1 导读

晴朗无风的日子里，你站在海边的空地上。头顶 1.7 m 处的空气比脚下的地面高出约 200 V 的电势，地面上每平方米带着约 −1.1 × 10⁻⁹ C 的电荷。把整个地球表面加起来，地球带着约 −6 × 10⁵ C 的负电。空气并不是完美的绝缘体：宇宙线和地表放射性不断把空气分子电离，离子在电场中漂移，形成从天空流向地面的微弱电流，全球合计约 1–2 kA。按这样的电流，地球的电荷几分钟到十几分钟就会漏光。可是晴天电场千百年来一直存在，并且全世界的晴天电场按同一个世界时钟同步起伏。是谁在给地球持续“充电”？

答案是此刻正在全球各地同时活动的上千个雷暴。它们像电池一样，把正电荷送上约 60 km 以上导电良好的电离层，把负电荷送到地面；晴天区的空气则是电池的负载。地面与电离层这两个同心导体球壳还构成一个巨大的电磁空腔，每秒数十次的闪电不断“敲击”它，使它在 7.8 Hz、14 Hz、21 Hz…… 上共鸣，这就是舒曼共振。

本讲用普通物理的静电学、稳恒电流和麦克斯韦方程组，一步一步建立这幅图像：导电介质中的电荷弛豫 \(\Rightarrow\) 晴天大气的电场剖面与柱电阻 \(\Rightarrow\) 全球电路需要发电机 \(\Rightarrow\) 雷电的电流怎样在地中扩散（跨步电压）\(\Rightarrow\) 地球–电离层空腔的本征频率。

学习目标

学完本讲，应当能够：

1. 从连续性方程与高斯定理推出导电介质中的电荷弛豫时间 \(\tau=\varepsilon_0/\sigma\)，并用它判断什么时候某种介质可以当作“导体”或“绝缘体”；

2. 由离子迁移率与浓度估算空气电导率；对给定的电导率剖面 \(\sigma(z)\) 求稳恒电流下的电场、电势、空间电荷与柱电阻，并用三个独立观测量（地面电场、空地电流、电离层电势）做自洽检验；

3. 说明为什么“地球电容器”的放电时间是地面空气的弛豫时间 \(\varepsilon_0/\sigma(0)\)，而不是“几何电容 \(\times\) 电阻”，并据此论证全球电路必须有持续工作的发电机；

4. 用半球接地模型计算雷击点附近的地电势与跨步电压，判断模型的适用范围；

5. 从平行板波导的 TEM 波出发，推出球壳空腔中的波动方程与本征频率 \(f_n=\dfrac{c}{2\pi a}\sqrt{n(n+1)}\)，并解释观测频率偏低、谱峰很宽的原因；

6. 处理探空电导率数据：线性化、加权最小二乘、含协方差的误差传递，以及系统误差分析。

建议学时

共 2 学时（约 90 分钟）：前置模块 20 分钟；晴天电场与柱电阻 20 分钟；全球电路与放电时间 15 分钟；闪电与跨步电压 10 分钟；舒曼共振 25 分钟。例题与实验题供课后练习，附录供深入阅读。

推导路线

欧姆定律 + 电荷守恒 + 高斯定理 \(\Rightarrow\) 弛豫时间 \(\tau=\varepsilon_0/\sigma\) \(\Rightarrow\)（稳恒、水平均匀）\(E(z)=J/\sigma(z)\)、柱电阻 \(\Rightarrow\)（球对称弛豫）地球电荷放电时间 \(\varepsilon_0/\sigma(0)\)，必须有雷暴发电机 \(\Rightarrow\)（半球对称电流）跨步电压；另一条线：高斯定理 + 面电流 + 法拉第定律 \(\Rightarrow\) 平行板 TEM 波 \(\Rightarrow\) 薄球壳上的波动方程 \(\Rightarrow\) 勒让德方程与 \(n(n+1)\) \(\Rightarrow\) 舒曼共振。

2 名词与符号

方向约定

全讲取 \(z\) 轴竖直向上，\(z=0\) 为地面。晴天时电场指向下方，所以电场的 \(z\) 分量 \(E_z<0\)；我们用 \(E\equiv\abs{E_z}>0\) 表示其大小。大气电学文献常用“电位梯度”（potential gradient，PG）\(\dd V/\dd z=-E_z\)，晴天时为正，数值等于 \(E\)。地面的电势取为零。电流密度 \(J\) 也取大小，晴天时传导电流向下流。

符号 \(Q\) 只用于电荷（\(Q_{\mathrm{E}}\) 等）；品质因数一律带下标写成 \(Q_n\) 或在第 7.5 节中写作“品质因数 \(Q_n\)”。\(\rho\) 只表示体电荷密度，土壤电阻率写作 \(\rho_s\)。

3 前置模块：导电介质中的静电学与导体间的电磁波

普通物理的静电学大多讨论“理想导体”和“理想绝缘体”两种极端。大气恰好介于两者之间：它导电，但电导率只有铜的 \(10^{-22}\)。本节建立处理这种“弱导电介质”的工具，最后一小节讨论两块导体板之间能传播什么样的电磁波。

3.1 漂移、迁移率与电导率

空气中导电的是“小离子”：宇宙线或放射性射线把 \(\mathrm{N_2}\)、\(\mathrm{O_2}\) 分子电离后，产生的正离子和电子在不到一微秒内各自与水分子等结合，形成由几个到十几个分子组成的带电团簇，带电量为 \(\pm e\)。

为什么漂移速度正比于 \(E\)？设离子质量 \(m\)、两次碰撞的平均间隔为 \(t_c\)。每次碰撞后离子的速度方向随机，平均为零；在接下来的时间里电场使它获得速度 \(eEt/m\)。对一个间隔平均，得到 \(v_d\sim eEt_c/m\)，于是 \(\mu\sim et_c/m\) 与 \(E\) 无关。这个粗略论证还告诉我们 \(t_c\propto 1/N\)（\(N\) 为空气分子数密度，分子越密碰得越勤），所以 \[\tag{3.2} \mu\propto\frac{1}{N}.\] 高空空气稀薄，离子迁移率更大，这是大气电导率随高度增大的原因之一。海平面附近正、负小离子的迁移率分别约为 \({1.4\times 10^{-4}\,}\mathrm{m^2/(V\cdot s)}\) 与 \({1.5\times 10^{-4}\,}\mathrm{m^2/(V\cdot s)}\)[18]，在 130 V/m 的晴天电场中漂移速度只有约 2 cm/s。

3.2 大气为什么导电：离子的产生与复合

空气中的离子对由两类电离源产生：（1）宇宙线（来自太阳系外的高能质子与核，进入大气后产生的次级粒子簇射），在所有高度起作用，海面附近每立方厘米每秒产生约 2 对离子，随高度增加，在约 15 km 处达到每立方厘米每秒 35–50 对的极大（称为 Pfotzer 极大）；（2）地表放射性：陆地土壤中的铀、钍衰变产生的氡气及其子体放出的 \(\alpha\)、\(\beta\) 粒子，以及岩石发出的 \(\gamma\) 射线，主要作用于陆地上最低的约 1 km 空气，使陆面附近的总产生率达到每立方厘米每秒约 10 对（宇宙线只占约五分之一）[18], [19]。

在这些假设下，单位体积离子数的变化率等于产生率减去复合率： \[\tag{3.4} \dv{n}{t}=q_{\mathrm{ion}}-\alpha n^2 .\] 稳态 \(\dot n=0\) 给出 \[\tag{3.5} n=\sqrt{q_{\mathrm{ion}}/\alpha}.\] 取陆面 \(q_{\mathrm{ion}}\approx{10\,}\mathrm{cm^{-3}s^{-1}}\)、\(\alpha\approx{1.6\times 10^{-6}\,}\mathrm{cm^3/s}\)[18]，得 \(n\approx{2.5\times 10^{3}\,}\mathrm{cm^{-3}}\)。实测小离子浓度通常为每立方厘米 200–2500 个，多数情况下低于这个估计，差别来自上面假设 3 忽略的气溶胶附着：离子撞上比它大得多的气溶胶粒子后就失去了迁移能力。污染越重，小离子越少，电导率越低。式 (3.4) 线性化后可以看出稳态是稳定的：令 \(n=n^*+\delta n\)，得 \(\dot{\delta n}=-2\alpha n^*\delta n\)，扰动以时间常数 \(1/(2\sqrt{q_{\mathrm{ion}}\alpha})\approx{125\,}\mathrm{s}\) 衰减，所以离子浓度能在几分钟内跟上电离源的变化。

随高度增加，宇宙线电离增强（直到 Pfotzer 极大），式 (3.2) 又使迁移率随空气密度减小而增大，两者共同使电导率在对流层和平流层中大致按指数增长： \[\tag{3.6} \sigma(z)\approx\sigma_\infty\,\ee^{z/H},\] 标高 \(H\) 在对流层中上部到平流层下部约为 4–6 km[20], [21]；从地面的约 \(10^{-14}\) S/m 到 80 km 处的约 \(10^{-7}\) S/m，平均标高约 5 km[21]。这是一个经验拟合式，不是由上面的微观模型严格推出的；在最低约 1–2 km 的大气边界层中，气溶胶使电导率明显低于指数律的外推值（第 4.4 节）。

3.3 电荷弛豫时间

把一团多余电荷放进导电介质，它会怎样消失？

这里的 \(\Sigma\) 是任意的，可以取得很小，所以结论是：均匀欧姆介质内部任何一点的净电荷密度都按 \(\ee^{-t/\tau}\) 衰减。电荷并没有被“消灭”，而是被电场推到了介质的边界上。\(\tau\) 称为电荷弛豫时间（Maxwell 弛豫时间）。

3.4 非均匀介质中的稳恒电流会积累电荷

如果电导率不均匀，稳恒电流流过时介质内部会出现净电荷。这一点对理解大气中的“空间电荷”至关重要。

3.5 导体表面的电荷与电场；球形电容器

导体表面

静电平衡的导体内部 \(\vect{E}=0\)，多余电荷分布在表面上。在表面取一个扁药盒，下底在导体内（无场），上底在导体外，高斯定理给出紧贴表面外侧的电场 \[\tag{3.10} \vect{E}=\frac{q_s}{\varepsilon_0}\,\uvec{n},\] \(\uvec{n}\) 为指向导体外的法向单位矢量，\(q_s\) 为面电荷密度。由第 3.3 节，对于时间尺度远大于 1 ns 的过程，地面就是这样的导体。

球形电容器

半径 \(a\) 的导体球外套一个同心的导体球壳（内半径 \(b=a+h\)），内球带 \(+Q\)、外壳内表面带 \(-Q\)。两者之间 \(E=Q/(4\pi\varepsilon_0r^2)\)，电势差 \(U=\int_a^b E\,\dd r=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac1a-\frac1b\right)\)，电容 \begin{align*} C=\frac{Q}{U}&=4\pi\varepsilon_0\frac{ab}{b-a}\\ &=\frac{4\pi\varepsilon_0a^2}{h}\left(1+\frac{h}{a}\right)\\ &\approx\frac{\varepsilon_0\cdot 4\pi a^2}{h}\qquad(h\ll a).\tag{3.11} \end{align*} 薄壳极限就是面积 \(4\pi a^2\)、间距 \(h\) 的平行板电容器；修正项 \(h/a\) 对 \(h={60\,}\mathrm{km}\) 只有 1%。

3.6 两块导体板之间的电磁波

舒曼共振是电磁波在地面与电离层之间传播形成的驻波。先研究最简单的情形：两块无限大的理想导体平板，间距 \(h\)，中间是真空。我们要回答：能否有一种波，电场竖直、磁场水平、沿板传播？它的速度是多少？

这种场是否允许？理想导体表面外侧的电场必须垂直于表面（否则表面电荷会被推动，与“理想导体内无场”的平衡矛盾），\(E_z\) 正是垂直于板的；磁场则必须平行于表面（磁感线不能穿入理想导体），\(B_y\) 正是平行于板的。所以这样的试探形式满足边界条件。

这是一维波动方程，任何形如 \(E_z=F(x-ct)+G(x+ct)\) 的函数都满足它。对向 \(+x\) 传播的正弦波 \(E_z=E_{z0}\cos(kx-\omega t)\)，代回式 (3.12)、(3.13) 得 \(K_x=E_z/(\mu_0c)\)、\(B_y=-E_z/c\)，并且 \(\omega=ck\) 对任何频率、任何板间距 \(h\) 都成立。由于电场和磁场都垂直于传播方向，这种波称为横电磁波（TEM 波），它是平行板之间的最低阶模式。图 1(a) 画出了某一时刻的场。

4 晴天电场与地球的电荷

4.1 晴天电场

晴天时，世界各地测到的地面电场都指向下方，大小一般在 100 V/m 到 150 V/m 之间；卡内基号在海洋上测得的年平均值约 132 V/m[3], [19]。测量用的典型仪器是场磨：一块接地的转动金属叶片周期性地遮挡下面的感应电极，感应电极上的感应电荷 \(q_s=\varepsilon_0E\)（式 (3.10)）随之周期性变化，测量感应电流即可得到 \(E\)。

4.2 稳恒电流下的电场剖面

地面带负电，上方空气导电，为什么电荷不被中和？先接受观测事实：存在向下的空地传导电流，大小约 \(J\approx\) 1.5–3 pA/m²[19], [21]，下面取 2 pA/m²。本节求在已知 \(\sigma(z)\) 和 \(J\) 的情况下，电场、电势和空间电荷怎样随高度分布。

再由欧姆定律 \(E_z=-J/\sigma(z)\)（负号：电流向下），电场大小 \[\tag{4.4} E(z)=\frac{J}{\sigma(z)}.\] 电导率越大的地方电场越弱——这与“电流一定时，电阻大的地方电压降大”是同一件事。

指数剖面

先用最简单的模型：电导率从地面开始就服从式 (3.6)，\(\sigma(z)=\sigma_\infty\ee^{z/H}\)（此时 \(\sigma_\infty\) 就是地面电导率）。由式 (4.4)， \[\tag{4.5} E(z)=E_0\,\ee^{-z/H},\qquad E_0=\frac{J}{\sigma_\infty}.\] 高度 \(z\) 处的电势（地面为零）为 \(V(z)=-\int_0^zE_z\,\dd z'=\int_0^zE(z')\,\dd z'\)： \[\tag{4.6} V(z)=E_0H\left(1-\ee^{-z/H}\right).\] 当 \(z\gg H\) 时 \(V\) 趋于常数，这就是电离层电势 \[\tag{4.7} V_{\mathrm I}=E_0H=\frac{JH}{\sigma_\infty}.\] 电势的 63% 落在最低的一个标高之内，95% 落在最低的三个标高之内；电离层的确切高度（60 km 还是 80 km）几乎不影响结果，因为那里的电场已经只剩地面的 \(\ee^{-10}\)。

空间电荷

由式 (3.9) 与 \(E_z=-E_0\ee^{-z/H}\)， \[\tag{4.8} \rho(z)=\varepsilon_0\dv{E_z}{z}=\frac{\varepsilon_0E_0}{H}\ee^{-z/H}>0 .\] 晴天大气中有正的空间电荷，集中在最低几个标高内。它的总量（单位地面面积）为 \[\int_0^\infty\rho\,\dd z=\varepsilon_0E_0=-q_s ,\] 恰好与地面负电荷等量。也就是说，与地球负电荷配对的正电荷主要在低层大气里，而不在电离层上。这一点在第 5.1 节讨论“地球电容器”时至关重要。

4.3 柱电阻与全球电阻

由式 (4.4)，\(V_{\mathrm I}=\int_0^{z_{\mathrm I}}E\,\dd z=J\int\dd z/\sigma\)，即 \[\tag{4.10} V_{\mathrm I}=JR_c ,\] 这就是气柱的欧姆定律。对指数剖面，积分上限取到 \(z\gg H\)， \[\tag{4.11} R_c=\frac{H}{\sigma_\infty}\left(1-\ee^{-z_{\mathrm I}/H}\right)\approx\frac{H}{\sigma_\infty},\] 并且一半的柱电阻位于 \(z<H\ln2\approx0.7H\) 以下。

全球晴天区的各个气柱都连在同一个地面与同一个电离层之间，是并联的。若所有气柱相同，全球电阻 \[\tag{4.12} R=\frac{R_c}{4\pi a^2}.\]

4.4 自洽检验：三个观测量与边界层

现在有三个可以独立测量的量：地面电场 \(E_0\approx{130\,}\mathrm{V/m}\)（场磨），空地电流 \(J\approx{2\,}\mathrm{pA/m^2}\)（埋在地面、与地绝缘的平板直接收集电流），电离层电势 \(V_{\mathrm I}\approx{250\,}\mathrm{kV}\)（飞机或探空气球一路积分电场，长期平均约 240–250 kV）[11], [21]。由它们可以得到： \begin{align*} I&=4\pi a^2J\\ &\approx{5.1\times 10^{14}\,}\mathrm{m^2}\\ &\quad\times{2\times 10^{-12}\,}\mathrm{A/m^2}\\ &\approx{1.0\,}\mathrm{kA},\tag{4.13}\\ R&=V_{\mathrm I}/I\approx{250\,}\mathrm{\Omega },\\ R_c&=V_{\mathrm I}/J\approx{1.25\times 10^{17}\,}\mathrm{\Omega \cdot m^2}.\tag{4.14} \end{align*}

这些数与文献给出的全球电阻（约 200–230 Ω）、柱电阻（\((1.2\)–\(1.7)\times10^{17}\,\Omega\cdot\mathrm{m^2}\)）和总电流（1–2 kA）在 20% 的水平上一致[19], [21]。

矛盾的出路是：最低 1–2 km 的大气边界层中有大量气溶胶，吸附小离子，使电导率远低于自由大气指数律的外推值（第 3.2 节）。地面电场由地面电导率决定，\(E_0=J/\sigma(0)\)，所以 \(\sigma(0)\) 小就能给出 130 V/m 左右的地面电场；而电离层电势由整个气柱决定。本讲用下面的参考模型概括这一点： \begin{gather*} \sigma(z)=\sigma_\infty\ee^{z/H}[1-\beta\ee^{-z/d}],\tag{4.15}\\ \sigma_\infty={5.5\times 10^{-14}\,}\mathrm{S/m},\\ H={6\,}\mathrm{km},\\ \beta=0.70,\quad d={0.8\,}\mathrm{km}. \end{gather*} 方括号是边界层修正：地面处电导率被压低到自由大气外推值的 \(1-\beta=30\%\)，修正在 \(d\) 的几倍高度以上消失。参数是为了同时符合上述观测量而选取的代表值，不是某一次测量的拟合。取 \(V_{\mathrm I}={250\,}\mathrm{kV}\) 数值积分（脚本 fig_profile.py）得 \begin{gather*} R_c={1.25\times 10^{17}\,}\mathrm{\Omega \cdot m^2},\quad J={2.0\,}\mathrm{pA/m^2},\\ E_0=J/\sigma(0)={121\,}\mathrm{V/m},\\ R={245\,}\mathrm{\Omega },\quad I={1.02\,}\mathrm{kA}, \end{gather*} 其中 37% 的柱电阻位于 2 km 以下。三个观测量都得到了合理的再现。（Rycroft 与 Harrison 给出的典型剖面中，一半的柱电阻位于最低 1.6 km 内[21]；实际边界层的贡献因地而异，常比参考模型的更大。）

5 为什么需要“电池”：全球大气电路

5.1 地球–电离层“电容器”与它的放电时间

地面带负电、电离层带正电势，中间隔着空气，看起来像一个球形电容器。由式 (3.11)，若把电离层下边界取为 \(z_{\mathrm I}={60\,}\mathrm{km}\)，“几何电容” \begin{align*} C_{\mathrm{geo}}&=\frac{4\pi\varepsilon_0a^2}{z_{\mathrm I}}\\ &={1.113\times 10^{-10}\,}\mathrm{F/m}\\ &\quad\times\frac{({6.371\times 10^{6}\,}\mathrm{m})^2}{{6\times 10^{4}\,}\mathrm{m}}\\ &\approx{0.075\,}\mathrm{F}.\tag{5.1} \end{align*} 与 \(R\approx{245\,}\mathrm{\Omega }\) 相乘，\(RC_{\mathrm{geo}}\approx{18\,}\mathrm{s}\)。照此，没有充电的话地球电荷不到一分钟就会漏光。这个估计对不对？

两个地方值得怀疑：(1) 第 4.2 节已经看到，与地面电荷配对的正电荷主要在低层大气里，并不在 60 km 高的“极板”上；(2) 电容器中间的“介质”是导电的，而且电导率随高度变化十万倍，“电阻”与“电容”不能像普通 \(RC\) 电路那样分开处理。下面直接求解。

每一个高度上的电场都以当地的弛豫时间 \(\tau(r)\equiv\varepsilon_0/\sigma(r)\) 独立衰减，与其他高度无关。用总电流（传导 + 位移）的语言说：球对称时 \(4\pi r^2(\sigma E_r+\varepsilon_0\partial_tE_r)=0\)，每个球面上的传导电流都被位移电流抵消。传导电流确实穿过每一个球面，但每个球面内净电荷的变化只取决于该球面处的 \(\sigma\) 与 \(E_r\)，不需要把电荷从地面一路运到电离层。特别地，取 \(r\to a^+\)（紧贴地面），地面电荷 \(Q_{\mathrm E}=4\pi a^2\varepsilon_0E_r(a)\) 满足 \[\tag{5.3} Q_{\mathrm E}(t)=Q_{\mathrm E}(0)\,\ee^{-t/\tau_0},\quad \tau_0=\frac{\varepsilon_0}{\sigma(0)}\] 在球对称模型内，地球电荷的放电时间就是地面空气的弛豫时间，与高空的电导率剖面无关。对参考模型，\(\sigma(0)={1.65\times 10^{-14}\,}\mathrm{S/m}\)，\(\tau_0={537\,}\mathrm{s}\approx{9\,}\mathrm{min}\)，比朴素估计 18 s 长约 30 倍。

由 \(E_0=J/\sigma(0)\) 与 \(V_{\mathrm I}=IR=4\pi a^2JR\)， \[\tag{5.5} RC=\frac{4\pi a^2\varepsilon_0J/\sigma(0)}{4\pi a^2J}=\frac{\varepsilon_0}{\sigma(0)}=\tau_0 ,\] 对任何电导率剖面都成立。参考模型给出 \(C=\tau_0/R\approx{2.2\,}\mathrm{F}\)，是几何电容的 30 倍。对纯指数剖面，\(C=4\pi a^2\varepsilon_0E_0/(E_0H)=4\pi\varepsilon_0a^2/H\)：等效“极板间距”是标高 \(H\) 而不是电离层高度，这正是正空间电荷集中在最低几个标高的结果。注意：这个 \(R\|C\) 等效只对地球电荷成立；电离层电势 \(V_{\mathrm I}\) 是各层电场之和，它的动态不能用同一个 \(R\|C\) 描述（见下面的注与第 5.3 节）。

无论用哪种算法，结论都是：没有持续的充电，晴天电场会在几分钟到十几分钟内消失。全球需要一个平均约 1 kA 的“发电机”，功率约 \(IV_{\mathrm I}\approx{1\,}\mathrm{kA}\times{250\,}\mathrm{kV}={250\,}\mathrm{MW}\)。

5.2 雷暴：全球电路的发电机

雷暴的电荷结构

典型雷暴云呈“三极”结构：云的上部带正电，中部（约 \(-10\) ℃ 到 \(-25\) ℃ 的高度）是主要的负电荷区，底部还有一个较小的正电荷区[22]。

起电机制（定性）

目前认为最主要的是非感应起电：云中上升气流里的小冰晶与较重的霰粒（软雹）碰撞后弹开，二者之间转移电荷。实验室研究表明，在温度低于某个“反转温度”（约 \(-10\) ℃，随液态水含量而变）的区域，霰粒在碰撞中带负电、冰晶带正电，每次碰撞转移的电荷约 \(10^{-14}\) C 量级[23], [24]。轻的冰晶被上升气流带到云顶，重的霰粒留在中部或下落，正负电荷由此在竖直方向分离。分离电荷要克服电场力做功，能量来自上升气流与重力：雷暴在这里是一台把机械能转化为电能的发电机。本讲不讨论电荷转移的微观机制。

电流回路

图 4(a) 画出了常规电流的回路：

1. 云顶的正电荷与其上方导电的高层大气之间有电场，驱动电流向上流入电离层（称为 Wilson 电流）；

2. 电离层水平导电良好，电流向全球散开；

3. 在全球晴天区，电流以空地传导电流 \(J\) 向下流回地面；

4. 地面导电，电流在地中流回雷暴下方；

5. 在雷暴下方，负电荷经云地闪电、尖端（电晕）放电、降水被输送到地面，相当于常规电流向上流回云中，回路闭合。

1948 年飞越 21 个雷暴的测量给出平均每个雷暴向上约 0.5–0.8 A 的电流[25]；近年的飞机统计给出陆地雷暴平均约 1.0 A、海洋雷暴约 1.6–1.7 A[26], [27]。全球同时活动的雷暴约一两千个（Brooks 1925 年估计为 1800 个），再加上不产生闪电的带电阵雨云，合计约 1–2 kA，与晴天区的总电流相当[21], [25], [27]。这就是 C. T. R. Wilson 在 1920 年前后提出的全球电路假说[8]。

5.3 卡内基曲线：全球同步的证据

全球电路假说最有力的证据来自海洋上的测量。卡内基号第 IV–VI 航次（1915–1921）在远离陆地污染的海面上测得的晴天电位梯度已经显示出按世界时同步的日变化；第 VII 航次（1928–1929）首次连续自动记录，把 82 个“未受扰动”的晴天按世界时（UT）平均，得到一条光滑的日变化曲线：约 3 UT 极小、约 19 UT 极大，一次谐波（定义见下）的振幅约为平均值（132 V/m）的 15%[3]。在不同大洋、不同经度上测到的曲线按世界时重合，而不是按各地的地方时重合。这条曲线被称为卡内基曲线。

论证 1：按世界时同步意味着全球原因

如果电场的日变化来自当地的原因（日照、对流、污染），它应当跟随地方时；按世界时同步，说明变化的是一个全球共同的量。由第 4.4 节，地面电场 \(E_0=J/\sigma(0)=V_{\mathrm I}/[\sigma(0)R_c]\)；海上的 \(\sigma(0)\)、\(R_c\) 没有按世界时同步变化的理由，所以变化的是电离层电势 \(V_{\mathrm I}\)，即全球电路的“电压”。

论证 2：电路的响应是准静态的

把雷暴看作电流源 \(I_{\mathrm g}(t)\)（每个雷暴的“内阻”很大，见下面的注），它直接把正电荷从地面搬到电离层，雷暴区的面积可略。在第 5.1 节的球对称模型中加上这个电流：半径 \(r\) 的球面内的电荷除了因晴天传导电流改变，还被发电机搬走 \(I_{\mathrm g}\)。重复式 (5.2) 的推导（记 \(E=-E_r>0\)，薄壳中 \(4\pi r^2\approx4\pi a^2\)），每一层满足 \[\tag{5.6} \varepsilon_0\pdv{E}{t}+\sigma(z)E=J_{\mathrm g}(t)\equiv\frac{I_{\mathrm g}(t)}{4\pi a^2}.\] 取紧贴地面的一层，乘以 \(4\pi a^2\)，得到地球电荷 \(\abs{Q_{\mathrm E}}=4\pi a^2\varepsilon_0E_0\) 的方程 \[\tag{5.7} \dv{\abs{Q_{\mathrm E}}}{t}=I_{\mathrm g}(t)-\frac{\abs{Q_{\mathrm E}}}{\tau_0},\] 在上述球对称、雷暴为面积可略的理想电流源的模型内（\(Q_{\mathrm E}\) 指晴天区的地面电荷），它对任何 \(\sigma(z)\) 都成立，推导中取 \(r\to a^+\)，没有用到别的近似（这正是图 4(b) 的 \(R\|C\) 等效的含义）。卡内基曲线测的是地面电场 \(E_0\propto\abs{Q_{\mathrm E}}\)，所以论证只需要这个方程。设 \(I_{\mathrm g}=\bar I\,[1+\epsilon\cos\Omega t]\)，\(\Omega=2\pi/({24\,}\mathrm{h})\)，把 \(\cos\Omega t\) 写成 \(\Re\,\ee^{\ii\Omega t}\)，试探稳态解 \(\abs{Q_{\mathrm E}}=\tau_0\bar I\left[1+\Re(\hat\xi\,\ee^{\ii\Omega t})\right]\)。代入式 (5.7)，常数项自动满足，\(\ee^{\ii\Omega t}\) 的系数给出 \(\ii\Omega\tau_0\hat\xi=\epsilon-\hat\xi\)，即 \(\hat\xi=\epsilon/(1+\ii\Omega\tau_0)\)。于是 \begin{gather*} \abs{Q_{\mathrm E}}=\tau_0\bar I\left[1+\frac{\epsilon\cos(\Omega t-\phi)}{\sqrt{1+(\Omega\tau_0)^2}}\right],\\ \tan\phi=\Omega\tau_0 . \end{gather*} \(\tau_0\approx{9\,}\mathrm{min}\)，\(\Omega\tau_0=0.039\)：振幅只减小 0.08%，地面电场比雷暴电流滞后 \(\phi/\Omega\approx\tau_0\approx{9\,}\mathrm{min}\)。因此在任何时刻地面电场都正比于当时的全球雷暴电流：全球电场是全球雷暴电流的实时读数。

电离层电势的滞后不同。对频率 \(\Omega\) 的分量，式 (5.6) 给出每层 \(E=J_{\mathrm g}/(\sigma+\ii\Omega\varepsilon_0)\)，所以 \begin{align*} V_{\mathrm I}&=J_{\mathrm g}\int\frac{\dd z}{\sigma+\ii\Omega\varepsilon_0}\approx J_{\mathrm g}\int\frac{\dd z}{\sigma}\left[1-\ii\Omega\tau(z)\right]\\ &=J_{\mathrm g}R_c\left(1-\ii\Omega\tau_V\right),\qquad \tau_V\equiv\frac{1}{R_c}\int\tau(z)\frac{\dd z}{\sigma(z)}, \end{align*} 第二步对小量 \(\Omega\tau(z)\ll1\) 展开到一阶。\(\tau_V\) 是按各层电阻加权的平均弛豫时间，\(1-\ii\Omega\tau_V\approx\ee^{-\ii\Omega\tau_V}\) 表示 \(V_{\mathrm I}\) 滞后 \(\tau_V\)。若 \(\sigma\) 随高度单调增加，高处的 \(\tau(z)\) 都比 \(\tau_0\) 短，于是 \(\tau_V<\tau_0\)（例题 2 的雾层是一个反例：雾中电导率低于上方）：纯指数剖面 \(\tau_V=\tau_0/2\)（例题 1），参考模型 \(\tau_V\approx{128\,}\mathrm{s}\approx{2\,}\mathrm{min}\)。两者都远小于一天，结论不变。

论证 3：与雷暴活动的日变化对比

陆地雷暴主要发生在当地午后到傍晚。美洲、非洲、亚洲的雷暴区分别位于不同经度，它们的“午后”出现在不同的世界时。1929 年 Whipple 把早期航次的卡内基曲线与 Brooks 统计的各大洲雷暴日数对比，Whipple 与 Scrase 1936 年又给出了按世界时的各大洲陆地雷暴面积[3], [10]。按图 5(b)，非洲（约 14–15 UT）与美洲（约 19–20 UT）各贡献一个峰，两者的日平均面积几乎相等，全球雷暴面积在 13–20 UT 形成一个宽平台（最大值在 14.5 UT），在 2–3 UT（各大洲都处于夜间或清晨）最小。卡内基曲线也在 2–3 UT 最小，但极大在 19–20 UT。卡内基曲线一次谐波的极大在 17.2 UT，雷暴面积的在 16.0 UT，前者晚约 1.2 h，原始曲线的峰相差更多。这个时间差远大于电路的响应滞后（\(\tau_0\approx{9\,}\mathrm{min}\)，论证 2），所以不能用电路的响应时间来解释。总的形状相似：两条 24 点曲线的相关系数 \(r\approx0.94\)[3]。

这里相关系数 \(r=\dfrac{\sum_k(x_k-\bar x)(y_k-\bar y)}{\sqrt{\sum_k(x_k-\bar x)^2\sum_k(y_k-\bar y)^2}}\)，\(r=1\) 表示两条曲线经线性缩放后完全重合，\(r=0\) 表示毫无线性关系。由于相邻小时的值并不独立（日变化曲线很光滑），24 个点实际上只相当于约 5 个独立数据，Harrison 估计“两条毫无关系的光滑曲线偶然达到这样高的相关”的概率 \(p\)：按约 4 h 持续性取 5 个独立点时 \(p\approx0.02\)，用保持谱特征的蒙特卡洛方法时 \(p<0.01\)，按更保守的 5 h 持续性（\(r=0.91\)）时 \(p\approx0.09\)[3]。相位上的差别说明，单位面积的陆地雷暴向上输送的电流因地区而异，雷暴面积并不是全球电流的精确代理；用飞机实测的雷暴电流（而不是面积）加权，并计入海洋雷暴与阵雨云，与卡内基曲线符合得更好[27]。

6 闪电与安全

6.1 一次闪电的量级

最常见的对地闪电是把云中负电荷送到地面的“负地闪”。一次负地闪通常包含几次“回击”（return stroke）：先有一条弱电离的通道（先导）从云中逐级伸向地面，接地瞬间，大电流沿通道从地面向上“回击”。瑞士 San Salvatore 山顶铁塔上的直接测量（Berger 等）是闪电电流参数的主要来源[1], [28]：

• 负地闪首次回击的峰值电流：95% 超过 14 kA，50% 超过 30 kA，5% 超过 80 kA；电流在微秒量级内升到峰值，在几十到上百微秒内衰减；

• 首次回击输送的“冲击电荷” \(Q\) 与峰值电流 \(I\) 大致满足经验关系 \(I\approx10.6\,Q^{0.7}\)（\(I\) 以 kA、\(Q\) 以 C 计），30 kA 对应约 4 C；有些闪电在回击之后还有持续数十到数百毫秒、100–1000 A 的“连续电流”，它们输送的电荷更多[1]。

6.2 电流在地中的扩散：半球接地模型

雷电流到达地面后向四周扩散。地面各点之间因此出现很大的电势差。

这与点电荷的电势形式相同：静电学中“高斯定理 + 对称性”的论证在这里换成了“电流守恒 + 对称性”。

土壤电离

雷击点附近场强极大。式 (6.1) 的 \(E(r)\) 超过土壤的击穿场强 \(E_c\)（文献报道的数值在 \(7\times10^4\) 到 \(3\times10^6\) V/m 之间，工程上常取 \(3\times10^5\) V/m[1], [29]）的区域会发生放电、电离，变得高度导电。电离半径 \[r_i=\sqrt{\frac{I}{2\pi\sigma_sE_c}}\approx{1.3\,}\mathrm{m}\tag{6.5}\] （\(I={30\,}\mathrm{kA}\)，\(\rho_s={100\,}\mathrm{\Omega \cdot m}\)）。 有趣的是，\(r>r_i\) 处的电场与跨步电压不受电离区影响：半球对称下穿过半径 \(r\) 的半球面的电流仍是 \(I\)，式 (6.1) 照样成立（例题 3）。

安全讨论

跨步电压正比于步距、近似反比于 \(r^2\)。所以：(1) 雷雨时在野外不要靠近孤立的高树、铁塔（它们是雷击点，地电势最高的地方在其根部）；(2) 双脚并拢下蹲可以减小步距、降低高度，平躺则最差（身体沿径向的长度最大）；但并拢下蹲只能略降风险，不能算安全措施，美国国家气象局已不再推荐这一姿势[30]；(3) 四足动物前后腿距离大，而且电流路径经过胸腔，所以地电流（跨步电压）常常使牛羊成群死亡；美国国家气象局指出，地电流是造成雷击伤亡最多的一种方式[30], [31]。真正安全的做法是进入有接地防雷系统的建筑物或全金属车厢。

6.3 尖端放电与避雷针

小球表面的场更强，场强与曲率半径成反比。把它推广到一个形状不规则的导体（“相距很远”是为了让两球互不影响，对同一导体上相连的尖端与平坦部分只是定性推广）：尖端附近的局域场比平坦处强得多。更定量的结果：高 \(\ell\)、尖端曲率半径 \(r_t\) 的细长接地导体立在均匀场 \(E_{\mathrm{amb}}\) 中，尖端场强约为 \(E_{\mathrm{amb}}\cdot(\ell/r_t)/[\ln(2\ell/b)-1]\)（\(b=\sqrt{\ell r_t}\) 为导体的半宽。把接地导体与它在地面下的镜像合起来，就是一个长 \(2\ell\) 的孤立导体旋转椭球；上式是这个椭球在均匀场中精确解的细长极限，此处不推导，脚本核对 \(\ell={10\,}\mathrm{m}\)、\(r_t={1\,}\mathrm{mm}\) 时与精确解相差不到 1%）。雷暴下方地面的电场可达每米数千伏到上万伏[28]，对 \(\ell={10\,}\mathrm{m}\)、\(r_t={1\,}\mathrm{mm}\) 的导体尖端，增强倍数约 \(2\times10^3\)，局域场超过空气的击穿场强（约 3 MV/m），尖端附近的空气被电离，产生电晕放电（夜间可见的“圣艾尔摩之火”）。

富兰克林最初希望尖头避雷针能通过持续的尖端放电“悄悄地”中和云中电荷，从而阻止闪电。后来的认识是：避雷针并不能阻止闪电（尖端放电产生的电流与雷暴的起电电流相比太小），它的作用是在下行先导接近时率先发出向上的“连接先导”，把闪电引到自己身上，再通过低电阻的引下线和接地体把电流导入大地。在一项持续七年的山顶对比观测中，尖头避雷针一次也没有被击中，而尖端直径 12.7–25.4 mm 的钝头避雷针被击中了 12 次[32]；一种解释是尖头的电晕放电在尖端周围形成空间电荷，反而削弱了尖端附近的电场[33]。

7 舒曼共振：地球–电离层空腔的本征振动

7.1 空腔的两个导体壁

由第 3.3 节的要点，判断一种介质在频率 \(\omega\) 下是导体还是绝缘体，要比较 \(\sigma\) 与 \(\varepsilon_0\omega\)。对 \(f={8\,}\mathrm{Hz}\)，\(\varepsilon_0\omega\approx{4.4\times 10^{-10}\,}\mathrm{S/m}\)：

• 海水（\({4\,}\mathrm{S/m}\)）与土壤（\(10^{-3}\)–\(10^{-2}\) S/m）：\(\sigma\gg\varepsilon_0\omega\)，是导体；

• 低层大气（\(10^{-14}\)–\(10^{-11}\) S/m）：\(\sigma\ll\varepsilon_0\omega\)，是很好的绝缘体；

• 按指数律外推，\(\sigma(z)\) 在约 50–60 km 处达到 \(\varepsilon_0\omega\)；再往上，电离层 D 区、E 区²（60–100 km）的电导率更大，对 ELF 波是导体（但不是理想导体，第 7.5 节）。

因此地面与电离层下边界构成一个厚 \(h\approx\) 60–90 km 的球壳空腔，\(h/a\approx0.01\)。由第 3.6 节，频率低于约 2 kHz 时腔内只能存在 TEM 型的波：电场径向（竖直），磁场水平。

7.2 粗估：绕地球一周的驻波

若波沿某个大圆传播，绕地球一周（周长 \(2\pi a\)）回到出发点时相位应当衔接，类似于圆环上的驻波：\(2\pi a=n\lambda_{\mathrm w}\)（\(\lambda_{\mathrm w}\) 为波长，\(\lambda\) 留作下文的本征值）， \[f_n^{\text{环}}=\frac{nc}{2\pi a}=n\times{7.49\,}\mathrm{Hz} \tag{7.1}\] （\(n=1,2,\dots\)）。这已经给出了正确的量级。但球面不是圆环：从一点发出的波沿所有大圆同时传播，在对跖点汇聚，再散开……下面用薄壳上的波动方程求出准确的本征频率。

7.3 薄球壳上的波动方程

在地表一点，局部取 \(\uvec{z}\to\uvec{r}\)（向上）、\(\uvec{x}\to\uvec{\theta}\)（沿经线向南，即离开源点的方向）、\(\uvec{y}\to\uvec{\varphi}\)（向东）；这组方向与 \(x,y,z\) 一样构成右手系（\(\uvec{r}\times\uvec{\theta}=\uvec{\varphi}\) 对应 \(\uvec{z}\times\uvec{x}=\uvec{y}\)）。沿经线方向的弧长 \(\dd s=a\,\dd\theta\)。

右边的算符 \(\dfrac{1}{\sin\theta}\pdv{}{\theta}\left(\sin\theta\pdv{}{\theta}\right)\) 是单位球面上的拉普拉斯算子（轴对称部分）：它是“一维的二阶导数”在球面上的推广，多出来的 \(\sin\theta\) 记录了纬线圈周长的变化。

7.4 本征频率与勒让德多项式

寻找“驻波”解：所有点同步振动，\(E_r(\theta,t)=F(\theta)\cos\omega t\)。代入式 (7.3)，两边约去 \(\cos\omega t\)： \begin{gather*} \frac{1}{\sin\theta}\dv{}{\theta}\left(\sin\theta\dv{F}{\theta}\right)=-\lambda F,\tag{7.4}\\ \lambda\equiv\frac{\omega^2a^2}{c^2}. \end{gather*} 这是一个本征值问题：只有某些 \(\lambda\) 值才有物理上可以接受的解。可以接受的条件是：\(F(\theta)\) 在整个球面上有限，特别是在 \(\theta=0\)（源点）和 \(\theta=\pi\)（对跖点）两个“极点”处有限。

由 \(\lambda=\omega^2a^2/c^2=n(n+1)\)，得理想球壳空腔的本征频率 \[f_n=\frac{c}{2\pi a}\sqrt{n(n+1)},\quad n=1,2,\dots \tag{7.7}\] 第 \(n\) 个模式的电场分布为 \(E_r\propto P_n(\cos\theta)\cos\omega_nt\)，在 \(P_n(\cos\theta)=0\) 的 \(n\) 条纬线上始终为零（节线），见图 7。

三点物理解释

1. \(n=0\) 分量与全球电路。\(n=0\) 对应 \(F=\) 常数、\(\omega=0\)：全球均匀的竖直电场，即带电的球形电容器。在无损空腔中它不能以非零频率振动，因为 \(E_r\) 处处同步变化意味着地球总电荷 \(\propto\oint E_r\,\dd A\) 在变，而面电流在闭合球面上的“净流出”为零，地球电荷守恒。计入下层空气的电导后，这个分量也不振荡，而是按各层的 \(\tau(z)\) 弛豫，正是第 5.1 节的放电过程；直流全球电路就是这个分量在雷暴持续“供电”下的稳态。附录 B 式 (B.1) 的 \(n=0\) 项也说明了这一点：一次闪电把电荷 \(\Delta Q\) 从地面送上去，使全球均匀场阶跃式地改变 \(\Delta Q/(4\pi\varepsilon_0a^2)\)。直流的全球电路和交流的舒曼共振是同一个空腔的两种工作方式（直流时下层空气的漏电起作用，交流时它是绝缘体）。

2. 为什么是 \(\sqrt{n(n+1)}\) 而不是 \(n\)。大 \(n\) 时 \(\sqrt{n(n+1)}=n+\tfrac12-\tfrac{1}{8n}+\dots\)，比圆环估计 (7.1) 多出“半个波长”。可以这样理解：球面上的波每绕行一周都要穿过源点和对跖点两个汇聚点，二维的波每经过一个汇聚点相位多出 \(\pi/2\)（与光通过焦点时的 Gouy 相移类似），一周共多出 \(\pi\)，相当于半个波长。这只是对大 \(n\) 渐近行为的直观解释，准确结果以式 (7.7) 为准。

3. 简并。不轴对称的模式（场还依赖于经度 \(\varphi\)）满足更一般的方程，其本征值仍是 \(n(n+1)\)：每个 \(n\) 有 \(2n+1\) 个频率相同的模式。一次闪电只激发以它为“北极”的轴对称模式，所以上面的讨论已经够用。

7.5 理想值与观测值：电离层是有损耗的壁

观测到的频率比理想值低约 20%–26%，且 \(n=1\)–4 的“观测/理想”比值随 \(n\) 缓慢增大（第 5 个模式的观测值较粗，不计）；谱峰很宽（图 9），实测半功率全宽约为峰频的 20%，即品质因数约为 5（理想导体壁的空腔品质因数趋于无穷）[35]。原因都在于电离层并不是理想导体。

电离层的“下边界”在哪里

电导率随高度连续增大，没有一个截然的边界。对竖直电场来说，“导体”从 \(\sigma(z)\) 与 \(\varepsilon_0\omega\) 可比的高度开始：在它下面，竖直方向的位移电流 \(\varepsilon_0\partial_tE\) 比传导电流大，空气像电容器的介质；在它上面，传导电流占优，电场线在这里“终止”。定义电高度 \[\tag{7.8} \sigma(h_e)=\varepsilon_0\omega .\] 若把指数律 \(\sigma_\infty\ee^{z/H}\)（\(\sigma_\infty={5.5\times 10^{-14}\,}\mathrm{S/m}\)，\(H={6\,}\mathrm{km}\)）外推上去，\(h_e=H\ln(\varepsilon_0\omega/\sigma_\infty)\approx{54\,}\mathrm{km}\)（\(f={8\,}\mathrm{Hz}\)）。这只是粗略的外推：实际剖面在 60 km 附近有一个“拐折”，文献给出 \(\sigma=\varepsilon_0\omega\) 的高度约 60–70 km[14]。附录 C 还用另一种方式定义了一个复数的“等效电高度” \(\tilde h_e\)（记号带波浪号以示区别），并证明对指数剖面（在 \(h_e\gg H\) 的条件下）\(\tilde h_e\approx h_e+\ii\pi H/2\)：实部就是式 (7.8) 的 \(h_e\)，虚部代表损耗。

另一方面，水平的面电流（以及它们之间的水平磁场）能够上到更高的地方：只有当电离层的电导率大到使电磁场在其中的趋肤深度小于电导率变化的特征长度时，水平电流才被“关”在下面。这个高度称为磁高度 \(h_m\)[36]，位于 90–100 km 附近的电离层 D、E 区（那里的电导率白天约 \(10^{-3}\) S/m、夜间约 \(10^{-6}\) S/m[14]）。

7.6 舒曼共振的用途

卫星光学观测给出全球平均每秒约 44 次闪电（\(44\pm5\) 次/秒），陆地上的闪电约为海洋上的 10 倍[15], [16]。每一次闪电都向空腔注入一个宽频带的电流脉冲。这些随机脉冲叠加，在任意一个远离人为干扰的测站都能测到连续的、带有舒曼共振峰的极低频噪声谱，多国引力波探测器旁的磁强计测得的水平磁场幅度谱密度约为 \(0.5\)–\(1\,\mathrm{pT}/\sqrt{\mathrm{Hz}}\)，在约 8、14、20、26 Hz 处有宽峰，谱宽约为峰频的 20%[34], [35]。图 9 是用本讲的模型计算的水平磁场“背景谱”，峰位约 7.8、14.0、20.4、26.8 Hz。第一模式的振幅衰减时间 \(2Q_1/\omega_1\approx{0.2\,}\mathrm{s}\)，与绕地球一周所需的约 0.18 s 相当，所以一次闪电的信号能传遍全球，一个测站就能“听到”全球的闪电：

• 共振峰的强度随全球雷暴活动起伏。全球雷暴主要集中在热带三大“烟囱”（美洲、非洲、东南亚–澳洲海洋大陆），因此舒曼共振强度的日变化与卡内基曲线同源；Williams 据此提出用舒曼共振监测全球热带温度[17]；

• 不同模式的相对强度取决于源到测站的角距离 \(\theta\)（因子 \(P_n(\cos\theta)\)，图 8），可以用来估计强闪电的距离（例题 4）；

• 引力波探测器相距数千公里的磁强计测到的舒曼共振是相关的，它是探测随机引力波背景时必须扣除的“全球相关噪声”[34], [35]。

8 决赛风格例题

9 实验与数据处理：探空电导率剖面与柱电阻

10 小结：推导链

1. 导电介质的静电学（第 3 节）：迁移率 \(\Rightarrow\) \(\sigma=\sum en\mu\)；电荷守恒 + 欧姆定律 + 高斯定理 \(\Rightarrow\) 弛豫时间 \(\tau=\varepsilon_0/\sigma\)；稳恒电流过非均匀介质 \(\Rightarrow\) 空间电荷 \(\rho=\varepsilon_0J\,\dd(1/\sigma)/\dd z\)。

2. 晴天气柱（第 4 节）：稳恒 + 水平均匀 \(\Rightarrow\) \(J\) 不随高度变化 \(\Rightarrow\) \(E=J/\sigma(z)\)、\(V_{\mathrm I}=JR_c\)、\(R=R_c/(4\pi a^2)\)；指数剖面 \(\Rightarrow\) \(V_{\mathrm I}=E_0H\)，正空间电荷与地面电荷等量；三个观测量的自洽检验 \(\Rightarrow\) 边界层。

3. 全球电路（第 5 节）：球对称 + 高斯定理 + 电荷守恒 \(\Rightarrow\) 各层独立弛豫 \(\Rightarrow\) 地球电荷放电时间 \(\tau_0=\varepsilon_0/\sigma(0)\)，就地球电荷而言的有效电容 \(C=\tau_0/R\) \(\Rightarrow\) 必须有约 1–2 kA 的雷暴发电机；日变化中地面电场滞后 \(\tau_0\)、电离层电势滞后 \(\tau_V<\tau_0\)，二者都远小于一天 \(\Rightarrow\) 电场是全球雷暴电流的实时读数 \(\Rightarrow\) 卡内基曲线按世界时同步。

4. 闪电与安全（第 6 节）：电流守恒 + 半球对称 \(\Rightarrow\) \(V=I\rho_s/(2\pi r)\) \(\Rightarrow\) 跨步电压 \(\approx I\rho_s s/(2\pi r^2)\)；等势导体 \(\Rightarrow\) 表面场 \(\propto1/r\) \(\Rightarrow\) 尖端放电。

5. 舒曼共振（第 7 节）：高斯定理 + 面电流守恒 + 磁场跃变 + 法拉第定律 \(\Rightarrow\) 平行板 TEM 波（速度 \(c\)，无截止）\(\Rightarrow\) 薄球壳波动方程 \(\Rightarrow\) 勒让德方程，有限性 \(\Rightarrow\) \(\lambda=n(n+1)\) \(\Rightarrow\) \(f_n=\frac{c}{2\pi a}\sqrt{n(n+1)}\)；有损电离层 \(\Rightarrow\) 两高度传输线 \(v=c\sqrt{h_e/h_m}\)、色散与低 \(Q\)；\(n=0\) 的零频“模式”就是全球直流电路。

参考文献

附录 A 勒让德方程：本征值为什么是 n(n+1)

幂级数

设式 (7.5) 的解 \(F(x)=\sum_{k\ge0}a_kx^k\)。逐项计算： \begin{align*} (1-x^2)F'&=\sum_k ka_kx^{k-1}-\sum_k ka_kx^{k+1},\\ \dv{}{x}\left[(1-x^2)F'\right]&=\sum_k k(k-1)a_kx^{k-2}\\ &\quad-\sum_k k(k+1)a_kx^k . \end{align*} 第一个和式中令 \(k\to k+2\)，使各项都写成 \(x^k\)。代入方程，\(x^k\) 的系数为零： \begin{gather*} (k+2)(k+1)a_{k+2}\\ =[k(k+1)-\lambda]a_k\\ a_{k+2}=\frac{k(k+1)-\lambda}{(k+1)(k+2)}\,a_k .\tag{A.1} \end{gather*} 递推只联系同奇偶的系数，所以通解是一个偶级数（由 \(a_0\) 出发）与一个奇级数（由 \(a_1\) 出发）的线性组合。

不截断的级数在 \(x=\pm1\) 发散

若某个级数不截断，当 \(k\) 很大时 \[\frac{a_{k+2}}{a_k}=\frac{k^2+k-\lambda}{k^2+3k+2}=1-\frac{2}{k}+\order{\frac{1}{k^2}}.\] 这与 \(b_k=1/k\) 的比值 \(b_{k+2}/b_k=k/(k+2)=1-2/k+\order{1/k^2}\) 相同，因此 \(a_k\) 最终与 \(C/k\)（\(C\neq0\)）成比例（两比值之比的连乘积收敛到非零常数）。于是偶级数在 \(x\to\pm1\) 时的行为如同 \(\sum_{k\,\text{偶}}x^k/k=-\tfrac12\ln(1-x^2)\)，奇级数如同 \(\tfrac12\ln\frac{1+x}{1-x}\)，都对数发散。偶、奇级数的组合可以消掉一端的发散，但会使另一端的发散加倍，所以两个级数都不截断时，没有在两极都有限的解。

截断条件

由式 (A.1)，若 \(\lambda=n(n+1)\)（\(n\) 为非负整数），则 \(a_{n+2}=0\)，与 \(n\) 同奇偶的级数在 \(x^n\) 项截断，成为 \(n\) 次多项式；另一个奇偶的级数的分子 \(k(k+1)-n(n+1)\) 对所有与 \(n\) 不同奇偶的 \(k\) 都不为零，不会截断，所以必须令它的首项系数为零。结论：在 \(x=\pm1\) 都有限的解存在当且仅当 \(\lambda=n(n+1)\)，解是 \(n\) 次多项式，按惯例归一化为 \(P_n(1)=1\)，即勒让德多项式。例：\(n=4\)，取 \(a_0=3/8\)，递推给出 \(a_2=-\tfrac{30}{8}\)、\(a_4=\tfrac{35}{8}\)、\(a_6=0\)，即 \(P_4=\tfrac18(35x^4-30x^2+3)\)（脚本核对）。

正交性

对两个不同的 \(n\neq m\)，分别写出 \([(1-x^2)P_n']'=-n(n+1)P_n\) 与 \([(1-x^2)P_m']'=-m(m+1)P_m\)，前者乘 \(P_m\)、后者乘 \(P_n\) 相减并在 \([-1,1]\) 上积分。左边分部积分后化为边界项 \(\left[(1-x^2)(P_n'P_m-P_m'P_n)\right]_{-1}^{1}=0\)（因子 \(1-x^2\) 在两端为零），所以 \[\left[m(m+1)-n(n+1)\right]\int_{-1}^1P_nP_m\,\dd x=0 ,\] 即 \begin{gather*} \int_{-1}^1P_nP_m\,\dd x=0\quad(n\ne m),\\ \int_{-1}^1P_n^2\,\dd x=\frac{2}{2n+1}.\tag{A.2} \end{gather*} （归一化常数由 \(n\le4\) 的直接积分核对，一般情形可由生成函数证明，此处不展开。）

附录 B 一次闪电激发的场：模式求和与共振峰的宽度

带源的方程

把闪电看成在 \(\theta=0\) 处连接两块“极板”的竖直电流 \(I_s(t)\)（若通道长度 \(\ell\) 小于 \(h\)，等效电流为 \(I_s\ell/h\)）。它把电荷从地面直接搬到上方，所以地面的电荷守恒 (7.2) 多出一个源项：\(\partial_tq=-\nabla_s\!\cdot\!K-I_s(t)\,\delta_s\)，其中 \(\delta_s(\theta)\) 是集中在 \(\theta=0\) 附近、在球面上积分为 1 的“面密度”（单位 \(\mathrm{m^{-2}}\)），\(\nabla_s\!\cdot\!K\) 是式 (7.2) 右边的简写。重复第 7.3 节的推导，并唯象地加上损耗项（每个模式按自己的品质因数 \(Q_n\) 衰减）： \begin{align*} &\pdv{^2E_r}{t^2}-\frac{c^2}{a^2\sin\theta}\pdv{}{\theta}\left(\sin\theta\pdv{E_r}{\theta}\right)+(\text{损耗})\\ &\qquad=-\frac{1}{\varepsilon_0}\dv{I_s}{t}\,\delta_s . \end{align*}

按模式展开

由正交性 (A.2)，球面上（只依赖 \(\theta\)）的函数 \(g\) 可以展开为 \(g=\sum_nc_nP_n(\cos\theta)\)，两边乘 \(P_m\) 积分即得系数 \(c_n=\frac{2n+1}{2}\int_{-1}^1 g\,P_n\,\dd x\)。对 \(\delta_s\)（\(\int\delta_s\,2\pi a^2\,\dd x=1\)，集中在 \(x=1\) 且 \(P_n(1)=1\)）： \[\delta_s=\sum_n\frac{2n+1}{4\pi a^2}P_n(\cos\theta).\] 令 \(E_r=\sum_ne_n(t)P_n(\cos\theta)\)，代入并比较 \(P_n\) 的系数（\(P_n\) 是算符的本征函数，本征值 \(-n(n+1)\)）： \begin{gather*} \ddot e_n+\frac{\omega_n}{Q_n}\dot e_n+\omega_n^2e_n=-\frac{2n+1}{4\pi\varepsilon_0a^2}\dot I_s,\\ \omega_n=\frac{c}{a}\sqrt{n(n+1)} . \end{gather*} 这是受迫阻尼振子。对频率 \(\omega\) 的分量（\(\ee^{\ii\omega t}\) 约定）， \begin{gather*} e_n(\omega)=-\frac{(2n+1)\,\ii\omega I_s(\omega)}{4\pi\varepsilon_0a^2D_n(\omega)},\\ D_n(\omega)=\omega_n^2-\omega^2+\ii\omega\omega_n/Q_n,\\ E_r(\theta,\omega)=\sum_ne_n(\omega)P_n(\cos\theta).\tag{B.1} \end{gather*} 闪电电流的时间尺度（毫秒以下）远短于舒曼共振的周期，\(I_s(\omega)\) 在 ELF 段近似为常数（等于一次闪电输送的电荷）。图 8 与演示 atmoelec-schumann 都用式 (B.1) 计算；第 \(n\) 个峰在 \(P_n(\cos\theta)=0\) 的距离上消失。

峰宽与 \(Q_n\)

在 \(\omega\approx\omega_n\) 附近，\(\omega_n^2-\omega^2=(\omega_n-\omega)(\omega_n+\omega)\approx2\omega_n(\omega_n-\omega)\)，\(\omega\omega_n/Q_n\approx\omega_n^2/Q_n\)，所以 \[\abs{e_n}^2\propto\frac{1}{4\omega_n^2\left[(\omega_n-\omega)^2+(\omega_n/2Q_n)^2\right]} .\] 功率降到峰值一半时 \(\abs{\omega-\omega_n}=\omega_n/(2Q_n)\)，半功率全宽 \(\Delta\omega=\omega_n/Q_n\)，即 \(\Delta f=f_n/Q_n\)。时域中自由振荡 \(\propto\ee^{-\omega_nt/(2Q_n)}\cos\omega_nt\)，振幅衰减率 \(\gamma=\omega_n/(2Q_n)=\pi\Delta f\)，能量衰减率 \(2\gamma\)。

随机分布的源：水平磁场的背景谱

磁强计测的是水平磁场。由第 7.3 节推导中的法拉第定律 \(\frac1a\pdv{E_r}{\theta}=\pdv{B_\varphi}{t}\)，频率 \(\omega\) 的分量 \(B_\varphi=\frac{1}{\ii\omega a}\pdv{E_r}{\theta}\)。代入式 (B.1)，第 \(n\) 模式的水平磁场为 \[B_{\varphi,n}\propto\frac{(2n+1)I_s}{D_n(\omega)}P_n'\equiv b_n(\omega)P_n',\] 其中 \(P_n'\equiv\dd P_n(\cos\theta)/\dd\theta\)，因子 \(\ii\omega\) 与 \(1/(\ii\omega)\) 相消。\(n=0\) 项没有贡献：全球均匀的竖直电场没有水平梯度，不产生水平磁场。设闪电在球面上均匀随机分布、彼此独立，源在任意位置时场只依赖于源与观测点的角距离 \(\theta\)（磁场方向垂直于源–站大圆，其大小与方位无关）。各次闪电的相位随机，总功率谱等于各次功率谱之和，正比于对源位置的平均 \[\avg{\abs{\sum_nb_nP_n'}^2}=\sum_{n,m}b_nb_m^*\avg{P_n'P_m'}.\] 对球面平均，分部积分（边界项含 \(\sin\theta\)，在两极为零），再用勒让德方程与式 (A.2)： \begin{align*} \avg{P_n'P_m'}&=\tfrac12\int_0^\pi P_n'P_m'\sin\theta\,\dd\theta\\ &=-\tfrac12\int_0^\pi P_m\,\partial_\theta(\sin\theta\,P_n')\,\dd\theta\\ &=\tfrac{n(n+1)}{2}\int_0^\pi P_mP_n\sin\theta\,\dd\theta\\ &=\frac{n(n+1)}{2n+1}\delta_{nm}. \end{align*} 交叉项消失，\(\abs{b_n}^2\propto(2n+1)^2/\abs{D_n}^2\) 乘以 \(n(n+1)/(2n+1)\)，所以 \[S_B(\omega)\propto\sum_{n\ge1}\frac{n(n+1)(2n+1)}{\abs{D_n(\omega)}^2},\] 这就是图 9（作图时 \(n\) 取到 40）。若改看竖直电场，同样的推导给出 \(\sum_n(2n+1)\abs{\omega/D_n}^2\)，其中包含 \(n=0\) 项 \(1/\omega^2\)：它对应每次闪电使全球均匀场发生的准静态阶跃（计入下层空气的漏电后按分钟量级弛豫），在 ELF 段只给出随频率下降的低频背景，不形成共振峰，在 5 Hz 以下占主导。所以与磁强计观测比较时用水平磁场谱更直接。

附录 C 复电高度与电离层下边界的损耗

气柱的“交流电阻”

频率 \(\omega\) 下，竖直电场 \(E(z)\ee^{\ii\omega t}\) 在有电导的气柱中推动的总电流密度（传导 + 位移）为 \((\sigma+\ii\omega\varepsilon_0)E\)。与第 4.2 节的直流情形一样，在水平尺度远大于气柱高度时，这个总电流密度 \(j\) 不随高度变化（电荷守恒）。于是两“极板”之间的电压 \[U=\int E\,\dd z=j\int_0^\infty\frac{\dd z}{\sigma(z)+\ii\omega\varepsilon_0}\equiv j\,\frac{\tilde h_e}{\ii\omega\varepsilon_0},\] 最后一步定义了复数的等效电高度 \(\tilde h_e\)：若间隔 \(h\) 的两块理想极板之间是真空，\(U=jh/(\ii\omega\varepsilon_0)\)（纯电容）。所以 \[\tag{C.1} \tilde h_e=\int_0^\infty\frac{\dd z}{1-\ii\sigma(z)/(\omega\varepsilon_0)} .\] （第 5.3 节求电离层电势的日变化滞后时，用的是同一个积分在 \(\omega\to0\) 时的展开。）被积函数在 \(\sigma\ll\omega\varepsilon_0\) 处约为 1（这一段“算作”极板间隔），在 \(\sigma\gg\omega\varepsilon_0\) 处趋于 0（导体，不贡献电压）。

指数剖面

设 \(\sigma(z)=\omega\varepsilon_0\,\ee^{(z-h_0)/\zeta}\)，\(h_0\) 是 \(\sigma=\omega\varepsilon_0\) 的高度（即式 (7.8) 中的实数 \(h_e\)），\(\zeta\) 是这一高度附近电导率的标高。令 \(u=\ee^{(z-h_0)/\zeta}\)，\(\dd z=\zeta\,\dd u/u\)： \begin{gather*} \tilde h_e=\zeta\int_{u_0}^\infty\frac{\dd u}{u(1-\ii u)}=\zeta\Big[\ln u-\ln(1-\ii u)\Big]_{u_0}^{\infty},\\ u_0=\ee^{-h_0/\zeta}. \end{gather*} 上限 \(u\to\infty\)：\(\ln\frac{u}{1-\ii u}\to\ln\frac{1}{-\ii}=\ln\ii=\ii\pi/2\)；下限：\(\ln u_0-\ln(1-\ii u_0)\approx-h_0/\zeta\)（\(u_0\ll1\)）。所以 \[\tag{C.2} \tilde h_e\approx h_0+\ii\frac{\pi\zeta}{2}\qquad(h_0\gg\zeta).\] 实部就是式 (7.8) 定义的高度；虚部来自 \(h_0\) 附近一个标高左右的“过渡层”：那里传导电流与位移电流相当，电场推动电荷做功，能量变成热。（脚本对 \(h_0=55\)、\(\zeta=3\) 数值积分核对了式 (C.2)。）

电高度损耗给出的 \(Q\)

把两高度模型 (7.9) 中的 \(h_e\) 换成复数 \(\tilde h_e\)，\(\omega^2\propto\tilde h_e/h_m\)。暂把 \(h_m\) 当作实数（只计电高度附近的损耗），\(\omega^2=\omega_r^2(1+\ii\pi\zeta/(2h_0))\)。由于 \(\pi\zeta/(2h_0)\ll1\)，开方后 \(\omega\approx\omega_r[1+\ii\pi\zeta/(4h_0)]\)。在 \(\ee^{\ii\omega t}\) 约定下 \(\Im\omega>0\) 表示衰减，衰减率 \(\gamma=\omega_r\pi\zeta/(4h_0)\)，于是 \[\tag{C.3} Q_e=\frac{\omega_r}{2\gamma}=\frac{2h_0}{\pi\zeta}.\] 取 \(h_0\approx{54\,}\mathrm{km}\)，若用对流层的标高 \(\zeta=H={6\,}\mathrm{km}\) 粗略外推，\(Q_e\approx5.7\)。磁高度附近的感应电流损耗使 \(h_m\) 也带有虚部，两者合起来使实际的 \(Q_1\) 降到 4–5。这只是量级估计：中间层的电导率剖面并不是单一指数，需要用实测剖面数值计算。

附录 D 加权最小二乘、协方差与误差传递

拟合

数据 \((z_i,y_i)\)，\(y_i\) 的标准差 \(s_i\) 已知，模型 \(y=A+b(z-z_*)\)，\(z_*\) 是我们选的参考点。令 \(w_i=1/s_i^2\)，使 \[\chi^2=\sum_iw_i\left[y_i-A-b(z_i-z_*)\right]^2\] 最小。对 \(A\)、\(b\) 求偏导并令其为零（正规方程）： \begin{gather*} A\sum w_i+b\sum w_i(z_i-z_*)=\sum w_iy_i,\\ A\sum w_i(z_i-z_*)+b\sum w_i(z_i-z_*)^2\\ =\sum w_i(z_i-z_*)y_i . \end{gather*} 若取 \(z_*=\bar z\equiv\sum w_iz_i/\sum w_i\)（加权平均），则 \(\sum w_i(z_i-\bar z)=0\)，两个方程解耦： \begin{gather*} A=\frac{\sum w_iy_i}{\sum w_i},\\ b=\frac{\sum w_i(z_i-\bar z)y_i}{\sum w_i(z_i-\bar z)^2}.\tag{D.1} \end{gather*}

不确定度与协方差

\(A\)、\(b\) 都是 \(y_i\) 的线性组合 \(\sum c_iy_i\)，其方差为 \(\sum c_i^2s_i^2\)（各 \(y_i\) 独立）。代入得 \begin{gather*} \delta A^2=\frac{1}{\sum w_i},\qquad \delta b^2=\frac{1}{\sum w_i(z_i-\bar z)^2},\\ \operatorname{cov}(A,b)=\sum_i\frac{w_i}{\sum w}\cdot\frac{w_i(z_i-\bar z)}{\sum w(z-\bar z)^2}s_i^2=0 . \end{gather*} 以加权平均点为参考点时，截距与斜率不相关。若改用 \(z=0\) 处的截距 \(A_0=A-b\bar z\)，则 \(\delta A_0^2=\delta A^2+\bar z^2\delta b^2\)，\(\operatorname{cov}(A_0,b)=-\bar z\,\delta b^2\)：\(\bar z\) 越远离 0，相关越强（实验题中相关系数为 \(-0.90\)）。

误差传递

对函数 \(f(A,b)\)，一阶泰勒展开 \(\delta f=f_A\delta A+f_b\delta b\)，取平方的平均： \[\sigma_f^2=f_A^2\delta A^2+f_b^2\delta b^2+2f_Af_b\operatorname{cov}(A,b).\] 用不相关的参数（\(A\)、\(b\)）计算时最后一项为零，这正是选 \(\bar z\) 为参考点的好处。

拟合优度

若模型正确、\(s_i\) 估计正确，\(\chi^2_{\min}\) 的期望值为自由度 \(\nu=N-2\)，标准差约 \(\sqrt{2\nu}\)。\(\chi^2/\nu\) 远大于 1 说明模型不对或误差被低估；远小于 1 说明误差被高估。

附录 E 名词解释