者一致到 \(10^{-5}\)。图 5(b) 画出了式 (7.5) 的三项被积函数：它们处处非负，主要贡献来自场最强处。

几个物理结论：

• 弱透镜的球差很大。对单位放大率的弱 Glaser 透镜（例题 3），主导项是 \(\tfrac K2B'^2h^4\)，\(C_s\approx4f^3/a^2\)：\(f\) 是 \(a\) 的 10 倍时，\(C_s\) 是 \(f\) 的 400 倍。

• 强透镜的 \(C_s/f\) 较小。对物在焦点附近、\(M=-60\) 的 Glaser 物镜，数值计算给出 \(C_s/f_{\mathrm{o}}=1.24\)、0.61、0.37、0.30、0.25（\(k_{\mathrm{G}}^2=0.5\)、1、2、3、5），并随 \(k_{\mathrm{G}}^2\) 继续缓慢下降（\(k_{\mathrm{G}}^2=10\) 时 0.21）。但 \(B_0\) 受限时，\(k_{\mathrm{G}}^2\) 越大 \(a\) 越大，\(C_s\) 本身在 \(k_{\mathrm{G}}^2\approx3\) 附近最小（例题 1）。实际高分辨物镜的 \(C_s\) 为毫米量级，与 \(f_{\mathrm{o}}\) 相当。

• 因此提高分辨率的传统办法是把透镜做得更短、更强，直到受铁饱和限制（第 6.3 节）。Scherzer 定理说明，在这条路上 \(C_s\) 永远不会变成零。

7.6 最小弥散圆

孔径角在 \([-\alpha,\alpha]\) 内的光线不会会聚到一点。观察面相对高斯像面移动时，光斑大小随之变化，存在一个最小值。

8 分辨率：球差、衍射与色差

8.1 几何球差与衍射的平衡

物镜后焦面附近的物镜光阑限制了参与成像的孔径半角 \(\alpha\)。\(\alpha\) 越大，球差弥散 \(\propto\alpha^3\) 越大；\(\alpha\) 越小，衍射越严重。

指数 \(1/4\)、\(3/4\) 与判据无关，系数随判据在 0.5–0.9 之间变化（表 4，由 verify_sympy.py 计算）。对 200 kV、\(C_s={1.2\,}\mathrm{mm}\)：\(\alpha_{\mathrm{opt}}={7.4\,}\mathrm{mrad}\)，\(\delta_{\min}={0.24\,}\mathrm{nm}\)（图 7）。由于 \(C_s\) 只以 \(1/4\) 次方进入，即使把 \(C_s\) 减小 16 倍，分辨率也只提高 2 倍。这正是“改进圆透镜”这条路走不远的原因。

8.2 波像差与 Scherzer 欠焦

高分辨电镜观察的是很薄的样品。电子穿过样品时几乎不被吸收，只是波的相位被样品内的静电势改变。这种样品叫相位物体。几何光学的“光斑”概念不足以描述它的像，需要用波动光学。

8.3 色差、能量展宽与信息极限

电子枪发出的电子能量并不完全相同。常见的电子枪有三类：热阴极（把钨丝或 LaB\(_6\) 加热到很高温度，靠热运动发射电子）、肖特基场发射枪（加热与强电场共同作用）、冷场发射枪（室温下纯靠强电场使电子隧穿出尖端）。能量分布的半高全宽依次减小：肖特基枪约 0.7 eV（对应标准差约 0.3 eV；一台 200 kV 电镜的能谱系统分辨率实测为 0.65 eV[29]），冷场发射枪更小，热阴极更大[31]。此外，高压电源有纹波，透镜电流也有起伏。由式 (6.1)，\(1/f\propto B^2/U^*\propto I^2/U^*\)，这些起伏都会改变焦距。

几何上，能量展宽 \(\Delta E\)（全宽）使像点弥散的量级为 \(\delta_c\approx C_c\alpha\,\eta\Delta E/E_{\mathrm{k}}\)（\(E_{\mathrm{k}}=eU\)；用全宽估计，只表示量级）。200 kV、\(C_c={1.2\,}\mathrm{mm}\)、\(\Delta E={0.7\,}\mathrm{eV}\)、\(\alpha={7.4\,}\mathrm{mrad}\) 时 \(\delta_c={0.036\,}\mathrm{nm}\)，比球差弥散小得多；但若球差被校正、孔径角放大到 20 mrad，\(\delta_c\) 增大到 0.098 nm，成为新的限制（例题 1）。

200 kV、\(C_c={1.2\,}\mathrm{mm}\)、\(\sigma_E={0.3\,}\mathrm{eV}\) 时，仅能量展宽一项就给出 \(\sigma_f={2.1\,}\mathrm{nm}\)；计入电源不稳后取 \(\sigma_f={4\,}\mathrm{nm}\)，得 \(d_I={0.126\,}\mathrm{nm}\)。作为对照，一台未作像校正的 200 kV 场发射电镜，厂方给出的点分辨率为 240 pm、信息极限为 110 pm[29]：未校正时，点分辨率由球差决定，远差于色差决定的信息极限。图 8 上图中，第一零点之后的传递函数仍不为零，但正负交替，像无法直接解读；下图中，校正球差后的通带一直延伸到信息极限。

9 绕过 Scherzer 定理：像差校正

9.1 破坏前提的几条路

Scherzer 在 1947 年就列出了绕开定理的办法[10], [11]。按第 7.4 节要点框中的四个前提，可以归纳为表 5。

电子镜的球差与色差与透镜反号[35]，箔透镜要让电子穿过一层薄膜（会散射电子），时变场要求电子束是脉冲。真正在高分辨电镜中普及的是第一条：多极子。下面用一个简化模型说明六极子怎样产生负球差。

9.2 多极场

设在一段长度上磁场只有横向分量 \(B_x(x,y)\)、\(B_y(x,y)\)，与 \(z\) 无关；电子所经区域无电流。

电子沿 \(+z\) 以速率 \(v\) 运动时，横向力 \(\vect{F}=-ev\,\uvec{z}\times\vect{B}=ev(B_y,-B_x)\)，即 \begin{align*} F_x+\ii F_y&=ev(B_y-\ii B_x)\\ &=-\ii ev\,(B_x+\ii B_y)=-\ii ev\,\overline{G(u)} , \end{align*} 上划线表示复共轭。用 \(\dd/\dd t=v\,\dd/\dd z\)，\(u''=(F_x+\ii F_y)/(\gamma mv^2)=-\ii(e/p)\overline{G}\)。

• 四极场 \(G=c_1u\)：\(u''\propto\bar u\)。取适当的取向，\(x''=-\kappa_1x\)、\(y''=+\kappa_1y\)：一个方向会聚、另一个方向发散。四极子不轴对称，是“柱面透镜”，可以产生发散作用。

• 六极场 \(G=c_2u^2\)：选取六极子绕轴的取向，使 \(-\ii\bar c_2e/p\) 为负实数，记为 \(-\kappa\)，则 \[\tag{9.2} w''=-\kappa\,\bar w^2,\quad \kappa=\frac{e\abs{c_2}}{p}\ (\mathrm{m^{-3}}).\]

（六极子中没有轴向场，拉莫尔转动不出现，这里 \(w=u\)。）力 \(\propto\bar w^2\) 是位移的二次函数；当 \(w\) 绕轴转过角度 \(\psi\) 时，\(\bar w^2\) 转过 \(-2\psi\)，所以作用图样有三重对称（图 10(a)）。它不轴对称，这一阶的效果叫三重像散，本身对成像有害。

9.3 两块六极子的组合：负球差

与物镜配合

设校正器位于物镜之后、来自轴上物点的光线平行于轴的区域（例如把物镜后焦面成像到校正器上），光线高度 \(r=f\alpha\)（\(f\) 是物镜焦距）。物镜的球差在这里表现为一个向内的额外斜率：物方偏差 \(C_s\alpha^3\) 相当于这个平行光区中斜率改变 \(-C_s\alpha^3/f\)（物在焦面上横移 \(\Delta x\)，后方平行光的方向就改变 \(\Delta x/f\)）。校正器给出向外的斜率 \(\tfrac23\kappa^2d^3(f\alpha)^3\)。二者抵消的条件是 \[\tag{9.4} C_s=\frac23\kappa^2d^3f^4 .\] 取 \(f={2\,}\mathrm{mm}\)、\(C_s={1\,}\mathrm{mm}\)、\(d={25\,}\mathrm{mm}\)，200 kV：\(\kappa={2.4\times 10^{6}\,}\mathrm{m^{-3}}\)，即 \(\abs{c_2}=\kappa p/e={4.0\times 10^{3}\,}\mathrm{T/m^2}\)，离轴 1 mm 处的场只有 4 mT。所需的场并不强，难点在于精度：\(\alpha={20\,}\mathrm{mrad}\) 时，单块六极子产生的三重斜率约 1 × 10⁻⁴ rad，必须由第二块抵消到远小于这个量；因此实际校正器离不开精确的像差测量和计算机控制的反复调整（例如文献 [17] 中的计算机控制校正系统）。在本模型中，校正器不改变一阶成像，只叠加一个可调的负球差；真实设计的细节见文献 [12], [14]。

9.4 四极–八极子校正器与校正后的极限

另一种思路先用四极子把圆形电子束“压扁”成沿 \(x\) 方向的线（式 (9.1) 下面的第一条），在那里放一个八极子（力 \(\propto\bar w^3\)）。对沿 \(x\) 拉长的光束，八极子的主要作用是 \(x\) 方向上 \(\propto x^3\) 的修正，可以用来抵消 \(x\) 方向的球差；在另一个把光束压扁成 \(y\) 方向线的位置放第二个八极子处理 \(y\) 方向；第三个八极子消除残余的四重像散（八极场一阶作用产生的、具有四重对称的像差）。这就是 Krivanek 等人在扫描透射电镜中实现的方案[15], [16], [17]。

球差被校正之后，限制分辨率的依次是：五阶球差 \(C_5\) 与其他高阶像差；色差（信息极限，式 (8.8)），它可以用单色器（只让很窄能量范围的电子通过的能量过滤器）减小能量展宽，或用更复杂的校正器同时校正[20], [21]；以及样品本身和机械、电磁的稳定性。2008 年 TEAM 项目报道了超过 50 pm 的信息传递[18]，2009 年分辨了 47 pm 的原子间距[19]。校正器还带来了新的成像方式：有意“过度校正”，把总球差调成适当的负值，可以让原子柱显示为亮点、衬度更高；Jülich 的像校正电镜就把这种“负球差成像”作为典型的高分辨成像设置[37]。

10 决赛风格例题

11 实验与数据处理：纵向磁场聚焦法测电子比荷

12 小结：推导链

1. \(\nabla\cdot\vect{B}=0\)、\(\nabla\times\vect{B}=0\) \(\Rightarrow\) 近轴场 \(B_r\approx-\tfrac r2B'\)，\(B_z\approx B-\tfrac{r^2}4B''\)（式 (3.7)、(3.8)）。

2. 洛伦兹力矩 + 高斯定律 \(\Rightarrow\) Busch 定理 \(\gamma mr^2\dot\theta-e\Phi/2\pi=\) 常量（式 (4.1)）\(\Rightarrow\) 拉莫尔转动 \(\omega_{\mathrm{L}}=eB/2\gamma m\)。

3. 复坐标 + 拉莫尔系 \(\Rightarrow\) \(w''+KB^2w=0\)，\(K=e/8mU^*\)（式 (5.4)）\(\Rightarrow\) 磁透镜只会聚；像旋转 \(\Theta=\sqrt K\int B\dd z\)。

4. 薄透镜 \(\Rightarrow\) Busch 公式 \(1/f=K\int B^2\dd z\)（式 (6.1)）；Glaser 场精确解 \(\Rightarrow\) 强透镜 \(f_{\mathrm{o}}\ge a\)（式 (6.7)）。

5. 精确径向方程 + Busch 定理 + 速率守恒，展开到三阶 \(\Rightarrow\) \(F_3\)（式 (7.2)）；常数变易 \(\Rightarrow\) \(\Delta r_{\mathrm{i}}=-M\int hF\,\dd z\)（式 (7.4)）；分部积分、配方 \(\Rightarrow\) 正定的 \(C_s\)（式 (7.5)），即 Scherzer 定理。同一套方法给出 \(C_c=K\int B^2h^2\dd z>0\)。

6. 球差 \(\tfrac14C_s\alpha^3\) 与衍射 \(0.61\lambda/\alpha\) 平衡 \(\Rightarrow\) \(\delta\approx0.65C_s^{1/4}\lambda^{3/4}\)；波像差 \(\chi(q)\) + 弱相位物体 \(\Rightarrow\) 传递函数 \(\sin\chi\)，Scherzer 欠焦 \(\Rightarrow\) \(0.66C_s^{1/4}\lambda^{3/4}\)；色差包络 \(\Rightarrow\) 信息极限 \(\sqrt{\pi\lambda\sigma_f/2}\)。

7. 无源横向场 \(B_x-\ii B_y\) 可写成 \(u=x+\ii y\) 的多项式 \(\Rightarrow\) 多极场；六极子二阶组合项 \(\propto\abs{w}^2w\) 向外 \(\Rightarrow\) 两块六极子消去三重像散、留下负球差 \(\tfrac23\kappa^2d^3\)（式 (9.3)）。

参考文献

附录 A 轴对称磁场的完整展开与圆电流环的精确场

A.1 任意阶的近轴展开

设 \(B_z=\sum_{n\ge0}a_n(z)r^{2n}\)，\(B_r=\sum_{n\ge0}b_n(z)r^{2n+1}\)（\(B_z\) 是 \(r\) 的偶函数、\(B_r\) 是奇函数，由轴对称与在轴上光滑所要求）。\(a_0=B(z)\)。

前几项： \begin{gather*} B_z=B-\frac{r^2}{4}B''+\frac{r^4}{64}B''''-\cdots,\\ B_r=-\frac r2B'+\frac{r^3}{16}B'''-\cdots . \end{gather*} verify_sympy.py 核对了这两个截断式满足 \(\nabla\cdot\vect{B}=0\)、\(\nabla\times\vect{B}=0\) 到相应阶，以及 Busch 证明中用到的恒等式 \(r(v_zB_r-v_rB_z)=-\frac{1}{2\pi}\dv{\Phi}{t}\) 到 \(r^4\) 阶。

A.2 圆电流环的精确场

半径 \(a\)、电流 \(I\)（\(N\) 匝时以 \(NI\) 代 \(I\)）的圆环，矢势只有环向分量[38] \begin{gather*} A_\theta(r,z)=\frac{\mu_0I}{\pi\nu}\sqrt{\frac ar}\Big[\Big(1-\frac{\nu^2}2\Big)\mathsf K(\nu^2)-\mathsf E(\nu^2)\Big],\\ \nu^2=\frac{4ar}{(a+r)^2+z^2}, \end{gather*} \(\mathsf K\)、\(\mathsf E\) 是第一、二类完全椭圆积分（参数为 \(\nu^2\)；用无衬线字体以区别于透镜常数 \(K\) 与能量）。磁通 \(\Phi=2\pi rA_\theta\)。由 \(\vect{B}=\nabla\times\vect{A}\)： \begin{align*} B_z&=\frac{\mu_0I}{2\pi\sqrt{(a+r)^2+z^2}}\Big[\mathsf K+\frac{a^2-r^2-z^2}{(a-r)^2+z^2}\mathsf E\Big],\\ B_r&=\frac{\mu_0Iz}{2\pi r\sqrt{(a+r)^2+z^2}}\Big[-\mathsf K+\frac{a^2+r^2+z^2}{(a-r)^2+z^2}\mathsf E\Big]. \end{align*} \(r\to0\) 时 \(B_z\) 回到式 (3.10)（脚本中核对到 \(10^{-8}\)）。本讲所有“精确场”的追迹（图 1(b)、3，表 3 的线圈行，Busch 定理的检验）都用这组公式。

附录 B 三阶光线方程与球差积分的推导细节

B.1 第 2 步的展开

记 \(\omega_0=e/(2\gamma m)\)，\(\dot\theta=\omega_0(B-\tfrac{r^2}8B'')\)，\(B_z=B-\tfrac{r^2}4B''\)。精确径向方程 (5.1) 改写为 \(\ddot r=r\dot\theta^2-2\omega_0r\dot\theta B_z\)。逐项展开到 \(r^3\)： \begin{align*} r\dot\theta^2&=\omega_0^2r\Big(B^2-\frac{r^2}{4}BB''\Big),\\ 2\omega_0r\dot\theta B_z&=2\omega_0^2r\Big(B^2-\frac{r^2}{8}BB''-\frac{r^2}{4}BB''\Big)\\ &=2\omega_0^2r\Big(B^2-\frac{3r^2}{8}BB''\Big). \end{align*} 相减：\(\ddot r=\omega_0^2r\big(-B^2+\tfrac12r^2BB''\big)\)。

B.2 第 4 步的展开

\(\dot z^2=v^2/(1+s^2)\)，\(s^2=r'^2+r^2\theta'^2\)。\(s^2\) 已是二阶，其中 \(\theta'\) 只需首阶：\(\theta'=\dot\theta/\dot z\approx\omega_0B/v\)，\(r^2\theta'^2=KB^2r^2\)（\(K=\omega_0^2/v^2\)）。于是 \begin{align*} \ddot r&=\dot z^2r''+\frac12(\dot z^2)'r'\\ &=v^2\Big[(1-s^2)r''-\frac12(s^2)'r'\Big]+\order{r^5}. \end{align*} \((s^2)'=2r'r''+2KBB'r^2+2KB^2rr'\)；用一阶方程 \(r''=-KB^2r\)，第一项与第三项相消，\((s^2)'=2KBB'r^2\)。代入并令其等于 \(v^2(-KB^2r+\tfrac K2BB''r^3)\)： \[(1-s^2)r''-KBB'r^2r'=-KB^2r+\frac K2BB''r^3 .\] 两边除以 \((1-s^2)\)，右边首项乘 \((1+s^2)\)，其余已是三阶： \begin{align*} r''={}&-KB^2r-KB^2r(r'^2+KB^2r^2)\\ &+\frac K2BB''r^3+KBB'r^2r' , \end{align*} 即式 (7.2)。sympy 用小参量 \(\epsilon\) 计阶（\(r\to\epsilon r\)）独立地重复了这一展开。

B.3 积分形式的等价性

配方形式 (7.5) 的被积函数记为 \(P\)，标准形式的被积函数记为 \(S=\frac K{16}(24KB^4h^4+8B'^2h^4-8B^2h^2h'^2)\)。直接展开并利用 \(h''=-KB^2h\) 可以验证 \[P-S=\dv{}{z}\Big(\frac K2B^2h^3h'\Big),\] 右边积分后在物、像面为零（\(h=0\)），所以两种形式给出同一个 \(C_s\)。同样，\(-hF_3(h)\) 与 \(P\) 相差 \(\dv{}{z}(\tfrac K2BB'h^4)\)。

B.4 物在场内的情形

推导中没有要求物、像在无场区：物点在轴上（\(r=0\)）保证 Busch 常量为零；\(h(z_{\mathrm{o}})=h(z_{\mathrm{i}})=0\) 保证分部积分的边界项为零。所以式 (7.5) 对“浸没”在磁场中的样品（高分辨物镜的实际情况）同样成立。表 3 中 Glaser 透镜的物点都在场内。

附录 C Glaser 场精确解的推导

附录 D 六极子组合像差的微扰计算

D.1 单块六极子

方程 \(w''=-\kappa\bar w^2\)，入射 \(w(0)=w_0\)、\(w'(0)=0\)。令 \(w=w_0+\kappa w_1+\kappa^2w_2+\cdots\)。比较 \(\kappa^1\)：\(w_1''=-\bar w_0^2\)，\(w_1=-\tfrac12\bar w_0^2z^2\)，\(\bar w_1=-\tfrac12w_0^2z^2\)。比较 \(\kappa^2\)：\(w_2''=-2\bar w_0\bar w_1=\abs{w_0}^2w_0z^2\)，\(w_2=\tfrac1{12}\abs{w_0}^2w_0z^4\)。出口： \begin{align*} w(d)&=w_0-\frac{\kappa}{2}\bar w_0^2d^2+\frac{\kappa^2}{12}\abs{w_0}^2w_0d^4,\\ w'(d)&=-\kappa\bar w_0^2d+\frac{\kappa^2}{3}\abs{w_0}^2w_0d^3 . \end{align*}

D.2 中心对中心、放大率 −1 的转移

理想的放大率 \(-1\) 无焦系统（两个焦距相同、间距为两倍焦距的薄透镜）把平面 \(P\) 上的 \((w,w')\) 变成共轭平面 \(P'\) 上的 \((-w,-w')\)，并且把 \(P\) 之后距离 \(\ell\) 的平面成像到 \(P'\) 之后距离 \(\ell\) 处（纵向放大率 \(M^2=1\)）。第一块六极子的中心成像到第二块的中心，所以第一块的出口面成像到第二块的出口面。用直线把第二块入口处的状态外推：等效于把第一块出口的状态 \((w(d),w'(d))\) 先“退回”距离 \(d\)，再取负号，进入第二块： \[w_a=-[w(d)-d\,w'(d)],\qquad w_a'=-w'(d).\] 在第二块中令 \(u=-w\)（“展开坐标”），\(u''=-w''=\kappa\bar w^2=\kappa\bar u^2\)：相当于一块反号的六极子，入射 \(u_a=w(d)-dw'(d)=w_0+\tfrac\kappa2\bar w_0^2d^2+\order{\kappa^2}\)，\(u_a'=w'(d)\)。

D.3 第二块六极子中的二阶计算

第二块内到 \(\kappa^1\) 的轨迹：\(u=w_0+\kappa\bar w_0^2(\tfrac{d^2}2-dz+\tfrac{z^2}2)+\order{\kappa^2}\)（三项分别来自入射位置、入射斜率和本块的一阶偏折）。于是 \(\bar u^2=\bar w_0^2+2\kappa\abs{w_0}^2w_0(\tfrac{d^2}2-dz+\tfrac{z^2}2)+\cdots\)， \begin{align*} \Delta u'&=\int_0^d\kappa\bar u^2\,\dd z\\ &=\kappa\bar w_0^2d+2\kappa^2\abs{w_0}^2w_0\Big(\frac{d^3}{2}-\frac{d^3}{2}+\frac{d^3}{6}\Big)\\ &=\kappa\bar w_0^2d+\frac13\kappa^2\abs{w_0}^2w_0d^3 . \end{align*} 出口斜率 \(u'=u_a'+\Delta u'=\big[-\kappa\bar w_0^2d+\tfrac13\kappa^2\abs{w_0}^2w_0d^3\big]+\big[\kappa\bar w_0^2d+\tfrac13\kappa^2\abs{w_0}^2w_0d^3\big]=\tfrac23\kappa^2\abs{w_0}^2w_0d^3\)。出口位置的 \(\kappa^1\) 项：\(\tfrac12d^2-d^2+\tfrac12d^2=0\)，也抵消。在 \(\kappa^2\) 阶，出口位置还留下 \(\tfrac13\kappa^2d^4\abs{w_0}^2w_0\)（数值核对比值 1.0005），相当于把组合斜率 \(\tfrac23\kappa^2d^3\abs{w_0}^2w_0\) 放在第二块的中心作用；它也是轴对称的三阶项，不影响三重项的抵消。这就是式 (9.3)。sympy 符号核对与数值积分见 verify_sympy.py、fig_hexapole.py。

附录 E 最小二乘直线拟合与数值积分

Simpson 公式

等间距 \(\Delta z\)、奇数个点 \(f_0,\dots,f_{2N}\)：\(\int f\dd z\approx\frac{\Delta z}3[f_0+4f_1+2f_2+4f_3+\cdots+4f_{2N-1}+f_{2N}]\)，误差 \(\propto\Delta z^4f''''\)。若各 \(f_j\) 有独立误差 \(u_j\)，积分的不确定度为 \(\frac{\Delta z}{3}\sqrt{\sum c_j^2u_j^2}\)，\(c_j\) 是上面的权重 1、4、2、…。

误差传递

对 \(e/m=4\pi^2/(L\beta_2\Gamma^2)\)，各量独立时相对不确定度为 \begin{align*} \frac{u(e/m)}{e/m}=\Big[&\Big(\frac{2u_\Gamma}{\Gamma}\Big)^2+\Big(\frac{u_{\beta_2}}{\beta_2}\Big)^2\\ &+\Big(\frac{u_L}{L}\Big)^2+\cdots\Big]^{1/2} . \end{align*}注意 \(\beta_2\) 本身依赖 \(L\)（积分区间与权重），所以 \(L\) 的影响要整体估计（实验题 (6c)）。

附录 F 数值方法说明

• 精确追迹（scripts/eo.py 中的 trace_exact）：以 \(z\) 为自变量积分相对论洛伦兹力方程，状态为 \((x,y,p_x,p_y,t)\)，\(p_z=\sqrt{p^2-p_x^2-p_y^2}\)；DOP853 方法，相对容差 \(10^{-11}\)–\(10^{-12}\)。线圈场用附录 A.2 的椭圆积分；Glaser 场用附录 A.1 截断到 \(r^3\) 的级数（对三阶像差足够）。

• 近轴量：像面由 \(h(z)=0\) 的根（Brent 法）求得，\(M=g(z_{\mathrm{i}})\)。

• 球差系数的追迹值：\(\alpha=2\)–8 mrad 四条光线，按近轴旋转角投影到子午面，拟合 \(\Delta r_{\mathrm{i}}/(M\alpha^3)=C_s+c\alpha^2\) 并取 \(\alpha\to0\) 的截距。

• 交互演示用四阶龙格–库塔法积分同样的方程，读数与正文公式的对照见 VERIFY.md。

附录 G 名词解释