固定一点 \((x,y,z)\)（三个坐标都不为零），考虑 \(s\) 的函数 \[\tag{3.3} F(s)=\frac{x^2}{a^2+s}+\frac{y^2}{b^2+s}+\frac{z^2}{c^2+s}-1 .\] 过该点的共焦曲面对应 \(F(s)=0\) 的根。

1. 单调性：\(F'(s)=-\sum_ix_i^2/(a_i^2+s)^2<0\)，所以在每个不含极点的区间上 \(F\) 严格递减，每个区间至多一个根。

2. 区间 \((-c^2,\infty)\)：\(s\to-c^{2+}\) 时 \(z^2/(c^2+s)\to+\infty\)，\(s\to\infty\) 时 \(F\to-1\)，由连续性恰有一根 \(\lambda\)。区间 \((-b^2,-c^2)\)：左端 \(y^2/(b^2+s)\to+\infty\)、右端 \(z^2/(c^2+s)\to-\infty\)，恰有一根 \(\mu\)。区间 \((-a^2,-b^2)\) 同理恰有一根 \(\nu\)。区间 \((-\infty,-a^2)\)：分母全负，\(F<-1\)，无根。

另一方面，\(F(s)=0\) 两边乘以 \((a^2+s)(b^2+s)(c^2+s)\) 得到 \(s\) 的三次方程，最多三个根。所以过每一点恰有三张共焦曲面：一个椭球面（\(\lambda\)）、一个单叶双曲面（\(\mu\)）、一个双叶双曲面（\(\nu\)），见图 2。点落在坐标平面上时（某个 \(x_i=0\)），相应的极点消失，由连续性 \(\mu\) 或 \(\nu\) 退到区间端点，三个根仍唯一确定。

曲面 \(G(\vect x)=1\) 在某点的法向沿梯度 \(\nabla G\)。对参数为 \(s_1\) 的曲面，\(G=\sum_ix_i^2/(a_i^2+s_1)\)，法向 \[\vect n_1\propto\left(\frac{x}{a^2+s_1},\ \frac{y}{b^2+s_1},\ \frac{z}{c^2+s_1}\right)\] （公共因子 2 已略去）。参数为 \(s_2\) 的曲面同理。两法向的点积 \[\vect n_1\cdot\vect n_2\propto\sum_i\frac{x_i^2}{(a_i^2+s_1)(a_i^2+s_2)} .\] 用部分分式 \(\dfrac{1}{(a_i^2+s_1)(a_i^2+s_2)}=\dfrac{1}{s_2-s_1}\left[\dfrac{1}{a_i^2+s_1}-\dfrac{1}{a_i^2+s_2}\right]\) 改写： \[\tag{3.4} \begin{gathered}\sum_i\frac{x_i^2}{(a_i^2+s_1)(a_i^2+s_2)}\\=\frac{1}{s_2-s_1}\left[\sum_i\frac{x_i^2}{a_i^2+s_1}-\sum_i\frac{x_i^2}{a_i^2+s_2}\right].\end{gathered}\] 若两张曲面都过该点，方括号里两个和都等于 1，差为零；而 \(s_1\ne s_2\)。所以 \(\vect n_1\cdot\vect n_2=0\)：过同一点的两张不同共焦曲面在该点正交。

\(\lambda(\vect x)\) 由 \(\sum_jx_j^2/A_j=1\) 隐式确定。两边对 \(x_i\) 求偏导，注意 \(A_j=a_j^2+\lambda\) 通过 \(\lambda\) 依赖 \(x_i\)： \[\frac{2x_i}{A_i}-\sum_j\frac{x_j^2}{A_j^2}\,\pdv{\lambda}{x_i}=0 .\] 第二项的和就是 \(\Gamma\)，所以 \[\tag{3.7} \pdv{\lambda}{x_i}=\frac{2x_i}{A_i\Gamma},\qquad |\nabla\lambda|^2=\sum_i\frac{4x_i^2}{A_i^2\Gamma^2}=\frac{4}{\Gamma}.\] \(\nabla\lambda\) 沿共焦椭球的法向 \((x_i/A_i)\)，与上一小节的法向一致。

拉普拉斯算子 \(\nabla^2\equiv\sum_i\partial^2/\partial x_i^2\)。对式 (3.7) 的第一式再对 \(x_i\) 求偏导（不求和），用乘积法则，三项分别来自 \(x_i\)、\(1/A_i\)、\(1/\Gamma\)： \[\pdv{^2\lambda}{x_i^2}=\frac{2}{A_i\Gamma}-\frac{2x_i}{A_i^2\Gamma}\pdv{\lambda}{x_i}-\frac{2x_i}{A_i\Gamma^2}\pdv{\Gamma}{x_i}.\] 其中 \(\Gamma\) 既显含 \(x_i\)，又通过 \(\lambda\) 依赖 \(x_i\)：\(\pdv{\Gamma}{x_i}=\dfrac{2x_i}{A_i^2}-2\Lambda\,\pdv{\lambda}{x_i}\)，\(\Lambda\equiv\sum_jx_j^2/A_j^3\)。代入 \(\partial_i\lambda\) 的表达式后对 \(i\) 求和，逐项计算：

• 第一项：\(\dfrac{2}{\Gamma}\sum_i\dfrac{1}{A_i}\)；

• 第二项：\(-\sum_i\dfrac{2x_i}{A_i^2\Gamma}\cdot\dfrac{2x_i}{A_i\Gamma}=-\dfrac{4\Lambda}{\Gamma^2}\)；

• 第三项：\(-\sum_i\dfrac{2x_i}{A_i\Gamma^2}\left(\dfrac{2x_i}{A_i^2}-2\Lambda\dfrac{2x_i}{A_i\Gamma}\right)=-\dfrac{4\Lambda}{\Gamma^2}+\dfrac{8\Lambda}{\Gamma^3}\Gamma=+\dfrac{4\Lambda}{\Gamma^2}\)。

后两项相消，得 \[\tag{3.8} \begin{gathered} \nabla^2\lambda=\frac{2}{\Gamma}\sum_i\frac{1}{a_i^2+\lambda},\\ \frac{\nabla^2\lambda}{|\nabla\lambda|^2}=\frac12\sum_i\frac{1}{a_i^2+\lambda}=\dv{}{\lambda}\ln\Delta(\lambda) \end{gathered}\] 最后一步用了 \(\Delta(\lambda)=\sqrt{(a^2+\lambda)(b^2+\lambda)(c^2+\lambda)}\)，\(\ln\Delta=\frac12\sum_i\ln(a_i^2+\lambda)\)。

记 \(\uvec e_i\) 为沿 \(q_i\) 增加方向的单位矢量。

1. 梯度：沿 \(\uvec e_1\) 走 \(\dd s=H_1\dd q_1\)，函数改变 \(\pdv{\Phi}{q_1}\dd q_1\)，所以方向导数 \(\uvec e_1\cdot\nabla\Phi=\frac{1}{H_1}\pdv{\Phi}{q_1}\)： \[\tag{4.2} \nabla\Phi=\sum_i\frac{1}{H_i}\pdv{\Phi}{q_i}\uvec e_i .\]

2. 散度：矢量场 \(\vect F\) 的散度 \(\nabla\cdot\vect F\) 定义为“穿出单位体积的通量”（直角坐标中即 \(\sum\partial F_i/\partial x_i\)；由高斯定理，\(\oint\vect F\cdot\dd\vect S=\int\nabla\cdot\vect F\,\dd V\)）。取由 \(q_i\) 到 \(q_i+\dd q_i\) 围成的小“曲边盒”，体积 \(H_1H_2H_3\dd q_1\dd q_2\dd q_3\)。垂直于 \(\uvec e_1\) 的一对面，面积为 \(H_2H_3\dd q_2\dd q_3\)，但面积本身随 \(q_1\) 变化，所以净穿出通量是 \(\pdv{}{q_1}(H_2H_3F_1)\dd q_1\dd q_2\dd q_3\)。三对面相加再除以体积： \[\tag{4.3} \begin{aligned}\nabla\cdot\vect F=\frac{1}{H_1H_2H_3}\Big[&\pdv{}{q_1}(H_2H_3F_1)\\&+\pdv{}{q_2}(H_3H_1F_2)\\&+\pdv{}{q_3}(H_1H_2F_3)\Big].\end{aligned}\]

3. 拉普拉斯算子：\(\nabla^2\Phi=\nabla\cdot\nabla\Phi\)，把式 (4.2) 的分量 \(F_i=\frac{1}{H_i}\partial_i\Phi\) 代入式 (4.3)： \[\tag{4.4} \begin{aligned}\nabla^2\Phi&=\frac{1}{H_1H_2H_3}\\&\quad\times\sum_{i=1}^3\pdv{}{q_i}\left(\frac{H_1H_2H_3}{H_i^2}\pdv{\Phi}{q_i}\right).\end{aligned}\]

核对：球坐标中 \(H_1H_2H_3=r^2\sin\theta\)，\(i=r\) 一项给出 \(\frac{1}{r^2}\pdv{}{r}\left(r^2\pdv{\Phi}{r}\right)\)，正是熟悉的径向部分。

记 \(Z\equiv z+\ii\rho=f\cosh w\)。\(\cosh w=\frac12(\ee^{\xi}\ee^{\ii\eta}+\ee^{-\xi}\ee^{-\ii\eta})\)，直接逐项求偏导：\(\partial_\xi\) 给出 \(\frac12(\ee^{w}-\ee^{-w})=\sinh w\)；由 \(\partial_\eta\ee^{\pm\ii\eta}=\pm\ii\,\ee^{\pm\ii\eta}\)，\(\partial_\eta\) 给出 \(\ii\sinh w\)。即 \begin{gather*} \pdv{Z}{\xi}=f\sinh w,\\ \pdv{Z}{\eta}=\ii f\sinh w\quad\Longrightarrow\quad \dd Z=f\sinh w\,(\dd\xi+\ii\,\dd\eta). \end{gather*} 子午面内的线元平方 \(\dd z^2+\dd\rho^2=|\dd Z|^2\)，而 \(|\dd\xi+\ii\,\dd\eta|^2=\dd\xi^2+\dd\eta^2\)，所以 \[\dd z^2+\dd\rho^2=f^2|\sinh w|^2(\dd\xi^2+\dd\eta^2).\] 没有 \(\dd\xi\,\dd\eta\) 交叉项——\(\xi\) 线与 \(\eta\) 线正交；且两个方向的拉梅系数相等。唯一的例外是 \(\sinh w=0\) 处（\(w=0\) 或 \(\ii\pi\)，即两个焦点），那里 \(H_\xi=H_\eta=0\)，坐标奇异。由 \(\sinh w=\sinh\xi\cos\eta+\ii\cosh\xi\sin\eta\)， \(|\sinh w|^2=\sinh^2\xi\cos^2\eta+\cosh^2\xi\sin^2\eta=\sinh^2\xi+\sin^2\eta\)。加上绕轴方向的 \(\rho^2\dd\varphi^2\)： \[\tag{4.8} \begin{gathered}H_\xi=H_\eta=f\sqrt{\sinh^2\xi+\sin^2\eta},\\ H_\varphi=\rho=f\sinh\xi\sin\eta .\end{gathered}\]

在式 (4.10) 中试探 \(\Phi=U(u)V(v)\)，代入后除以 \(UV\)： \[\frac{1}{U}\dv{}{u}\left[(u^2-1)\dv{U}{u}\right]=-\frac{1}{V}\dv{}{v}\left[(1-v^2)\dv{V}{v}\right].\] 左边只依赖 \(u\)，右边只依赖 \(v\)，两者恒等只能都等于同一常数，记为 \(n(n+1)\)。于是 \(U\)、\(V\) 满足同一个方程 \[\tag{4.13} \dv{}{t}\left[(1-t^2)\dv{y}{t}\right]+n(n+1)\,y=0,\] 只是 \(V\) 的自变量 \(t=v\in[-1,1]\)，\(U\) 的自变量 \(t=u\ge1\)。式 (4.13) 叫勒让德方程。在球坐标中分离变量得到的角向方程正是它（\(t=\cos\theta\)）。

设导体是长椭球 \(\xi=\xi_0\)，\(c=f\cosh\xi_0\)，\(a=f\sinh\xi_0\)。令 \(\Phi=\Phi(\xi)\)，式 (4.9) 中 \(\eta\)、\(\varphi\) 导数为零，拉普拉斯方程化为 \[\dv{}{\xi}\left(\sinh\xi\dv{\Phi}{\xi}\right)=0\quad\Longrightarrow\quad\dv{\Phi}{\xi}=-\frac{K}{\sinh\xi},\] \(K\) 为常数。前面的因子 \(1/[f^2(\sinh^2\xi+\sin^2\eta)]\) 依赖 \(\eta\)，但它乘的是零，所以不影响——这就是“只依赖 \(\xi\) 的解存在”的原因。再积分一次，取无穷远为零，由第 4.3 节最后一条： \[\tag{5.1} \Phi=K\ln\coth\frac\xi2=K\,Q_0(\cosh\xi).\]

远处 \(\xi\to\infty\)，\(r=\sqrt{z^2+\rho^2}=f\sqrt{\sinh^2\xi+\cos^2\eta}\approx f\cosh\xi\)，由式 (4.18)，\(\Phi\approx K/\cosh\xi\approx Kf/r\)。与 \(Q/(4\pi\varepsilon_0r)\) 比较得 \(K=Q/(4\pi\varepsilon_0f)\)。导体表面 \(\cosh\xi_0=c/f\)，表面电势 \(\Phi_0=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0f}Q_0(c/f)\)，于是 \[\tag{5.2} \begin{gathered}C_{\text{长}}=\frac{4\pi\varepsilon_0f}{Q_0(c/f)}=\frac{4\pi\varepsilon_0f}{\operatorname{artanh}(f/c)}\\=\frac{4\pi\varepsilon_0\sqrt{c^2-a^2}}{\operatorname{arcosh}(c/a)}\quad(c>a).\end{gathered}\] 最后一步：\(\operatorname{artanh}\frac fc=\frac12\ln\frac{c+f}{c-f}=\frac12\ln\frac{(c+f)^2}{c^2-f^2}=\ln\frac{c+f}{a}=\operatorname{arcosh}\frac ca\)（用了 \(c^2-f^2=a^2\) 与 \(\operatorname{arcosh}x=\ln(x+\sqrt{x^2-1})\)）。文献中常把长半轴记作 \(a\)、短半轴记作 \(b\)，同一结果写成 \(4\pi\varepsilon_0\sqrt{a^2-b^2}/\operatorname{arcosh}(a/b)\)；本讲始终以 \(c\) 表示对称轴方向的半轴。

导体为扁椭球 \(\xi=\xi_0\)，\(c=f\sinh\xi_0\)，\(a=f\cosh\xi_0\)。用式 (4.12)，\(\Phi=\Phi(u)\)，\(u=\sinh\xi\)：\([(1+u^2)\Phi']'=0\)，\(\Phi'=-K/(1+u^2)\)，\(\Phi=K\operatorname{arccot}u=K\tilde Q_0(\sinh\xi)\)。远处 \(\operatorname{arccot}u\approx1/u\approx f/r\)，同样 \(K=Q/(4\pi\varepsilon_0f)\)。表面 \(u_0=c/f\)，\(\operatorname{arccot}\frac cf=\arctan\frac fc=\arccos\frac ca\)（直角三角形，斜边 \(a\)、两直角边 \(c\) 与 \(f\)）。所以 \[\tag{5.3} \begin{gathered}C_{\text{扁}}=\frac{4\pi\varepsilon_0f}{\operatorname{arccot}(c/f)}\\=\frac{4\pi\varepsilon_0\sqrt{a^2-c^2}}{\arccos(c/a)}\quad(c<a).\end{gathered}\]

设 \(\Phi=\Phi(\lambda(\vect x))\)。由链式法则，\(\partial_i\Phi=\Phi'\partial_i\lambda\)，\(\partial_i^2\Phi=\Phi''(\partial_i\lambda)^2+\Phi'\partial_i^2\lambda\)，对 \(i\) 求和： \[\nabla^2\Phi=\Phi''|\nabla\lambda|^2+\Phi'\nabla^2\lambda =|\nabla\lambda|^2\left[\Phi''+\Phi'\frac{\nabla^2\lambda}{|\nabla\lambda|^2}\right].\] 代入式 (3.7)、(3.8)： \[\tag{5.6} \nabla^2\Phi=\frac{4}{\Gamma}\left[\Phi''+\Phi'\frac{\Delta'}{\Delta}\right]=\frac{4}{\Gamma\,\Delta}\dv{}{\lambda}\left(\Delta\dv{\Phi}{\lambda}\right).\] （这与椭球坐标中的式 (4.21) 一致，因为 \(\Gamma=4H_\lambda^2=(\lambda-\mu)(\lambda-\nu)/\Delta^2\)。）方括号里的系数只依赖 \(\lambda\)，所以拉普拉斯方程确实可以只靠 \(\lambda\) 的函数满足：\(\Delta\Phi'=-K\)， \[\tag{5.7} \Phi(\vect x)=K\int_{\lambda(\vect x)}^\infty\frac{\dd t}{\Delta(t)}\equiv K\,I(\lambda).\] 远处 \(\lambda\approx r^2\)，\(\Delta(t)\approx t^{3/2}\)，\(I(\lambda)\approx\int_{r^2}^\infty t^{-3/2}\dd t=2/r\)。与 \(Q/(4\pi\varepsilon_0r)\) 比较，\(K=Q/(8\pi\varepsilon_0)\)。

导体表面外侧 \(\sigma=\varepsilon_0E_n=\varepsilon_0|\nabla\Phi|\)。由式 (5.8)，\(|\nabla\Phi|=\frac{Q}{8\pi\varepsilon_0}\frac{1}{\Delta(\lambda)}|\nabla\lambda|\)；表面上 \(\lambda=0\)，\(\Delta(0)=abc\)，\(|\nabla\lambda|=2h\)（式 (3.9)）： \[\tag{5.9} \begin{aligned}\sigma(\vect x)&=\frac{Q\,h(\vect x)}{4\pi abc}\\&=\frac{Q}{4\pi abc}\left(\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4}+\frac{z^2}{c^4}\right)^{-1/2}.\end{aligned}\]

在 \(z\) 轴上 \(-f\le z'\le f\) 的线段上均匀分布电荷，线密度 \(\lambda_\ell=Q/(2f)\)。场点 \((\rho,z)\) 处的电势（库仑叠加）： \begin{align*} \Phi&=\frac{\lambda_\ell}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-f}^{f}\frac{\dd z'}{\sqrt{\rho^2+(z-z')^2}}\\ &=\frac{\lambda_\ell}{4\pi\varepsilon_0}\left[\operatorname{arsinh}\frac{z+f}{\rho}-\operatorname{arsinh}\frac{z-f}{\rho}\right]. \end{align*} 用 \(\operatorname{arsinh}x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)，并记 \(r_1=\sqrt{\rho^2+(z+f)^2}\)、\(r_2=\sqrt{\rho^2+(z-f)^2}\)（到两端点的距离）： \[\Phi=\frac{\lambda_\ell}{4\pi\varepsilon_0}\ln\frac{z+f+r_1}{z-f+r_2}.\] 现在证明这个比值只依赖 \(r_1+r_2\)。令 \(S=r_1+r_2\)，\(D=r_1-r_2\)。由 \(r_1^2-r_2^2=4fz\) 得 \(SD=4fz\)，即 \(z=SD/(4f)\)。于是 \begin{align*} z+f+r_1&=\frac{SD}{4f}+f+\frac{S+D}{2}=\frac{(S+2f)(D+2f)}{4f},\\ z-f+r_2&=\frac{SD}{4f}-f+\frac{S-D}{2}=\frac{(S-2f)(D+2f)}{4f}. \end{align*} （展开右边即可验证。）公因子 \((D+2f)\) 约去： \[\tag{5.11} \begin{gathered}\Phi=\frac{\lambda_\ell}{4\pi\varepsilon_0}\ln\frac{r_1+r_2+2f}{r_1+r_2-2f}\\=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0f}\operatorname{artanh}\frac{f}{c'},\\ c'\equiv\frac{r_1+r_2}{2}.\end{gathered}\] 等势面是 \(r_1+r_2=\) 常数的曲面——以线段两端为焦点的长旋转椭球，半长轴 \(c'\)。

外表面方程 \(G(\vect x)\equiv\sum x_i^2/a_i^2=(1+\epsilon)^2\approx1+2\epsilon\)。从内表面一点沿法向走距离 \(\delta\)，\(G\) 增加 \(|\nabla G|\delta\)。\(|\nabla G|=2\sqrt{\sum x_i^2/a_i^4}=2/h\)，令其等于 \(2\epsilon\)： \[\tag{5.12} \delta=\epsilon\,h .\] 所以厚度处处与 \(h\) 成正比：在离中心远的地方厚，在离中心近的地方薄。

设相似壳中均匀分布体电荷，取壳内空腔中任意一点 \(X_0\)（位矢 \(\vect x_0\)）。

1. 弦的中点。过 \(X_0\) 沿单位矢量 \(\uvec u\) 作直线 \(\vect x=\vect x_0+t\uvec u\)，代入 \(\sum x_i^2/a_i^2=k^2\) 得关于 \(t\) 的二次方程 \(\alpha t^2+2\beta t+(\gamma-k^2)=0\)，其中 \(\alpha=\sum u_i^2/a_i^2\)，\(\beta=\sum x_{0i}u_i/a_i^2\)，\(\gamma=\sum x_{0i}^2/a_i^2\)。两根的中点 \(t_{\text{中}}=-\beta/\alpha\) 与 \(k\) 无关：同一直线被所有相似同心椭球截出的弦有公共的中点（图 7）。

2. 两侧截段等长。设内椭球（\(k=1\)）的两根为 \(t_{\text{中}}\pm d_1\)，外椭球为 \(t_{\text{中}}\pm d_k\)（\(d_k>d_1\)）。直线在 \(X_0\) 的正向一侧穿过壳的长度为 \(d_k-d_1\)，反向一侧也是 \(d_k-d_1\)——两段相等。

3. 细锥的贡献相消。以 \(X_0\) 为顶点、沿 \(\pm\uvec u\) 作立体角 \(\dd\Omega\) 的一对细锥。距 \(X_0\) 为 \(r\) 处、厚 \(\dd r\) 的一小块体积为 \(r^2\dd\Omega\,\dd r\)，电荷 \(\rho_{\mathrm e}r^2\dd\Omega\,\dd r\)，在 \(X_0\) 处的场强大小 \(\frac{\rho_{\mathrm e}r^2\dd\Omega\,\dd r}{4\pi\varepsilon_0r^2}=\frac{\rho_{\mathrm e}}{4\pi\varepsilon_0}\dd\Omega\,\dd r\)——与 \(r\) 无关。所以一侧锥内壳层的总场强为 \(\frac{\rho_{\mathrm e}}{4\pi\varepsilon_0}\dd\Omega\times(\text{截段长})\)。两侧截段等长、方向相反，场强相消。

4. 对所有方向求和，\(X_0\) 点场强为零。空腔内处处场强为零，电势为常数。

这个论证对任意厚度的相似壳都成立（不需要薄壳近似）。它最早由牛顿对旋转椭球壳给出[1], [9]。

取薄的相似壳，体电荷密度 \(\rho_{\mathrm e}\)。由式 (5.12)，把它压成一层面电荷，面密度 \(\sigma=\rho_{\mathrm e}\delta=\rho_{\mathrm e}\epsilon h\propto h\)。由牛顿定理，壳内空腔电场为零；令 \(\epsilon\to0\)，面电荷 \(\sigma\propto h\) 在椭球内部产生零场，椭球内（含表面）电势为常数。这恰是导体静电平衡的条件。由唯一性定理，导体椭球的电荷就是这样分布的；归一化 \(\oint\sigma\dd S=Q\)（\(\oint h\dd S=4\pi abc\)）给出 \(\sigma=Qh/(4\pi abc)\)，与式 (5.9) 一致——这次没有解任何微分方程。

导体是等势体，只需算中心 \(O\) 的电势。从 \(O\) 出发沿方向 \(\uvec u\) 到表面的距离记为 \(L(\uvec u)\)。上面的细锥论证说明面元满足 \(h\,\dd S=3\dd V=L^3\dd\Omega\)，所以 \begin{align*}\Phi(O)&=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\oint\frac{\sigma\,\dd S}{L}=\frac{Q}{16\pi^2\varepsilon_0abc}\oint\frac{h\,\dd S}{L}\\&=\frac{Q}{16\pi^2\varepsilon_0abc}\int L^2\,\dd\Omega .\end{align*} \(L(\uvec u)\) 由 \(L^2\sum u_i^2/a_i^2=1\) 给出，\(L^2=1/(\uvec u\cdot\mathsf A\uvec u)\)，\(\mathsf A=\operatorname{diag}(a^{-2},b^{-2},c^{-2})\)。附录 C 用高斯积分证明角积分恒等式 \[\tag{5.13} \begin{aligned}\int\frac{\dd\Omega}{\sum_iu_i^2/a_i^2}&=2\pi abc\int_0^\infty\frac{\dd t}{\Delta(t)}\\&=2\pi abc\,I(0).\end{aligned}\] 代入得 \(\Phi(O)=QI(0)/(8\pi\varepsilon_0)\)，即 \(C=8\pi\varepsilon_0/I(0)\)，与方法 A\('\) 完全一致。（球：左边 \(=4\pi a^2\)，右边 \(=2\pi a^3\cdot2/a\)，相等。）

导体球的电荷均匀分布在球面上，可看成两个同心球（半径 \(1\) 与 \(1+\epsilon\)，取单位球）之间均匀体电荷的极限。作仿射伸缩 \((x,y,z)\to(ax,by,cz)\)：

1. 它的雅可比行列式是常数 \(abc\)，所以体积元处处按同一比例 \(abc\) 放大，均匀体密度映为均匀体密度，总电荷不变；

2. 同心球 \(r=1\)、\(r=1+\epsilon\) 映为相似椭球 \(\mathcal E\)、\((1+\epsilon)\mathcal E\)，所以均匀薄球壳映为均匀的相似薄壳；

3. 由牛顿定理（方法 C），这层电荷在椭球内产生零场，所以它就是导体椭球的平衡电荷；它的厚度由式 (5.12) 为 \(\epsilon h\)，于是 \(\sigma\propto h\)。

伸缩本身不保持库仑定律（不能说“伸缩后的场是原来的场伸缩”）；我们只用了它的两个几何性质（常数雅可比、相似壳映为相似壳），平衡由牛顿定理保证。

取 \(a=b\)、\(c\to0\)：球面上的电荷被垂直投影到赤道面上的圆盘。半径 \(a\) 的球面上面密度 \(Q/(4\pi a^2)\)；赤道面上 \(\rho\) 处的面元 \(\dd A\) 对应上、下半球各一块面积 \(\dd A/\cos\theta\)（\(\cos\theta=\sqrt{a^2-\rho^2}/a\)），所以圆盘上的面密度（两面合计） \[\sigma_{\text{总}}(\rho)=2\cdot\frac{Q}{4\pi a^2}\cdot\frac{a}{\sqrt{a^2-\rho^2}}=\frac{Q}{2\pi a\sqrt{a^2-\rho^2}},\] 与式 (5.10) 一致。圆盘中心的电势 \begin{align*}\Phi(0)&=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_0^a\frac{\sigma_{\text{总}}\cdot2\pi\rho\,\dd\rho}{\rho}\\&=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0a}\int_0^a\frac{\dd\rho}{\sqrt{a^2-\rho^2}}=\frac{Q}{8\varepsilon_0a},\end{align*} 即 \(C=8\varepsilon_0a\)——得到圆盘电容最快的办法。对一般椭球，中心电势需要第 5.5 节的角积分恒等式。

用相似比 \(m\in[0,1]\) 标记椭球 \(m\mathcal E\)（半轴 \(ma,mb,mc\)）。\(m\) 到 \(m+\dd m\) 之间是一个薄相似壳，体积 \(\dd\left(\frac43\pi abc\,m^3\right)=4\pi abc\,m^2\dd m\)，电荷 \[\dd q=4\pi\rho_{\mathrm e}abc\,m^2\,\dd m .\] 第 5.5 节说明：薄相似壳上的电荷分布就是导体椭球 \(m\mathcal E\) 的平衡分布。所以它在场点 \(\vect x\) 的电势由第 5 节给出：

• 场点在壳外：\(\dd\Phi=\dfrac{\dd q}{8\pi\varepsilon_0}\displaystyle\int_{\lambda_m}^\infty\frac{\dd t'}{\Delta_m(t')}\)，其中 \(\Delta_m(t')=\sqrt{(m^2a^2+t')(m^2b^2+t')(m^2c^2+t')}\)，\(\lambda_m\) 是 \(\sum x_i^2/(m^2a_i^2+\lambda_m)=1\) 的根；

• 场点在壳内：电势是常数，等于壳面上的值，即上式取 \(\lambda_m=0\)。

令 \(t'=m^2t\)，则 \(\Delta_m(m^2t)=m^3\Delta(t)\)，\(\dd t'=m^2\dd t\)，所以 \(\int\frac{\dd t'}{\Delta_m(t')}=\frac1m\int\frac{\dd t}{\Delta(t)}\)，下限变为 \(t_m=\lambda_m/m^2\)。\(t_m\) 满足 \[\tag{6.1} \sum_i\frac{x_i^2}{a_i^2+t_m}=m^2 .\] 记 \(m(\vect x)^2\equiv\sum_ix_i^2/a_i^2\)（场点所在的相似椭球）。场点在 \(\vect x\) 处，比它小的壳（\(m<m(\vect x)\)）在场点“外面”，比它大的壳在场点“里面”。对内部点（\(m(\vect x)<1\)），总电势 \begin{align*}\Phi(\vect x)=\frac{\rho_{\mathrm e}abc}{2\varepsilon_0}\Bigg[&\int_0^{m(\vect x)}m\,\dd m\int_{t_m}^\infty\frac{\dd t}{\Delta(t)}\\&+\int_{m(\vect x)}^1m\,\dd m\int_0^\infty\frac{\dd t}{\Delta(t)}\Bigg].\end{align*} （系数：\(\frac{4\pi\rho_{\mathrm e}abc\,m^2}{8\pi\varepsilon_0}\cdot\frac1m=\frac{\rho_{\mathrm e}abc}{2\varepsilon_0}m\)。）

第一项是 \((m,t)\) 平面上区域 \(\{0<m<m(\vect x),\ t>t_m\}\) 上的二重积分（图 8）。定义 \(m_*(t)^2\equiv\sum_ix_i^2/(a_i^2+t)\)，它随 \(t\) 减小，\(m_*(0)=m(\vect x)\)。由式 (6.1)，\(t>t_m\) 等价于 \(m_*(t)<m\)。所以对固定的 \(t\)，\(m\) 从 \(m_*(t)\) 积到 \(m(\vect x)\)： \begin{align*}\int_0^{m(\vect x)}m\,\dd m\int_{t_m}^\infty\frac{\dd t}{\Delta}&=\int_0^\infty\frac{\dd t}{\Delta(t)}\int_{m_*(t)}^{m(\vect x)}m\,\dd m\\&=\int_0^\infty\frac{\dd t}{\Delta(t)}\cdot\frac{m(\vect x)^2-m_*(t)^2}{2}.\end{align*} 第二项 \(=\frac{1-m(\vect x)^2}{2}\int_0^\infty\frac{\dd t}{\Delta}\)。两项相加，\(m(\vect x)^2\) 恰好消去： \[\tag{6.2} \begin{aligned}\Phi_{\mathrm{in}}(\vect x)&=\frac{\rho_{\mathrm e}abc}{4\varepsilon_0}\\&\quad\times\int_0^\infty\left(1-\sum_i\frac{x_i^2}{a_i^2+t}\right)\frac{\dd t}{\Delta(t)} .\end{aligned}\] 对外部点（\(m(\vect x)>1\)），所有壳都在场点“外面”。同样交换次序，但 \(m\) 的上限是 1，要求 \(m_*(t)<1\)，即 \(t>\lambda(\vect x)\)： \[\tag{6.3} \begin{aligned}\Phi_{\mathrm{out}}(\vect x)&=\frac{\rho_{\mathrm e}abc}{4\varepsilon_0}\\&\quad\times\int_{\lambda(\vect x)}^\infty\left(1-\sum_i\frac{x_i^2}{a_i^2+t}\right)\frac{\dd t}{\Delta(t)} .\end{aligned}\]

1. 一个关键恒等式。\(\dv{}{t}\dfrac{1}{\Delta(t)}=-\dfrac{\Delta'}{\Delta^2}=-\dfrac{1}{2\Delta}\sum_i\dfrac{1}{a_i^2+t}\)（式 (3.8) 的最后一步），从 \(\lambda\) 积到 \(\infty\)： \[\tag{6.5} \sum_iJ_i(\lambda)=\frac{2}{\Delta(\lambda)} .\]

2. 内部满足泊松方程。内部 \(\lambda=0\) 是常数，\(\nabla^2\Phi_{\mathrm{in}}=-\frac{\rho_{\mathrm e}abc}{4\varepsilon_0}\cdot2\sum_iJ_i(0)=-\frac{\rho_{\mathrm e}abc}{4\varepsilon_0}\cdot\frac{4}{abc}=-\frac{\rho_{\mathrm e}}{\varepsilon_0}\)。

3. 外部满足拉普拉斯方程。外部 \(\lambda\) 随 \(\vect x\) 变。式 (6.3) 的被积函数在下限 \(t=\lambda\) 处等于 \(1-\sum x_i^2/(a_i^2+\lambda)=0\)，所以对 \(x_i\) 求导时下限变化不产生额外项： \[\pdv{\Phi_{\mathrm{out}}}{x_i}=-\frac{\rho_{\mathrm e}abc}{4\varepsilon_0}\,2x_iJ_i(\lambda).\] 再求一次导，\(J_i\) 的下限依赖 \(x_i\)，\(\partial J_i/\partial x_i=-\frac{1}{A_i\Delta(\lambda)}\partial_i\lambda\)： \begin{align*}\nabla^2\Phi_{\mathrm{out}}&=-\frac{\rho_{\mathrm e}abc}{4\varepsilon_0}\left[2\sum_iJ_i(\lambda)-\sum_i\frac{2x_i}{A_i\Delta}\cdot\frac{2x_i}{A_i\Gamma}\right]\\&=-\frac{\rho_{\mathrm e}abc}{4\varepsilon_0}\left[\frac{4}{\Delta}-\frac{4}{\Delta}\right]=0 ,\end{align*} 第二项用了式 (3.7) 与 \(\sum x_i^2/A_i^2=\Gamma\)。

4. 表面上电势与电场都连续。表面 \(\lambda(\vect x)=0\)，两式相同；上面第 3 步说明 \(\nabla\Phi_{\mathrm{out}}\) 的表达式在 \(\lambda=0\) 时也与 \(\nabla\Phi_{\mathrm{in}}\) 相同。体电荷没有面电荷，电场本应连续，相符。

5. 远处。\(\lambda\approx r^2\to\infty\)，\(I\approx2/r\)，\(x_i^2J_i\sim r^2\cdot r^{-5}\) 可略：\(\Phi\approx\frac{\rho_{\mathrm e}abc}{4\varepsilon_0}\cdot\frac2r=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\)。

满足全部条件，由唯一性定理即为所求。

取椭球内一点 \(\vect x\)，以它为原点建立球坐标。沿方向 \(\uvec u\) 到椭球面的距离记为 \(L(\uvec u)\)。体积元 \(r^2\dd r\,\dd\Omega\) 的电荷在 \(\vect x\) 处的电势为 \(\frac{\rho_{\mathrm e}r^2\dd r\,\dd\Omega}{4\pi\varepsilon_0r}\)，先对 \(r\) 从 0 积到 \(L\)： \[\Phi(\vect x)=\frac{\rho_{\mathrm e}}{4\pi\varepsilon_0}\int\dd\Omega\int_0^{L(\uvec u)}r\,\dd r=\frac{\rho_{\mathrm e}}{8\pi\varepsilon_0}\int L(\uvec u)^2\,\dd\Omega .\] \(L\) 满足 \((\vect x+L\uvec u)\cdot\mathsf A(\vect x+L\uvec u)=1\)，即 \(\alpha L^2+2\beta L-(1-\gamma)=0\)，其中（与牛顿定理证明中的记号相同） \begin{gather*}\alpha=\uvec u\cdot\mathsf A\uvec u=\sum_i\frac{u_i^2}{a_i^2},\qquad \beta=\vect x\cdot\mathsf A\uvec u=\sum_i\frac{x_iu_i}{a_i^2},\\ \gamma=\vect x\cdot\mathsf A\vect x<1 .\end{gather*} 正根 \(L(\uvec u)=(-\beta+\sqrt{\beta^2+\alpha(1-\gamma)})/\alpha\)。把相反方向 \(-\uvec u\)（\(\beta\to-\beta\)，\(\alpha\) 不变）配成一对，记 \(\Sigma\equiv\sqrt{\beta^2+\alpha(1-\gamma)}\)： \begin{align*} L(\uvec u)^2+L(-\uvec u)^2&=\frac{(-\beta+\Sigma)^2+(\beta+\Sigma)^2}{\alpha^2}\\ &=\frac{2[2\beta^2+\alpha(1-\gamma)]}{\alpha^2}. \end{align*} 根号消失了！对全部方向积分时每对方向算了两次，所以 \[\tag{6.6} \begin{aligned}\Phi_{\mathrm{in}}(\vect x)=\frac{\rho_{\mathrm e}}{8\pi\varepsilon_0}\int\dd\Omega\,\Big[&\frac{1-\vect x\cdot\mathsf A\vect x}{\alpha}\\&+\frac{2(\vect x\cdot\mathsf A\uvec u)^2}{\alpha^2}\Big].\end{aligned}\] \(\alpha\) 只依赖方向，\(\gamma\) 和 \(\beta^2\) 都是 \(\vect x\) 的二次多项式：内部电势是二次型，内部电场是坐标的线性函数。

\(a=b\)，求对称轴方向的 \(N_z=\frac{a^2c}{2}\int_0^\infty\frac{\dd t}{(a^2+t)(c^2+t)^{3/2}}\)。代换 \(\tau=\sqrt{c^2+t}\)，\(\dd t=2\tau\dd\tau\)：

• 长椭球（\(c>a\)）：\(a^2+t=\tau^2-f^2\)，\(N_z=a^2c\int_c^\infty\frac{\dd\tau}{\tau^2(\tau^2-f^2)}\)。部分分式 \(\frac{1}{\tau^2(\tau^2-f^2)}=\frac{1}{f^2}\left[\frac{1}{\tau^2-f^2}-\frac{1}{\tau^2}\right]\)，而 \(\int_c^\infty\frac{\dd\tau}{\tau^2-f^2}=\frac1f\operatorname{artanh}\frac fc\)，\(\int_c^\infty\frac{\dd\tau}{\tau^2}=\frac1c\)： \[\tag{6.10} \begin{gathered}N_z=\frac{a^2}{f^2}\left[\frac cf\operatorname{artanh}\frac fc-1\right]\\=\frac{1-e^2}{e^3}\left(\operatorname{artanh}e-e\right),\qquad e=\frac fc .\end{gathered}\] （第二步用了 \(a^2=c^2(1-e^2)\)。）

• 扁椭球（\(c<a\)）：\(a^2+t=\tau^2+f^2\)，同样的部分分式（\(-f^2\) 换成 \(+f^2\)）给出 \[\tag{6.11} \begin{gathered}N_z=\frac{a^2}{f^2}\left[1-\frac cf\arctan\frac fc\right]\\=\frac{1}{e^2}\left[1-\frac{\sqrt{1-e^2}}{e}\arcsin e\right],\\ e=\frac fa .\end{gathered}\]

• 两种情形都有 \(N_x=N_y=(1-N_z)/2\)（对称性 + \(\sum N_i=1\)）。

由 \(\nabla^2(\rho^2)=4\)、\(\nabla^2(z^2)=2\)，\(-\frac{\rho_{\mathrm e}}{6\varepsilon_0}(\rho^2+z^2)\) 是泊松方程的一个特解；对称性允许的二次调和函数只有 \(z^2-\frac12\rho^2\)。所以内部试探解取（它在内部处处正则；若能满足全部条件，由唯一性定理即为解，§7.3 同此） \[\Phi_{\mathrm{in}}=A-\frac{\rho_{\mathrm e}}{6\varepsilon_0}(\rho^2+z^2)+d_2\left(z^2-\tfrac12\rho^2\right),\] \(A\)、\(d_2\) 待定。用 \(\rho^2=f^2(u^2-1)(1-v^2)\)、\(z^2=f^2u^2v^2\) 及 \(v^2=\frac13[1+2P_2(v)]\)，直接展开得 \begin{gather*}\rho^2+z^2=f^2\left(u^2-\tfrac23\right)+\tfrac23f^2P_2(v),\\ z^2-\tfrac12\rho^2=\tfrac13f^2+\tfrac23f^2P_2(u)P_2(v).\end{gather*} 所以内部势只含 \(P_0(v)\) 与 \(P_2(v)\) 两个角向分量： \[\Phi_{\mathrm{in}}=\Big[A'-\frac{\rho_{\mathrm e}f^2}{6\varepsilon_0}u^2\Big]+\frac{2f^2}{3}\Big[d_2P_2(u)-\frac{\rho_{\mathrm e}}{6\varepsilon_0}\Big]P_2(v),\] \(A'\) 是新的常数。

外部取衰减的分离解，角向分量与内部相同：\(\Phi_{\mathrm{out}}=\alpha_0Q_0(u)+\beta_2Q_2(u)P_2(v)\)。在 \(u=u_0\) 上分别对 \(P_0\)、\(P_2\) 分量要求值与 \(u\) 导数连续：

1. \(P_0\) 导数：\(-\frac{\rho_{\mathrm e}f^2}{3\varepsilon_0}u_0=\alpha_0Q_0'(u_0)=-\frac{\alpha_0}{u_0^2-1}\)，故 \(\alpha_0=\frac{\rho_{\mathrm e}f^2}{3\varepsilon_0}u_0(u_0^2-1)=\frac{\rho_{\mathrm e}a^2c}{3\varepsilon_0f}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0f}\)（这就是高斯定理）；\(P_0\) 的值条件定出 \(A'\)，换回原来的常数，中心电势 \(A=\frac{\rho_{\mathrm e}a^2c}{2\varepsilon_0f}Q_0(u_0)=\phi_0=\frac32\frac{Q}{C}\)，与第 6.4 节要点第 3 条一致。

2. \(P_2\) 的值与导数：\(\frac{2f^2}{3}[d_2P_2-\frac{\rho_{\mathrm e}}{6\varepsilon_0}]=\beta_2Q_2\)，\(\frac{2f^2}{3}d_2P_2'=\beta_2Q_2'\)（都在 \(u_0\) 处）。两式相除消去 \(\beta_2\)：\(d_2(P_2Q_2'-P_2'Q_2)=\frac{\rho_{\mathrm e}}{6\varepsilon_0}Q_2'\)。括号正是朗斯基行列式 \(W_2=-1/(u_0^2-1)\)，所以 \begin{gather*}d_2=-\frac{\rho_{\mathrm e}}{6\varepsilon_0}(u_0^2-1)Q_2'(u_0),\\ \beta_2=\frac{2f^2d_2P_2'(u_0)}{3Q_2'(u_0)}=-\alpha_0 .\end{gather*}

设椭球均匀极化，极化强度 \(P\) 沿 \(z\)。把它看成电荷密度 \(+\rho_{\mathrm e}\) 的椭球中心移到 \(+\frac\delta2\uvec z\)、\(-\rho_{\mathrm e}\) 的移到 \(-\frac\delta2\uvec z\)，\(P=\rho_{\mathrm e}\delta\)，\(\delta\to0\) 而 \(P\) 固定。记均匀带电椭球的势为 \(\Phi_\rho(\vect x)\)，则极化椭球的势 \begin{align*} \Phi_P(\vect x)&=\Phi_\rho\!\left(\vect x-\tfrac\delta2\uvec z\right)-\Phi_\rho\!\left(\vect x+\tfrac\delta2\uvec z\right)\\ &\approx-\delta\pdv{\Phi_\rho}{z}=-\frac{P}{\rho_{\mathrm e}}\pdv{\Phi_\rho}{z}. \end{align*} （一阶泰勒展开，误差 \(\order{\delta^2}\)。）内部用式 (6.9)，\(\partial_z\Phi_\rho=-\frac{\rho_{\mathrm e}}{\varepsilon_0}N_zz\)： \[\tag{7.1} \Phi_{P,\mathrm{in}}=\frac{N_zP}{\varepsilon_0}z,\qquad \vect E_{P,\mathrm{in}}=-\frac{N_z}{\varepsilon_0}P\,\uvec z .\] 这就是退极化场：均匀极化椭球内部，束缚电荷产生的场处处相同，方向与 \(\vect P\) 相反，大小为 \(N_zP/\varepsilon_0\)。外部用式 (6.4)（\(\lambda\) 随 \(\vect x\) 变；求导时下限项同样为零）： \[\tag{7.2} \begin{aligned} \Phi_{P,\mathrm{out}}&=\frac{abc\,P}{2\varepsilon_0}\,z\,J_3(\lambda(\vect x))\\ &=\frac{abc\,P}{2\varepsilon_0}\,z\int_{\lambda(\vect x)}^\infty\frac{\dd t}{(c^2+t)\Delta(t)} . \end{aligned}\] 远处 \(J_3\approx\int_{r^2}^\infty t^{-5/2}\dd t=\frac{2}{3r^3}\)，\(\Phi_{P,\mathrm{out}}\approx\frac{abcP}{3\varepsilon_0}\frac{z}{r^3}=\frac{(VP)\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^2}\)：偶极矩 \(p=VP\) 的偶极子场，相符。极化沿 \(x\)、\(y\) 时同理，把 \(N_z\)、\(J_3\) 换成 \(N_x\)、\(J_1\) 等。

假设椭球被均匀极化（下面验证这一假设自洽）。内部总场 = 外场 + 退极化场：\(E_{\mathrm{in}}=E_0-N_zP/\varepsilon_0\)，均匀。线性介质要求 \(P=\varepsilon_0\chi E_{\mathrm{in}}\)，也均匀——与假设一致。联立解出 \[\tag{7.3} \begin{gathered} E_{\mathrm{in}}=\frac{E_0}{1+N_z(\varepsilon_{\mathrm r}-1)},\\ P=\frac{\varepsilon_0(\varepsilon_{\mathrm r}-1)E_0}{1+N_z(\varepsilon_{\mathrm r}-1)},\\ p=VP=\varepsilon_0V\tilde\alpha_zE_0,\quad \tilde\alpha_z\equiv\frac{\chi}{1+N_z\chi}. \end{gathered}\] 为什么这就是解：这个构造给出的总势 \(\Phi=-E_0z+\Phi_P\) 在内外都满足拉普拉斯方程（内部是 \(z\) 的线性函数，外部是外场加式 (7.2)）；\(\Phi\) 在表面连续（束缚面电荷的势是连续的）；\(D_n\) 连续（前置知识中已说明，它等价于 \(\sigma_{\mathrm b}=P_n\)，而我们正是用这层面电荷构造的场）；远处趋于 \(-E_0z\)。由唯一性定理，它是唯一解。

外场的势 \(-E_0z=-E_0f\,uv=-E_0f\,P_1(u)P_1(v)\) 是 \(n=1\) 的分离解。边界 \(u=u_0\) 上它正比于 \(P_1(v)\)，所以试探内外解的角向部分都只取 \(P_1(v)\)。只要这种形式能满足全部边界条件，由唯一性定理它就是解，不必再讨论其他的 \(n\)。

• 内部（含焦线段 \(u=1\)）：\(U(u)\) 只能取在 \(u=1\) 处有限的 \(P_1(u)=u\)（\(Q_1\) 在 \(u\to1\) 发散）：\(\Phi_{\mathrm{in}}=-E_{\mathrm{in}}f\,uv=-E_{\mathrm{in}}z\)。

• 外部：外场加一个在远处衰减的解 \(Q_1(u)P_1(v)\)：\(\Phi_{\mathrm{out}}=-E_0f\,uv+B\,Q_1(u)\,v\)。

在 \(u=u_0\) 上，对所有 \(v\)：

1. \(\Phi\) 连续：\(-E_{\mathrm{in}}fu_0=-E_0fu_0+BQ_1(u_0)\)。

2. \(D_n\) 连续。法向就是 \(\xi\) 方向，\(\partial_n=\frac{1}{H_\xi}\partial_\xi=\frac{\sinh\xi}{H_\xi}\partial_u\)，两侧的 \(\frac{\sinh\xi_0}{H_\xi}\) 相同，约去：\(\varepsilon_{\mathrm r}\partial_u\Phi_{\mathrm{in}}=\partial_u\Phi_{\mathrm{out}}\)，即 \(-\varepsilon_{\mathrm r}E_{\mathrm{in}}f=-E_0f+BQ_1'(u_0)\)。

由第 1 式 \(B=fu_0(E_0-E_{\mathrm{in}})/Q_1(u_0)\)，代入第 2 式，记 \(\Theta\equiv u_0Q_1'(u_0)/Q_1(u_0)\)： \begin{gather*} -\varepsilon_{\mathrm r}E_{\mathrm{in}}=-E_0+\Theta(E_0-E_{\mathrm{in}})\\ \Longrightarrow\quad E_{\mathrm{in}}=\frac{(1-\Theta)E_0}{\varepsilon_{\mathrm r}-\Theta}=\frac{E_0}{1+\frac{1}{1-\Theta}(\varepsilon_{\mathrm r}-1)}. \end{gather*} 与式 (7.3) 形式完全相同，并给出 \(N_z=\dfrac{1}{1-\Theta}=\dfrac{Q_1(u_0)}{Q_1(u_0)-u_0Q_1'(u_0)}\)。分母正是朗斯基行列式（第 4.3 节）：\(Q_1-uQ_1'=-W_1=\frac{1}{u^2-1}\)。于是 \[\tag{7.4} \begin{gathered} N_z=(u_0^2-1)\,Q_1(u_0)\\=(u_0^2-1)\left[\frac{u_0}{2}\ln\frac{u_0+1}{u_0-1}-1\right],\\ u_0=\frac cf=\frac1e . \end{gathered}\] 代入 \(u_0=1/e\)：\(u_0^2-1=\frac{1-e^2}{e^2}\)，\(u_0Q_0(u_0)=\frac1e\operatorname{artanh}e\)，得 \(N_z=\frac{1-e^2}{e^3}(\operatorname{artanh}e-e)\)，与方法一的式 (6.10)、第 6 节方法四的式 (6.17) 一致：同一个 \(N_z\)，在均匀带电问题里由 \(P_2Q_2\) 的匹配读出，在极化问题里由 \(P_1Q_1\) 的匹配读出，两处都靠朗斯基行列式化简。

固定一点 \(\vect x\)（\(a>b>c\)，三个坐标都不为零），把 \(F(s)=\sum_ix_i^2/(a_i^2+s)-1\) 通分：\(F(s)=\dfrac{N(s)}{(a^2+s)(b^2+s)(c^2+s)}\)。分子 \(N(s)=x^2(b^2+s)(c^2+s)+y^2(a^2+s)(c^2+s)+z^2(a^2+s)(b^2+s)-(a^2+s)(b^2+s)(c^2+s)\) 是 \(s\) 的三次多项式，\(s^3\) 的系数为 \(-1\)，而它的三个根就是 \(\lambda,\mu,\nu\)。所以 \(N(s)=-(s-\lambda)(s-\mu)(s-\nu)\)，即式 (4.19)。

式 (4.19) 两边乘以 \((a^2+s)\) 再令 \(s\to-a^2\)，左边只剩 \(x^2\)： \[x^2=-\frac{(-a^2-\lambda)(-a^2-\mu)(-a^2-\nu)}{(b^2-a^2)(c^2-a^2)}.\] 整理并对 \(y\)、\(z\) 同样处理： \begin{gather*} x^2=\frac{(a^2+\lambda)(a^2+\mu)(a^2+\nu)}{(a^2-b^2)(a^2-c^2)},\\ y^2=\frac{(b^2+\lambda)(b^2+\mu)(b^2+\nu)}{(b^2-a^2)(b^2-c^2)},\\ z^2=\frac{(c^2+\lambda)(c^2+\mu)(c^2+\nu)}{(c^2-a^2)(c^2-b^2)}. \end{gather*} （由 \(\lambda>-c^2>\mu>-b^2>\nu>-a^2\) 可以逐个验证三式右边为正。）一组 \((\lambda,\mu,\nu)\) 对应 8 个关于坐标平面对称的点，与球坐标中 \(r\) 对应整个球面类似。

对 \(\ln x_i^2\) 求 \(\lambda\) 的偏导：\(\dfrac{2}{x_i}\pdv{x_i}{\lambda}=\dfrac{1}{a_i^2+\lambda}\)，所以 \(\pdv{x_i}{\lambda}=\dfrac{x_i}{2(a_i^2+\lambda)}\)。于是 \begin{gather*}H_\lambda^2=\sum_i\left(\pdv{x_i}{\lambda}\right)^2=\frac14\sum_i\frac{x_i^2}{(a_i^2+\lambda)^2}=\frac{\Gamma}{4},\\ \pdv{\vect r}{\lambda}\cdot\pdv{\vect r}{\mu}=\frac14\sum_i\frac{x_i^2}{(a_i^2+\lambda)(a_i^2+\mu)}=0\end{gather*} （后者即式 (3.4)）。\(\Gamma\) 可由式 (4.19) 对 \(s\) 求导得到：\(-F'(s)=\sum x_i^2/(a_i^2+s)^2\)，在 \(s=\lambda\) 处，右边 \(\frac{(s-\lambda)g(s)}{\prod(a_i^2+s)}\)（\(g=(s-\mu)(s-\nu)\)）的导数只剩 \(g(\lambda)/\prod(a_i^2+\lambda)\)： \[\Gamma=\frac{(\lambda-\mu)(\lambda-\nu)}{(a^2+\lambda)(b^2+\lambda)(c^2+\lambda)}=\frac{(\lambda-\mu)(\lambda-\nu)}{\Delta(\lambda)^2},\] 这就是式 (4.20)。\(H_\mu\)、\(H_\nu\) 同理（取绝对值，因为 \((\mu-\lambda)(\mu-\nu)<0\) 而 \((a^2+\mu)(b^2+\mu)(c^2+\mu)<0\)）。

考虑 \(G\equiv\int_{\mathbb R^3}\frac{\ee^{-\sum g_ix_i^2}}{|\vect x|}\dd^3x\)。

1. 球坐标：\(\vect x=r\uvec u\)，\(\dd^3x=r^2\dd r\,\dd\Omega\)，\(\sum g_ix_i^2=r^2\alpha\)：\(G=\int\dd\Omega\int_0^\infty r\,\ee^{-r^2\alpha}\dd r=\int\frac{\dd\Omega}{2\alpha}\)。

2. 用 \(\frac1r=\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^\infty\ee^{-\tau^2r^2}\dd \tau\)（右边代换 \(\tau'=\tau r\) 即得）。交换积分次序后，\(x,y,z\) 三个方向的高斯积分分离：\(\int\ee^{-(g_i+\tau^2)x_i^2}\dd x_i=\sqrt{\pi/(g_i+\tau^2)}\)，所以 \(G=\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^\infty\frac{\pi^{3/2}\,\dd \tau}{\sqrt{\prod_i(g_i+\tau^2)}}=2\pi\int_0^\infty\frac{\dd \tau}{\sqrt{\prod_i(g_i+\tau^2)}}\)。

3. 两式相等：\(\int\frac{\dd\Omega}{\alpha}=4\pi\int_0^\infty\frac{\dd \tau}{\sqrt{\prod(g_i+\tau^2)}}\)。代换 \(\tau=t^{-1/2}\)：\(g_i+\tau^2=\frac{a_i^2+t}{a_i^2t}\)，\(\sqrt{\prod(g_i+\tau^2)}=\frac{\Delta(t)}{abc\,t^{3/2}}\)，\(|\dd\tau|=\frac12t^{-3/2}\dd t\)，所以 \(\frac{\dd \tau}{\sqrt{\prod}}=\frac{abc}{2}\frac{\dd t}{\Delta(t)}\)， \[\int\frac{\dd\Omega}{\alpha}=2\pi abc\int_0^\infty\frac{\dd t}{\Delta(t)}=2\pi abc\,I(0).\]

把上面第 3 步的中间结果看成三个独立参数 \(g_i\) 的函数，对 \(g_i\) 求偏导：左边 \(\pdv{}{g_i}\frac1\alpha=-\frac{u_i^2}{\alpha^2}\)；右边 \(\pdv{}{g_i}\prod^{-1/2}=-\frac{1}{2(g_i+\tau^2)}\prod^{-1/2}\)。所以 \begin{align*} \int\frac{u_i^2\,\dd\Omega}{\alpha^2}&=2\pi\int_0^\infty\frac{\dd \tau}{(g_i+\tau^2)\sqrt{\prod(g_j+\tau^2)}}\\ &=2\pi\int_0^\infty\frac{a_i^2t}{a_i^2+t}\cdot\frac{abc}{2}\frac{\dd t}{\Delta(t)}\\&=\pi abc\,a_i^2\int_0^\infty\frac{t\,\dd t}{(a_i^2+t)\Delta(t)} . \end{align*} 用 \(\frac{t}{a_i^2+t}=1-\frac{a_i^2}{a_i^2+t}\) 即得 \(\pi abc\,a_i^2[I(0)-a_i^2J_i(0)]\)。

把两个恒等式代入式 (6.6)（交叉项为零，\((\vect x\cdot\mathsf A\uvec u)^2\to\sum_ig_i^2x_i^2u_i^2\)）： \begin{align*}\Phi_{\mathrm{in}}=\frac{\rho_{\mathrm e}}{8\pi\varepsilon_0}\Big[&\Big(1-\sum_ig_ix_i^2\Big)2\pi abc\,I\\&+2\sum_ig_i^2x_i^2\,\pi abc\,a_i^2\big(I-a_i^2J_i\big)\Big].\end{align*} 由 \(g_i^2a_i^2=g_i\)、\(g_i^2a_i^4=1\)，方括号 \(=2\pi abc\left[I-\sum g_ix_i^2I+\sum g_ix_i^2I-\sum x_i^2J_i\right]=2\pi abc\left[I-\sum x_i^2J_i\right]\)，于是 \(\Phi_{\mathrm{in}}=\frac{\rho_{\mathrm e}abc}{4\varepsilon_0}\left[I(0)-\sum x_i^2J_i(0)\right]\)，与式 (6.4) 相同。