1. 弯曲后，梁段的两个端面延长后交于曲率中心 \(O\)，夹角为 \(\dd\varphi\)。凸侧的纤维被拉长、凹侧的被压短；由连续性，中间必有一层纤维长度不变，称为中性层，其曲率半径记为 \(\varrho\)。中性层上这段梁的长度为 \(\varrho\,\dd\varphi\)，等于变形前的原长。

2. 取一根位于中性层凸侧、距中性层 \(y\) 的纤维，它是半径 \(\varrho+y\) 的圆弧，长度 \((\varrho+y)\dd\varphi\)；变形前它与中性层纤维一样长。

3. 由线应变定义： \[\tag{4.2} \varepsilon(y)=\frac{(\varrho+y)\dd\varphi-\varrho\,\dd\varphi}{\varrho\,\dd\varphi}=\frac{y}{\varrho}.\] \(y<0\)（凹侧）时 \(\varepsilon<0\)，即压缩。

4. 由式 (4.1)，正应力 \(\sigma(y)=Ey/\varrho\)，沿厚度线性分布（图 3b）。

1. 合力为零。纯弯曲的截面上没有轴向外力，故 \(\int\sigma\,\dd A=\frac{E}{\varrho}\int y\,\dd A=0\)。这说明 \(\int y\,\dd A=0\)：\(y\) 从截面的形心量起，即中性层通过截面形心。矩形截面的形心在厚度正中，所以 \(y\in[-h/2,\,h/2]\)。

2. 合力矩等于弯矩。截面上应力对中性轴的力矩之和就是该截面传递的弯矩 \[\tag{4.3} M=\int \sigma\, y\,\dd A=\frac{E}{\varrho}\int y^2\,\dd A\equiv\frac{EI}{\varrho},\qquad I\equiv\int y^2\,\dd A .\] \(I\) 称为截面的惯性矩（截面二次矩），它只取决于截面形状。\(EI\) 称为抗弯刚度。

3. 矩形截面的 \(I\)。取高 \(\dd y\)、宽 \(w\) 的窄条，\(\dd A=w\,\dd y\)： \[\tag{4.4} I=\int_{-h/2}^{h/2}y^2\,w\,\dd y=w\left[\frac{y^3}{3}\right]_{-h/2}^{h/2}=\frac{wh^3}{12}.\]

单位体积弹性能 \(\tfrac12E\varepsilon^2=\tfrac12E y^2/\varrho^2\)。对长 \(\dd x\) 的梁段在截面上积分： \[\tag{4.5} \dd U=\dd x\int\frac{E y^2}{2\varrho^2}\,\dd A=\frac{EI}{2\varrho^2}\,\dd x .\] 这一结果第 5.3 节的能量法要用。

1. 挠度曲线 \(u(x)\) 在 \(x\) 处的切线与 \(x\) 轴夹角 \(\theta=\arctan u'\)（撇号表示对 \(x\) 求导）。

2. 曲率的定义是切线方向角对弧长的变化率：\(1/\varrho=\dd\theta/\dd s\)，弧长元 \(\dd s=\sqrt{1+u'^2}\,\dd x\)。

3. 求导：\(\dd\theta/\dd x=u''/(1+u'^2)\)，于是 \[\tag{4.6} \frac1\varrho=\frac{\dd\theta/\dd x}{\dd s/\dd x}=\frac{u''}{(1+u'^2)^{3/2}}\approx u''\qquad(\abs{u'}\ll1).\] 小参量为 \(u'^2\)，舍去的是 \(\order{u'^2}\) 的相对修正。AFM 悬臂偏转通常小于 \(1\,\mu\mathrm{m}\)，而 \(L\sim100\,\mu\mathrm{m}\)，\(u'^2\lesssim 10^{-4}\)。

对图 4a 的微元，设单位长度横向外力为 \(p(x)\)（向上为正）。

1. 竖直方向合力为零：\(V(x+\dd x)-V(x)+p\,\dd x=0\)，即 \(\dv{V}{x}=-p\)。

2. 对微元左端面中点取矩，合力矩为零（逆时针为正）：\(M(x+\dd x)-M(x)+V(x+\dd x)\,\dd x+\order{\dd x^2}=0\)，其中 \(p\,\dd x\) 的力臂为 \(\dd x/2\)，只贡献二阶小量。于是 \[\tag{4.8} \dv{M}{x}=-V .\]

悬臂在 \(x=0\) 处固定（\(u=0\)，\(u'=0\)），自由端 \(x=L\) 受向上集中力 \(F\)，其余处 \(p=0\)。

1. 剪力。取 \([x,L]\) 段为研究对象：它受端部力 \(F\) 和左侧材料在截面 \(x\) 上施加的 \(-V(x)\)，竖直平衡给出 \(V(x)=F\)（与 \(x\) 无关）。

2. 弯矩。由式 (4.8) 积分并用自由端无力偶 \(M(L)=0\)：\(M(x)=F(L-x)\)。直接检验：\([x,L]\) 段对截面点的力矩平衡为 \(F(L-x)-M(x)=0\)。

3. 挠度。由式 (4.7)，\(EI\,u''=F(L-x)\)。积分一次并用 \(u'(0)=0\)：\(EI\,u'=F(Lx-x^2/2)\)；再积分并用 \(u(0)=0\)： \[\tag{4.9} u(x)=\frac{F x^2(3L-x)}{6EI}.\]

4. 端部挠度与刚度。令 \(x=L\)： \[\tag{4.10} \delta=u(L)=\frac{FL^3}{3EI},\qquad k\equiv\frac{F}{\delta}=\frac{3EI}{L^3}=\frac{Ewh^3}{4L^3}.\]

5. 端部倾角。\(\theta=u'(L)=FL^2/(2EI)\)，与 \(\delta\) 相比： \[\tag{4.11} \theta=\frac{3}{2}\,\frac{\delta}{L}.\]

以 \(u(x,t)\) 表示 \(t\) 时刻的挠度，\(\mu=\rho wh\) 为线密度，\(p(x,t)\) 为单位长度的横向外力。

1. 平动：微元质量 \(\mu\,\dd x\)，竖直方向的牛顿第二定律为 \(\mu\,\dd x\,\ddot u=V(x+\dd x)-V(x)+p\,\dd x\)，即 \[\tag{5.1} \mu\,\ddot u=\pdv{V}{x}+p .\]

2. 转动：按假设 (1)，微元转动惯量的贡献忽略，力矩平衡与静态相同，仍为式 (4.8)：\(V=-\partial M/\partial x\)。

3. 本构：\(M=EI\,\partial^2u/\partial x^2\)（式 (4.7)，均匀梁 \(EI\) 为常数）。

4. 依次代入：\(\partial V/\partial x=-\partial^2M/\partial x^2=-EI\,\partial^4u/\partial x^4\)，于是 \[\tag{5.2} EI\,\frac{\partial^4u}{\partial x^4}+\mu\,\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=p(x,t).\] 这就是欧拉–伯努利梁方程（文献中常写作 \(EIu''''+\rho A\ddot u=p\)，\(\rho A\) 即本讲的 \(\mu\)）。

1. 寻找所有点以同一频率、同一相位振动的解（简正模）：\(u(x,t)=\phi(x)\cos(\omega t+\alpha)\)。代入式 (5.2)（\(p=0\)），两边消去 \(\cos(\omega t+\alpha)\)： \[\tag{5.4} \phi''''=\beta^4\phi,\qquad \beta^4\equiv\frac{\mu\omega^2}{EI}.\] \(\beta\) 的单位是 m\(^{-1}\)，是振型在空间上的“波数”。

2. 这是常系数线性方程，试探 \(\phi=\ee^{rx}\) 得 \(r^4=\beta^4\)，四个根 \(r=\pm\beta,\ \pm\ii\beta\)。相应的实函数解为 \(\cos\beta x,\ \sin\beta x,\ \cosh\beta x,\ \sinh\beta x\)，通解是它们的线性组合。

3. 为了方便施加边界条件，把通解写成 \(\phi=a_1(\cosh\beta x+\cos\beta x)+a_2(\cosh\beta x-\cos\beta x)+a_3(\sinh\beta x+\sin\beta x)+a_4(\sinh\beta x-\sin\beta x)\)。在 \(x=0\) 处，四个组合的函数值依次为 \(2,0,0,0\)，一阶导数依次为 \(0,0,2\beta,0\)，所以 \(\phi(0)=2a_1\)、\(\phi'(0)=2\beta a_3\)。固定端条件 \(\phi(0)=\phi'(0)=0\) 给出 \(a_1=a_3=0\)，记 \(C_1=a_2\)、\(C_2=a_4\)： \[\tag{5.5} \phi(x)=C_1(\cosh\beta x-\cos\beta x)+C_2(\sinh\beta x-\sin\beta x).\]

记 \(\lambda\equiv\beta L\)，并简写 \(c=\cos\lambda,\ s=\sin\lambda,\ \mathrm{ch}=\cosh\lambda,\ \mathrm{sh}=\sinh\lambda\)。

1. 对式 (5.5) 求导： \begin{align*} \phi''&=\beta^2[C_1(\cosh\beta x+\cos\beta x)+C_2(\sinh\beta x+\sin\beta x)],\\ \phi'''&=\beta^3[C_1(\sinh\beta x-\sin\beta x)+C_2(\cosh\beta x+\cos\beta x)]. \end{align*}

2. 自由端条件 \(\phi''(L)=\phi'''(L)=0\) 给出关于 \((C_1,C_2)\) 的齐次线性方程组： \[\tag{5.6} \begin{pmatrix}\mathrm{ch}+c & \mathrm{sh}+s\\ \mathrm{sh}-s & \mathrm{ch}+c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}C_1\\C_2\end{pmatrix}=0 .\] 第一行来自 \(\phi''(L)=0\)，第二行来自 \(\phi'''(L)=0\)。

3. 非零解要求系数行列式为零： \((\mathrm{ch}+c)^2-(\mathrm{sh}+s)(\mathrm{sh}-s)=(\mathrm{ch}^2-\mathrm{sh}^2)+(c^2+s^2)+2c\,\mathrm{ch}=2+2c\,\mathrm{ch}\)，用了 \(\cosh^2-\sinh^2=1\)、\(\cos^2+\sin^2=1\)。于是 \[\tag{5.7} \boxed{\ \cos\lambda\,\cosh\lambda=-1\ }\]

4. 由第一行，\(C_2/C_1=-(\mathrm{ch}+c)/(\mathrm{sh}+s)\)，振型为 \[\tag{5.8} \phi_n(x)\propto(\cosh\beta_nx-\cos\beta_nx)-\sigma_n(\sinh\beta_nx-\sin\beta_nx),\qquad \sigma_n=\frac{\cos\lambda_n+\cosh\lambda_n}{\sin\lambda_n+\sinh\lambda_n}.\] 本讲把振型归一化为 \(\phi_n(L)=1\)（第 5.4 节将引入模态坐标 \(q_n\)，这一归一化使它恰为第 \(n\) 阶模在针尖处的位移）。

由 \(\beta^4=\mu\omega^2/(EI)\) 解出 \(\omega_n=\beta_n^2\sqrt{EI/\mu}=\dfrac{\lambda_n^2}{L^2}\sqrt{\dfrac{EI}{\mu}}\)。代入矩形截面 \(I/(wh)=h^2/12\)：\(\sqrt{EI/\mu}=\sqrt{E h^2/(12\rho)}=h\sqrt{E/\rho}/\sqrt{12}\)。于是 \[\tag{5.10} f_n=\frac{\omega_n}{2\pi}=\frac{\lambda_n^2}{2\pi\sqrt{12}}\,\frac{h}{L^2}\sqrt{\frac{E}{\rho}},\qquad f_1=0.1615\,\frac{h}{L^2}\sqrt{\frac{E}{\rho}} .\] 高阶模频率比 \(f_n/f_1=(\lambda_n/\lambda_1)^2=1,\ 6.267,\ 17.55,\ 34.39,\ \dots\)，不是整数倍。

1. 假设悬臂以一个固定形状振动：\(u(x,t)=\psi(x)\,q(t)\)，\(\psi(L)=1\)，于是 \(q\) 就是针尖位移。

2. 动能：\(K=\int_0^L\tfrac12\mu\,\dot u^2\,\dd x=\tfrac12\Big(\mu\!\int_0^L\!\psi^2\dd x\Big)\dot q^2\equiv\tfrac12 m_\psi\dot q^2\)。

3. 弯曲势能：由式 (4.5) 与 \(1/\varrho\approx u''\)，\(U=\int_0^L\tfrac12EI\,u''^2\dd x=\tfrac12\Big(EI\!\int_0^L\!\psi''^2\dd x\Big)q^2\equiv\tfrac12k_\psi q^2\)。

4. 这是一个质量 \(m_\psi\)、劲度 \(k_\psi\) 的谐振子，\(\omega^2\approx k_\psi/m_\psi\)： \[\tag{5.11} \omega_{\mathrm{R}}^2=\frac{EI\int_0^L\psi''^2\,\dd x}{\mu\int_0^L\psi^2\,\dd x}.\]

取式 (4.9) 归一化后的 \(\psi=(3\xi^2-\xi^3)/2\)，\(\xi=x/L\)。

1. \(\int_0^L\psi^2\dd x=\dfrac L4\int_0^1(9\xi^4-6\xi^5+\xi^6)\dd\xi=\dfrac L4\left(\dfrac95-1+\dfrac17\right)=\dfrac{33}{140}L\)。

2. \(\psi''=3(L-x)/L^3\)，\(\int_0^L\psi''^2\dd x=\dfrac{9}{L^6}\cdot\dfrac{L^3}{3}=\dfrac{3}{L^3}\)，所以 \(k_\psi=3EI/L^3=k\)——静挠度形状的弯曲能恰好是 \(\tfrac12k\delta^2\)，与“外力做功 \(\tfrac12F\delta\)”一致。

3. 于是 \(m_\psi=\tfrac{33}{140}m=0.2357\,m\)，且 \[\tag{5.12} \omega_{\mathrm R}^2=\frac{140}{33}\cdot\frac{3EI}{\mu L^4}=12.73\,\frac{EI}{\mu L^4},\qquad \frac{\omega_{\mathrm R}}{\omega_1}=\sqrt{\frac{12.727}{\lambda_1^4}}=\sqrt{\frac{12.727}{12.362}}=1.0147 .\]

在针尖处加质点 \(m_t\)。若振型几乎不变，动能多出 \(\tfrac12m_t\dot q^2\)，弹簧–质点模型给出 \[\tag{5.16} \omega^2\approx\frac{k}{m_{\mathrm{eff}}+m_t}\qquad\Longleftrightarrow\qquad\frac1{(2\pi f)^2}\approx\frac{m_t}{k}+\frac{m_{\mathrm{eff}}}{k}.\] 以 \((2\pi f)^{-2}\) 对 \(m_t\) 作图，斜率是 \(1/k\)、截距是 \(m_{\mathrm{eff}}/k\)：这就是 Cleveland 等人标定悬臂刚度的“附加质量法”[21]，也是第 10 节实验题的原理。附录 C 由精确频率方程表明，严格的等效质量随 \(m_t/m\) 从 0.243 缓慢降到 0.236，所以式 (5.16) 只是近似；在 \(0\le m_t\le m\) 范围内作线性拟合给出 \(m_{\mathrm{eff}}\approx0.242m\)，斜率给出的 \(k\) 偏差约 0.5%。

分子位于平板表面上方 \(Z\) 处。把平板切成平行于表面的薄层，深度坐标 \(\zeta\) 从分子量起，\(\zeta\in[Z,\infty)\)；每层再切成以分子正下方为圆心、半径 \(r\) 的细圆环，体积 \(2\pi r\,\dd r\,\dd\zeta\)，到分子的距离 \(\sqrt{\zeta^2+r^2}\)。

1. 对圆环求和：\(\displaystyle\int_0^\infty\frac{2\pi r\,\dd r}{(\zeta^2+r^2)^3}=\left[-\frac{\pi}{2(\zeta^2+r^2)^2}\right]_0^\infty=\frac{\pi}{2\zeta^4}\)。

2. 对薄层求和： \[\tag{6.2} w_{\mathrm{m}}(Z)=-Cn_2\int_Z^\infty\frac{\pi}{2\zeta^4}\,\dd\zeta=-\frac{\pi Cn_2}{6Z^3}.\]

衰减从单个分子的 \(r^{-6}\) 变成 \(Z^{-3}\)：平板中离分子越远的部分体积越大，部分抵消了衰减。

半径 \(R\) 的球（分子数密度 \(n_1\)），最低点距平板 \(z\)。把球切成平行于平板的薄片，薄片到平板的距离为 \(s\in[z,\,z+2R]\)。

1. 薄片半径 \(\varrho_s\) 满足 \(\varrho_s^2=R^2-(R-(s-z))^2=2R(s-z)-(s-z)^2\)。\(z\ll R\) 时相互作用集中在 \(s-z\ll R\) 的球冠底部，取 \(\varrho_s^2\approx 2R(s-z)\)，即舍去 \(-(s-z)^2\) 项；它对远处薄片才重要，下一步讨论其影响。

2. 薄片内的每个分子与平板的作用能都是 \(w_{\mathrm m}(s)\)，薄片的分子数 \(n_1\pi\varrho_s^2\,\dd s\)： \[V(z)\approx\int_z^\infty n_1\cdot 2\pi R(s-z)\cdot\left(-\frac{\pi Cn_2}{6s^3}\right)\dd s .\] （上限也改成了 \(\infty\)。）误差：对力 \(F=-\dd V/\dd z\)，这两处近似舍去的是 \(\order{z/R}\) 的相对修正；但对能量 \(V\)，被舍去的 \(-(s-z)^2/s^3\sim-1/s\) 积分后按对数增长，主项修正为 \((z/R)\ln(2R/z)\)（按此式 \(z/R=0.05\) 时为 18%）；附录 B 的精确式给出 \(z/R=0.05\) 时比值 0.839（差 16%，含次级项 \(+z/2R\)），\(z/R=0.0165\) 时 0.93（差 7%）。因此 \(F=-HR/6z^2\) 在 \(z\ll R\) 时可靠，而 \(V=-HR/6z\) 只是较粗的近似。

3. 积分 \(\displaystyle\int_z^\infty\frac{s-z}{s^3}\,\dd s=\frac1z-\frac{z}{2z^2}=\frac1{2z}\)，得 \[\tag{6.3} V(z)=-\frac{HR}{6z},\qquad F(z)=-\dv{V}{z}=-\frac{HR}{6z^2},\qquad H\equiv\pi^2Cn_1n_2 .\]

不作 \(z\ll R\) 近似的精确结果见附录 B。

两块半无限平板相距 \(Z\)。对式 (6.2) 再对第二块板的分子求和：单位面积的作用能 \[\tag{6.5} W(Z)=\int_Z^\infty n_1\left(-\frac{\pi Cn_2}{6\zeta^3}\right)\dd\zeta=-\frac{H}{12\pi Z^2}.\] 把“接触”定义为两表面相距一个原子间距量级的截断距离 \(a_0\)，则把两板从接触拉开到无穷远需做功 \(\abs{W(a_0)}=H/(12\pi a_0^2)\)（单位面积），称为粘附功。Israelachvili 指出，取“普适”截断 \(a_0\approx{0.165\,}\mathrm{nm}\) 时，\(H/(24\pi a_0^2)\) 与大量材料实测的表面能吻合[22]。

1. 准静态下（\(z_0\) 变化远慢于悬臂周期），针尖坐标 \(z\) 是唯一的力学自由度，系统势能为悬臂弹性能与相互作用能之和： \[\tag{6.7} U(z;z_0)=\tfrac12k(z-z_0)^2+V(z).\]

2. 平衡：\(\partial U/\partial z=k(z-z_0)-F(z)=0\)，即 \[\tag{6.8} F(z)=k(z-z_0).\]

3. 稳定：平衡点必须是 \(U\) 的极小，\(\partial^2U/\partial z^2=k-F'(z)>0\)： \[\tag{6.9} k>F'(z)\equiv\dv{F}{z}.\]

临界状态由“相交且相切”两个条件确定：

1. 相切（斜率相等）：\(F'(z^*)=k\)。对 \(F=-HR/(6z^2)\)，\(F'=HR/(3z^3)\)，所以 \(z^*=(HR/3k)^{1/3}\)。

2. 相交：\(z_0^*=z^*-F(z^*)/k=z^*+\dfrac{HR}{6kz^{*2}}\)。由第 1 步 \(HR/k=3z^{*3}\)，第二项等于 \(z^*/2\)： \[\tag{6.10} z^*=\left(\frac{HR}{3k}\right)^{1/3},\qquad z_0^*=\frac32\,z^*=\frac32\left(\frac{HR}{3k}\right)^{1/3}.\]

3. 跳触前一瞬间悬臂已被吸下 \(z_0^*-z^*=z^*/2\)，力为 \(F(z^*)=-kz^*/2\)。

回撤时 \(z_0\) 增大，针尖先留在接触区（这一支 \(F'<0\)，始终稳定）。

1. 随着悬臂向上拉，针尖逐渐“卸载”，间隙 \(z\) 增大到 \(a_0\) 时力达到最负值 \(-F_{\mathrm{ad}}\)。

2. 刚越过 \(a_0\)，\(F'=HR/(3a_0^3)\) 远大于 \(k\)，稳定性条件被破坏，针尖立即弹离。由平衡条件 \(-F_{\mathrm{ad}}=k(a_0-z_0)\)： \[\tag{6.11} z_0^{\mathrm{off}}=a_0+\frac{F_{\mathrm{ad}}}{k},\qquad F_{\mathrm{ad}}=\frac{HR}{6a_0^2}.\]

3. 脱离前悬臂读到的力就是 \(-F_{\mathrm{ad}}\)。实验中由此可以测出粘附功 \(\abs{W}=F_{\mathrm{ad}}/(2\pi R)\)，这是 AFM “力谱”测量表面能的原理。

1. 设针尖位置为 \(z=z_c+q(t)\)，\(z_c\) 为平衡位置（满足 \(F(z_c)=k(z_c-z_0)\)）。单模运动方程（阻尼被自激电路补偿，略去）：\(m\ddot q=-k(z_c+q-z_0)+F(z_c+q)\)。

2. 把 \(F\) 在 \(z_c\) 处展开到一阶：\(F(z_c+q)=F(z_c)+F'(z_c)q+\order{q^2}\)。零阶项与 \(-k(z_c-z_0)\) 抵消（平衡条件），剩下 \[\tag{7.4} m\ddot q=-\big(k-F'(z_c)\big)q,\qquad k_{\mathrm{eff}}=k-F' .\]

3. 新的固有频率 \(f=\tfrac1{2\pi}\sqrt{(k-F')/m}=f_0\sqrt{1-F'/k}\)。对小量 \(F'/k\) 作泰勒展开，\(\sqrt{1-\epsilon}=1-\epsilon/2+\order{\epsilon^2}\)： \[\tag{7.5} \boxed{\ \Delta f\equiv f-f_0\approx-\frac{f_0}{2k}\,F'(z_c)\ }\]

1. 去掉被补偿的阻尼与驱动后，\(m\ddot q+kq=F(z_c+q)-F(z_c)\)。（减去常数 \(F(z_c)\) 只是把平衡位置定在 \(z_c\)，不影响下面的投影，因为 \(\int_0^{2\pi}\cos\theta\,\dd\theta=0\)。）

2. 代入 \(q=A\cos\theta\)，\(\theta=\omega t\)：\((k-m\omega^2)A\cos\theta=F(z_c+A\cos\theta)-F(z_c)\)。

3. 正弦试探解不能精确满足方程：右端 \(F(z_c+A\cos\theta)\) 作为 \(\theta\) 的周期函数含有 \(\cos n\theta\) 各次谐波（\(F\) 是偶函数 \(\cos\theta\) 的函数，不含 \(\sin n\theta\)）。\(n\ge2\) 的谐波以 \(n\omega\) 驱动振子，远离共振，只产生相对大小 \(\sim\abs{F}/(kA)\) 的小畸变；只有一次谐波与振子共振，若它不为零就会使振幅不断增长或改变振荡频率——自洽的稳态要求一次谐波的残差为零。取出一次谐波，就是等式两边乘 \(\cos\theta\) 并对一个周期积分（“投影到 \(\cos\theta\) 上”），用 \(\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,\dd\theta=\pi\)： \[(k-m\omega^2)\pi A=\int_0^{2\pi}F(z_c+A\cos\theta)\cos\theta\,\dd\theta\equiv I(z_c,A).\]

4. 解出 \(\omega^2=\omega_0^2-I/(\pi mA)\)，再按 \(\abs{\Delta\omega}\ll\omega_0\) 展开 \(\omega\approx\omega_0-I/(2\pi m\omega_0A)\)： \[\tag{7.6} \frac{\Delta f}{f_0}=-\frac{1}{2\pi kA}\int_0^{2\pi}F(z_c+A\cos\theta)\cos\theta\,\dd\theta .\]

1. 换元 \(s=\cos\theta\)。\(\theta\in[0,\pi]\) 与 \([\pi,2\pi]\) 两段贡献相同，\(\dd\theta=-\dd s/\sqrt{1-s^2}\)：\(I=2\int_{-1}^{1}F(z_c+As)\,\dfrac{s}{\sqrt{1-s^2}}\,\dd s\)。

2. 注意 \(s/\sqrt{1-s^2}=-\dd\sqrt{1-s^2}/\dd s\)，分部积分；边界项含 \(\sqrt{1-s^2}\big|_{\pm1}=0\)： \[I=2\int_{-1}^{1}A\,F'(z_c+As)\sqrt{1-s^2}\,\dd s .\]

3. 代回式 (7.6)： \[\tag{7.7} \Delta f=-\frac{f_0}{2k}\,\avg{F'},\qquad \avg{F'}\equiv\int_{-1}^{1}F'(z_c+As)\,\frac{2}{\pi}\sqrt{1-s^2}\,\dd s .\] 权重 \(\tfrac2\pi\sqrt{1-s^2}\) 是归一化的半圆（\(\int_{-1}^1\tfrac2\pi\sqrt{1-s^2}\,\dd s=1\)）。这一形式由 Giessibl 给出[2]。

1. 驱动频率 \(\omega_{\mathrm d}\) 固定。由式 (7.4)，力梯度把共振频率移到 \(\omega_0'\approx\omega_0(1-F'/2k)\)，即 \(\delta\omega_0=-\omega_0F'/(2k)\)。

2. 由式 (7.3)，\(A\) 只依赖于 \(\eta=2Q(\omega_{\mathrm d}-\omega_0)/\omega_0\)。\(\omega_0\) 变化 \(\delta\omega_0\) 相当于 \(\eta\) 变化 \(\delta\eta=-2Q\,\delta\omega_0/\omega_0=QF'/k\)。

3. 一阶近似 \(\delta A\approx(\dd A/\dd\eta)\,\delta\eta\)。\(\dd A/\dd\eta=-A_{\max}\eta/(1+\eta^2)^{3/2}\)，令其导数为零得斜率最大处 \(\eta=\pm1/\sqrt2\)，最大斜率 \(\abs{\dd A/\dd\eta}_{\max}=A_{\max}\cdot\dfrac{1/\sqrt2}{(3/2)^{3/2}}=\dfrac{2}{3\sqrt3}A_{\max}\)。

4. 于是在最大斜率处驱动（\(\omega_{\mathrm d}=\omega_0[1\pm1/(\sqrt8\,Q)]\)）时 \[\tag{7.9} \abs{\delta A}\approx\frac{2Q}{3\sqrt3}\,A_{\max}\,\frac{\abs{F'}}{k}.\]

1. 由式 (5.14)，悬臂的能量是各阶模能量之和 \(\sum_n(\tfrac12m_n\dot q_n^2+\tfrac12k_nq_n^2)\)，没有交叉项。玻尔兹曼因子因而分解为各模因子之积：各 \(q_n\) 统计独立，\(\avg{q_mq_n}=0\)（\(m\ne n\)）。

2. 对每个模用式 (8.1)：\(\avg{q_n^2}=\kB T/k_n\)。

3. 针尖位移 \(u(L)=\sum_nq_n\)（\(\phi_n(L)=1\)），其均方值 \(\avg{u(L)^2}=\sum_n\avg{q_n^2}\)（交叉项为零），再用柔度求和规则式 (5.15)： \[\tag{8.2} \avg{u(L)^2}=\kB T\sum_n\frac1{k_n}=\frac{\kB T}{k},\qquad \avg{q_1^2}=\frac{\kB T}{k_1}=0.971\,\frac{\kB T}{k}.\]

线性系统对频率 \(f\) 的正弦输入 \(F_0\cos(2\pi ft)\) 给出稳态输出 \(\abs{\chi(f)}F_0\cos(2\pi ft+\arg\chi)\)，\(\chi(f)\) 称为响应函数。对谐振子，由式 (7.2)， \[\tag{8.4} \chi(f)=\frac{1}{k-m\omega^2+\ii b\omega},\qquad\omega=2\pi f .\] 把随机输入 \(F(t)\) 分解到许多窄频带，每个窄带内的信号近似是频率为 \(f\)、振幅与相位缓慢随机变化的正弦波；线性系统把这个窄带的振幅乘以 \(\abs{\chi(f)}\)，均方值乘以 \(\abs{\chi(f)}^2\)。由式 (8.3)， \[\tag{8.5} S_x(f)=\abs{\chi(f)}^2\,S_F(f).\] （不同频带的分量互不相关，所以只需逐带相乘，不必考虑交叉项。）

1. 由式 (8.5)，\(\avg{q^2}=\int_0^\infty S_F\abs{\chi}^2\dd f=S_F\int_0^\infty\dfrac{\dd f}{(k-m\omega^2)^2+b^2\omega^2}\)。

2. 附录 D 计算这个积分：\(\int_0^\infty\dfrac{\dd f}{(k-m\omega^2)^2+b^2\omega^2}=\dfrac{1}{4bk}\)。于是 \(\avg{q^2}=S_F/(4bk)\)。

3. 热平衡时能量均分要求 \(\avg{q^2}=\kB T/k\)。两式相等： \[\tag{8.7} \boxed{\ S_F=4\kB T\,b\ }\]

把式 (8.7) 代入式 (8.5)，并用 \(b=m\omega_0/Q=k/(\omega_0Q)\) 改写： \[\tag{8.8} S_x(f)=\frac{4\kB T}{k\omega_0Q}\cdot\frac{1}{\left(1-f^2/f_0^2\right)^2+\left(f/f_0Q\right)^2}.\]

• 低频（\(f\ll f_0\)）：\(S_x(0)=4\kB T/(k\omega_0Q)\)，白噪声台阶；高频（\(f\gg f_0\)）：\(S_x\propto f^{-4}\)。

• 共振峰：\(S_x(f_0)=4\kB TQ/(k\omega_0)\)，比台阶高 \(Q^2\) 倍（图 9a）。

• 洛伦兹近似：在 \(\abs{f-f_0}\ll f_0\) 处，与式 (7.3) 同样展开得 \[\tag{8.9} S_x(f)\approx\frac{S_x(f_0)}{1+4Q^2(f-f_0)^2/f_0^2},\qquad\text{半高全宽 }\Gamma=\frac{f_0}{Q}.\] 其下面积 \(\tfrac\pi2S_x(f_0)\Gamma=\tfrac\pi2\cdot\tfrac{4\kB TQ}{k\cdot2\pi f_0}\cdot\tfrac{f_0}{Q}=\kB T/k\)，与能量均分精确一致（不仅是近似）。

1. 直接测针尖位移（如干涉仪对准针尖）：一阶峰给出 \(\avg{q_1^2}=\kB T/k_1\)，于是先得到模态刚度 \(k_1\)，再换算 \(k=k_1/1.030=0.971\,\kB T/\avg{q_1^2}\)[28], [29]。

2. 光杠杆：测的是端部倾角 \(u'(L)\)。第 1 步的标定用的是静挠度形状，即把读数解释为“虚拟挠度” \(\delta^*\equiv\tfrac{2L}{3}u'(L)\)（由式 (4.11)；Butt–Jaschke 等文献记作 \(z^*\)）。对一阶模，\(u'(L)=q_1\phi_1'(L)\)，而 \(L\phi_1'(L)=1.3765\)（附录 E），所以 \(\delta_1^*=\tfrac23\times1.3765\,q_1=0.9177\,q_1\)：一阶模的倾角比“同样挠度的静态形状”小。于是 \[\tag{8.10} \avg{\delta_1^{*2}}=0.8422\,\avg{q_1^2}=0.8422\,\frac{\kB T}{k_1}=0.8174\,\frac{\kB T}{k}\quad\Longrightarrow\quad k=0.817\,\frac{\kB T}{\avg{\delta_1^{*2}}}.\] 若误用 \(k=\kB T/\avg{\delta_1^{*2}}\)，会把 \(k\) 高估 22%。这一修正由 Butt 与 Jaschke 系统分析[30]：他们给出所有模之和 \(\avg{\delta^{*2}}=4\kB T/3k\)，一阶模的因子 0.817 也见于该分析的模态分解，并为后来的标定文献普遍采用[31]（本讲在附录 E 独立算得 0.81743）。

在带宽 \(B\) 内（\(B\ll f_0\)，即低频的白噪声台阶），热力的均方根为 \(\delta F_{\min}=\sqrt{S_FB}\)： \[\tag{8.11} \delta F_{\min}=\sqrt{4\kB T\,b\,B}=\sqrt{\frac{4k\kB TB}{\omega_0Q}}=\sqrt{\frac{4\kB T\sqrt{km_{\mathrm{eff}}}\,B}{Q}} .\] 最后一步用了 \(b=m_{\mathrm{eff}}\omega_0/Q=\sqrt{km_{\mathrm{eff}}}/Q\)。设计启示：要测小力，就要让 \(\sqrt{km_{\mathrm{eff}}}/Q\) 小——软、轻、高 \(Q\)。

自激振荡的悬臂以振幅 \(A\) 振动，热力中与位移同相（与速度正交）的分量随机地推前或拖后振动相位，使测得的频率在测量带宽 \(B\) 内有均方根涨落 \(\delta f\)。附录 D 用慢变振幅–相位方程推出 \[\tag{8.12} \frac{\delta f}{f_0}=\sqrt{\frac{\kB T\,B}{\pi kA^2f_0Q}},\qquad \delta F'_{\min}=\frac{2k\,\delta f}{f_0}=\sqrt{\frac{4k\kB TB}{\omega_0Q\avg{q_{\mathrm{osc}}^2}}},\quad \avg{q_{\mathrm{osc}}^2}=\frac{A^2}{2},\] 这正是 Albrecht 等人 1991 年的结果[2], [7]；其中 \(B\) 为频率检测的单边带宽（第 7 节的前置知识），\(A\) 为峰值振幅。第二式由式 (7.5) 把频率噪声换算成力梯度噪声。

1. 对 \(\int_0^L\phi_m\phi_n''''\dd x\) 分部积分两次： \(\int_0^L\phi_m\phi_n''''\dd x=\big[\phi_m\phi_n'''-\phi_m'\phi_n''\big]_0^L+\int_0^L\phi_m''\phi_n''\dd x\)。

2. 边界项：\(x=0\) 处 \(\phi_m=\phi_m'=0\)；\(x=L\) 处 \(\phi_n''=\phi_n'''=0\)。全部为零。

3. 用 \(\phi_n''''=\beta_n^4\phi_n\)：\(\beta_n^4\int\phi_m\phi_n\dd x=\int\phi_m''\phi_n''\dd x\)。右端对 \(m,n\) 对称，交换 \(m,n\) 后相减：\((\beta_n^4-\beta_m^4)\int\phi_m\phi_n\dd x=0\)。

4. \(m\ne n\) 时 \(\beta_n\ne\beta_m\)，故 \(\int\phi_m\phi_n\dd x=0\)，进而 \(\int\phi_m''\phi_n''\dd x=0\)。取 \(m=n\) 得 \(\int\phi_n''^2\dd x=\beta_n^4\int\phi_n^2\dd x\)，即 \(k_n=EI\int\phi_n''^2=\beta_n^4EI\int\phi_n^2=\omega_n^2m_n\)。

对满足 \(\phi''''=\beta^4\phi\) 的任意函数，定义 \[G(x)=\frac{1}{4\beta^4}\Big[x\big(\beta^4\phi^2-2\phi'\phi'''+\phi''^2\big)+3\phi\phi'''-\phi'\phi''\Big].\]

1. 求导：\(x\) 前括号的导数为 \(2\beta^4\phi\phi'-2\phi''\phi'''-2\phi'\phi''''+2\phi''\phi'''=2\beta^4\phi\phi'-2\beta^4\phi'\phi=0\)。

2. 其余项的导数：\((\beta^4\phi^2-2\phi'\phi'''+\phi''^2)+(3\phi'\phi'''+3\phi\phi'''')-(\phi''^2+\phi'\phi''')=\beta^4\phi^2+3\beta^4\phi^2=4\beta^4\phi^2\)。

3. 所以 \(G'=\phi^2\)。边界值：\(x=0\) 处 \(\phi=\phi'=0\)，\(G(0)=0\)；\(x=L\) 处 \(\phi''=\phi'''=0\)，\(G(L)=L\phi(L)^2/4\)。

于是 \(\int_0^L\phi_n^2\dd x=G(L)-G(0)=L\phi_n(L)^2/4\)，自由端归一时 \(m_n=\mu L/4=m/4\)，对所有 \(n\) 成立。（verify_sympy.py 符号核对了 \(G'=\phi^2\)。）

1. 静态时针尖受力 \(F\)。把挠度展开为 \(u=\sum_na_n\phi_n\)，由正交性弯曲能为 \(\sum\tfrac12k_na_n^2\)；外力做功（势能 \(-Fu(L)\)）为 \(-F\sum a_n\)。

2. 总势能 \(\Pi=\sum_n(\tfrac12k_na_n^2-Fa_n)\)。平衡态使 \(\Pi\) 极小（最小势能原理：静平衡位置是总势能——弹性能加外力势能——的极小，是单自由度条件 \(\partial U/\partial z=0\)、\(\partial^2U/\partial z^2>0\) 的多自由度推广），对每个 \(a_n\) 独立求极小：\(a_n=F/k_n\)。

3. 针尖位移 \(u(L)=\sum a_n=F\sum1/k_n\)；而静力学给出 \(u(L)=F/k\)。比较得 \(1/k=\sum_n1/k_n\)，即 \(\sum_n12/\lambda_n^4=1\)。数值：前 4 项之和 0.99938，其余项用 \(\lambda_n\approx(n-\tfrac12)\pi\) 求和补足 \(6.2\times10^{-4}\)，合计 1.00000。

把试探函数展开 \(\psi=\sum_na_n\phi_n\)，由正交性 \[\omega_{\mathrm R}^2=\frac{EI\int\psi''^2}{\mu\int\psi^2}=\frac{\sum_na_n^2k_n}{\sum_na_n^2m_n}=\frac{\sum_na_n^2m_n\omega_n^2}{\sum_na_n^2m_n}\ge\omega_1^2,\] 因为它是 \(\omega_n^2\) 以正权重 \(a_n^2m_n\) 的加权平均，而 \(\omega_n\ge\omega_1\)。若 \(\psi=\phi_1+\epsilon\,\Delta\psi\)（\(\Delta\psi\) 为某个偏差形状），\(\omega_{\mathrm R}^2-\omega_1^2=\order{\epsilon^2}\)：频率误差是形状误差的二阶小量。

不作 \(z\ll R\) 近似，薄片面积 \(\pi[2R(s-z)-(s-z)^2]\)，\(s\in[z,z+2R]\)： \[V(z)=-\frac{\pi^2Cn_1n_2}{6}\int_z^{z+2R}\frac{2R(s-z)-(s-z)^2}{s^3}\,\dd s .\] 令 \(\tau=s-z\) 展开被积函数的分子 \(2R\tau-\tau^2=-s^2+2(R+z)s-z(2R+z)\)，逐项积分： \[\tag{B.1} V(z)=-\frac H6\left[\frac Rz+\frac R{z+2R}+\ln\frac{z}{z+2R}\right].\]

• \(z\ll R\)：展开得 \(V=-\dfrac{HR}{6z}\left[1-\dfrac zR\ln\dfrac{2R}{z}+\dfrac{z}{2R}+\order{\dfrac{z^2}{R^2}}\right]\)，主项与式 (6.3) 一致，但相对修正是 \((z/R)\ln(2R/z)\) 而不是 \(z/R\)：\(R={10\,}\mathrm{nm}\) 时，\(z={0.5\,}\mathrm{nm}\) 处 \(V_{\text{精确}}/V_{\text{近似}}=0.839\)，\(z=a_0={0.165\,}\mathrm{nm}\) 处为 0.93。对力求导后对数项的贡献降为 \(\order{z/R}\)：\(F=-\dfrac{HR}{6z^2}\left[1-\dfrac zR+\order{z^2/R^2}\right]\)（\(z={0.5\,}\mathrm{nm}\) 处约 5%）。

• \(z\gg R\)：把方括号按 \(R/z\) 展开，\(1/z^0\)、\(1/z\)、\(1/z^2\) 阶相消，首项为 \(\tfrac43(R/z)^3\)，于是 \(V\to-\dfrac{2HR^3}{9z^3}\)。这等于“球内分子数 \(\tfrac43\pi R^3n_1\) 乘以单分子–平板势 \(-\pi Cn_2/(6z^3)\)”，符合远场图像。

（两条极限与式 (B.1) 本身均由 verify_sympy.py 符号核对。）

令 \(v=\tan^2\vartheta\)，\(\dd v=2\tan\vartheta\sec^2\vartheta\,\dd\vartheta\)，\(1+v=\sec^2\vartheta\)： \[\int_0^{\pi/2}\frac{\tan\vartheta\cdot2\tan\vartheta\sec^2\vartheta}{\sec^6\vartheta}\dd\vartheta=2\int_0^{\pi/2}\sin^2\vartheta\cos^2\vartheta\,\dd\vartheta=\frac12\int_0^{\pi/2}\sin^22\vartheta\,\dd\vartheta=\frac\pi8 .\]

自由端粘有质点 \(m_t=\alpha m\)（不计其转动惯量）。

1. 边界条件：\(x=L\) 处弯矩仍为零，\(\phi''(L)=0\)；质点的牛顿第二定律 \(m_t\ddot u(L)=-V(L)=EIu'''(L)\)，代入 \(u=\phi\cos\omega t\) 并用 \(\omega^2=\beta^4EI/\mu\)、\(m_t/\mu=\alpha L\)： \[\phi'''(L)=-\frac{m_t\omega^2}{EI}\phi(L)=-\alpha L\beta^4\phi(L).\]

2. 代入式 (5.5)，除以 \(\beta^3\)，第二行变为 \(C_1[(\mathrm{sh}-s)+\alpha\lambda(\mathrm{ch}-c)]+C_2[(\mathrm{ch}+c)+\alpha\lambda(\mathrm{sh}-s)]=0\)，第一行不变。

3. 行列式：\((\mathrm{ch}+c)^2-(\mathrm{sh}+s)(\mathrm{sh}-s)+\alpha\lambda\big[(\mathrm{ch}+c)(\mathrm{sh}-s)-(\mathrm{sh}+s)(\mathrm{ch}-c)\big]\)。前两项同正文为 \(2+2c\,\mathrm{ch}\)；方括号展开后 \(\mathrm{ch\,sh}\) 与 \(cs\) 项相消，剩 \(2(c\,\mathrm{sh}-s\,\mathrm{ch})\)。于是 \[\tag{C.1} 1+\cos\lambda\cosh\lambda+\alpha\lambda\left(\cos\lambda\sinh\lambda-\sin\lambda\cosh\lambda\right)=0 .\]

4. 极限：\(\alpha=0\) 回到式 (5.7)。\(\alpha\to\infty\) 时 \(\lambda\to0\)，展开 \(1+\cos\lambda\cosh\lambda=2-\lambda^4/6+\cdots\)、\(\cos\lambda\sinh\lambda-\sin\lambda\cosh\lambda=-\tfrac23\lambda^3+\cdots\)，主项给出 \(\lambda^4=3/\alpha\)，即 \(\omega^2=k/m_t\)。

记 \(\gamma=b/m\)，\(\abs\chi^2=\dfrac{1}{m^2\mathcal D(\omega)}\)，\(\mathcal D=(\omega^2-\omega_0^2)^2+\gamma^2\omega^2\)。求 \(J=\int_0^\infty\dd\omega/\mathcal D\)。

1. 换元 \(\omega\to\omega_0^2/\omega\)：\(\dd\omega\to-(\omega_0^2/\omega^2)\dd\omega\)，\(\mathcal D\to(\omega_0^4/\omega^4)\mathcal D\)，上下限互换，得 \(J=\dfrac1{\omega_0^2}\int_0^\infty\dfrac{\omega^2\dd\omega}{\mathcal D}\)。于是 \(2J=\int_0^\infty\dfrac{(1+\omega^2/\omega_0^2)\dd\omega}{\mathcal D}\)。

2. 再令 \(t=\omega-\omega_0^2/\omega\)，\(\dd t=(1+\omega_0^2/\omega^2)\dd\omega\)，\(\omega\) 从 0 到 \(\infty\) 时 \(t\) 单调地从 \(-\infty\) 到 \(\infty\)。注意 \(\mathcal D/\omega^2=t^2+\gamma^2\)，被积式 \(\dfrac{(1+\omega^2/\omega_0^2)\dd\omega}{\mathcal D}=\dfrac{\omega^2}{\omega_0^2}\cdot\dfrac{\dd t}{\mathcal D}=\dfrac{1}{\omega_0^2}\cdot\dfrac{\dd t}{t^2+\gamma^2}\)。

3. \(2J=\dfrac1{\omega_0^2}\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\dd t}{t^2+\gamma^2}=\dfrac{\pi}{\omega_0^2\gamma}\)，\(J=\dfrac{\pi}{2\omega_0^2\gamma}\)。

4. 换回 \(f\)：\(\int_0^\infty\abs\chi^2\dd f=\dfrac{1}{2\pi m^2}J=\dfrac{1}{4m^2\omega_0^2\gamma}=\dfrac1{4bk}\)。这是精确结果，不需要高 \(Q\) 近似。

1. 振幅–相位变量。悬臂方程写成 \(m\ddot q+kq=G(t)\)，\(G\) 包括阻尼、自激驱动与热力。令 \(q=A(t)\cos\Theta\)，\(\Theta=\omega_0t+\varphi(t)\)，并要求 \(\dot q=-A\omega_0\sin\Theta\)（“常数变易法”的附加条件 \(\dot A\cos\Theta-A\dot\varphi\sin\Theta=0\)）。代入方程得 \(-\dot A\omega_0\sin\Theta-A\omega_0\dot\varphi\cos\Theta=G/m\)。两式联立解出 \[\dot A=-\frac{G\sin\Theta}{m\omega_0},\qquad \dot\varphi=-\frac{G\cos\Theta}{m\omega_0A}.\] 这是精确的；\(A,\varphi\) 变化慢（时间尺度 \(\sim Q/\omega_0\) 或 \(1/B\)），可以对一个周期平均。

2. 驱动不影响相位。自激电路的驱动力与速度同相，\(\propto\sin\Theta\)；阻尼 \(-b\dot q\propto\sin\Theta\) 也一样。它们只进入 \(\dot A\)（并在平均意义上相互抵消，维持恒定振幅），对 \(\dot\varphi\) 的周期平均为零。频率的变化 \(\delta\omega=\dot\varphi\) 只来自热力。

3. 热力的正交分解。热力中只有 \(f_0\) 附近一个窄带（宽 \(\Delta_W\)，\(B\ll\Delta_W\ll f_0\)）能显著影响慢变的 \(A\)、\(\varphi\)；其余频率的分量在周期平均中消失。把这一窄带写成许多随机相位正弦的叠加 \(F_{\mathrm{th}}=\sum_ja_j\cos[(\omega_0+\delta_j)t+\varphi_j]\)，\(\delta_j\in[-\pi\Delta_W,\pi\Delta_W]\)。用和角公式 \[\cos(\omega_0t+\delta_jt+\varphi_j)=\cos(\delta_jt+\varphi_j)\cos\omega_0t-\sin(\delta_jt+\varphi_j)\sin\omega_0t,\] 得 \begin{gather*} F_{\mathrm{th}}=F_c(t)\cos\omega_0t-F_s(t)\sin\omega_0t,\\ F_c=\sum_ja_j\cos(\delta_jt+\varphi_j),\qquad F_s=\sum_ja_j\sin(\delta_jt+\varphi_j), \end{gather*} \(F_c,F_s\) 只含频率 \(\abs{\delta_j}\le\pi\Delta_W\)，是慢变函数。\(\Theta\) 中的 \(\varphi(t)\) 变化远慢于 \(1/\Delta_W\)，可在一个周期内视为常数，取 \(\varphi\approx0\)；周期平均 \(\overline{\cos^2\omega_0t}=\tfrac12\)、\(\overline{\sin\omega_0t\cos\omega_0t}=0\)，故 \(\overline{F_{\mathrm{th}}\cos\Theta}=F_c/2\)，\(\delta\omega=-F_c/(2m\omega_0A)\)。

4. \(F_c\) 的谱（因子 2 的来源）。由于各 \(\varphi_j\) 独立均匀分布，\(\avg{F_c^2}=\avg{F_s^2}=\sum_j\avg{a_j^2}/2\)，且 \(F_c\) 与 \(F_s\) 互不相关；又 \(\avg{F_{\mathrm{th}}^2}=\sum_j\avg{a_j^2}/2\)，所以 \(\avg{F_c^2}=\avg{F_{\mathrm{th}}^2}=S_F\Delta_W\)。但 \(F_c\) 的频率 \(\abs{\delta_j}/2\pi\) 只覆盖 \([0,\Delta_W/2]\)：上、下两个边带 \(f_0\pm\abs{\delta}/2\pi\) 折叠到了同一个低频。于是 \(F_c\) 的单边谱 \(S_c\) 满足 \(S_c\cdot\Delta_W/2=S_F\Delta_W\)，即 \(S_c=2S_F=8\kB Tb\)。

5. 频率噪声。\(\delta\omega\) 的单边谱为 \(S_c/(2m\omega_0A)^2=2\kB Tb/(m^2\omega_0^2A^2)\)，在 \(B\ll\Delta_W/2\) 范围内是白的。频率计输出经单边（噪声等效）带宽为 \(B\) 的低通滤波（相当于平均时间 \(T_{\mathrm{avg}}\approx1/2B\)），方差 \(\avg{\delta\omega^2}=2\kB TbB/(m^2\omega_0^2A^2)\)。用 \(b=m\omega_0/Q\)、\(m\omega_0^2=k\)：\(\avg{\delta\omega^2}=2\kB T\omega_0B/(QkA^2)\)，于是 \[\frac{\delta f}{f_0}=\frac{\sqrt{\avg{\delta\omega^2}}}{\omega_0}=\sqrt{\frac{2\kB TB}{QkA^2\omega_0}}=\sqrt{\frac{\kB TB}{\pi kA^2f_0Q}} ,\] 即式 (8.12)。（verify_sympy.py 核对了代数化简。）

1. 光杠杆读数正比于端部倾角 \(u'(L)=\sum_nq_n\phi_n'(L)\)。标定时悬臂处于静挠度形状，\(u'(L)=\tfrac{3}{2L}u(L)\)，因此仪器报告的“虚拟挠度”是 \(\delta^*=\tfrac{2L}{3}u'(L)\)。

2. 第 \(n\) 阶模的贡献 \(\delta_n^*=\tfrac23L\phi_n'(L)\,q_n\)。用式 (5.8) 求导并取 \(x=L\)，得表 7 最后一列，\(L\phi_1'(L)=1.3765\)。于是 \(\avg{\delta_1^{*2}}=(\tfrac23\times1.3765)^2\kB T/k_1=0.8422\times0.9707\,\kB T/k=0.8174\,\kB T/k\)。

3. 所有模之和。类比附录 A 的柔度求和规则：在端部施加力偶 \(M_t\)，外力偶做功 \(M_tu'(L)=M_t\sum a_n\phi_n'(L)\)，极小化给出 \(a_n=M_t\phi_n'(L)/k_n\)，端部转角 \(\sum a_n\phi_n'(L)=M_t\sum\phi_n'(L)^2/k_n\)；而静力学（\(EIu''=M_t\) 为常数）给出端部转角 \(M_tL/EI\)。所以 \(\sum_n\phi_n'(L)^2/k_n=L/EI=3/(kL^2)\)， \[\avg{\delta^{*2}}=\frac{4L^2}{9}\,\kB T\sum_n\frac{\phi_n'(L)^2}{k_n}=\frac{4L^2}{9}\cdot\frac{3\kB T}{kL^2}=\frac{4\kB T}{3k},\] 这就是 Butt 与 Jaschke 的结果[30]。由于 \(L\phi_n'(L)\approx\lambda_n\)，各项 \(\propto\lambda_n^{-2}\)，收敛很慢（前 6 项之和仅 1.24，而极限为 4/3）：高阶模对倾角信号的贡献比对位移大得多，这也是只取一阶峰的原因之一。