1 导读

一面理想的透镜应当把物上每一点发出的光会聚到像上的一点。近轴光学（高斯光学）告诉我们像在哪里、多大，但它只在光线贴近光轴、与光轴夹角很小时才成立。孔径一大、视场一宽，同一物点发出的光线就不再交于一点：像变成一团光斑，或者像点的位置偏离高斯像的位置。这种实际成像与理想成像之间的偏差叫像差。本讲回答四个问题：像差从哪里来、有几种、各长什么样、怎样消除。答案的核心是 1856 年赛德尔（Ludwig Seidel）给出的五种“三阶”几何像差，它们全部可以从一个对称性论证加一次泰勒展开得到。

学习目标

学完本讲，你应当能够：

1. 由费马原理出发，定义波像差 \(W\)，推出横向像差与波像差的关系 \(\varepsilon=-(R/n')\nabla W\)；

2. 用旋转对称性证明 \(W\) 只依赖于 \(h^2\)、\(\rho^2\)、\(h\rho\cos\theta\)，展开得到球差、彗差、像散、场曲、畸变五项，并说明为什么二阶项不算像差；

3. 对每一种像差说出：来自 \(W\) 的哪一项、光斑或像的样子、随孔径与视场的标度、一个具体数值例子、以及消除它的设计原理；

4. 会计算：球面镜与抛物面镜的球差，薄透镜球差随形状因子与位置因子的变化，光阑移动对彗差、像散、畸变的影响，Petzval 和；

5. 推导阿贝正弦条件、对称原理和消色差条件，理解 Schmidt 相机、RC 望远镜的设计思想；

6. 写出矢量形式的斯涅耳定律，做实际光线追迹，并用它检验赛德尔理论；处理 Hartmann 光阑法的数据。

建议学时

共 2 学时（约 90 分钟）：前置模块 20 分钟；像差的来源（对称性展开与系数计算）25 分钟；五种像差逐一讲解 25 分钟；消像差设计原理与光线追迹 20 分钟。例题与实验题供课后练习，附录供深入阅读。

推导路线

费马原理 \(\Rightarrow\) 波前 \(\perp\) 光线、端点变分公式 \(\Rightarrow\) 横向像差 \(\varepsilon=-(R/n')\nabla W\) \(\Rightarrow\)（旋转对称）\(W(h^2,\rho^2,h\rho\cos\theta)\) 的展开 \(\Rightarrow\) 五个赛德尔项 \(\Rightarrow\)（球面镜、单个折射面、光阑移动、薄透镜）系数怎样计算 \(\Rightarrow\) 每种像差的效果与标度 \(\Rightarrow\) 消像差原理（非球面、正弦条件、对称原理、Petzval 和、消色差）\(\Rightarrow\) 实际光线追迹检验。

2 名词与符号

两个名称

几何像差指不考虑衍射、只按光线计算的像差，本讲第 4–7 节都是几何像差；色差来自折射率随波长变化，在第 6.6 节作为补充。“三阶像差”“初级像差”“赛德尔像差”说的是同一组五种像差，第 4.2 节解释这个名字。

3 前置模块：光程、近轴光学与波像差

3.1 光程、费马原理与端点变分

我们需要费马原理的两个推论。第一个回答：固定的两点之间换一条“差不多”的路径，光程差多少？第二个回答：把终点挪一点，光程变多少？

3.2 近轴光学：符号约定与两条基本光线

3.3 光阑与光瞳、视场与光瞳坐标

3.4 波像差、参考球与横向像差

4 像差的来源（一）：对称性与波像差的展开

4.1 三个不变量

波像差依赖于两个二维矢量：物点在物面上的位置 \(\vect h\)（归一化），以及光线在出瞳上的位置 \(\vect\rho=(x_p,y_p)\)。

4.2 逐阶展开：零阶、二阶与四阶

把 \(W\) 按三个不变量的幂次展开。定义一个项的阶数为 \(h\) 与 \(\rho\) 的总次数；由于每个不变量都是二次的，阶数只能是 \(0,2,4,\dots\)。把 \(h^k\rho^l\cos^m\theta\) 项的系数记为 \(W_{klm}\)：

零阶

\(W_{000}\)：常数，各条光线一样，对成像无影响（“活塞项”）。

二阶

三个不变量各一次： \[\tag{4.2} \begin{aligned} W^{(2)}=W_{200}h^2&+W_{111}h\rho\cos\theta \\ &+W_{020}\rho^2 . \end{aligned}\] \(W_{200}h^2\) 与 \(\rho\) 无关，是随视场变化的活塞项；\(W_{020}\rho^2\) 是离焦，\(W_{111}h\rho\cos\theta\) 是倾斜（像点沿 \(y\) 平移，平移量 \(\propto h\)，即放大率的改变）。由第 3.4 节，离焦和倾斜都可以通过重新选择像面位置和像的放大率完全吸收。近轴光学恰好就是使这两项为零的那个选择：近轴像面使 \(W_{020}=0\)，近轴放大率使 \(W_{111}=0\)。所以二阶项不是像差，它们就是高斯光学本身。

四阶

三个不变量的二次组合共有 6 个： \begin{gather*} (h^2)^2,\quad (\rho^2)^2,\quad (h\rho\cos\theta)\rho^2, \\ (h\rho\cos\theta)^2,\quad h^2\rho^2,\quad h^2\,(h\rho\cos\theta). \end{gather*} 第一个与 \(\rho\) 无关（活塞项），其余 5 个就是赛德尔像差： \[\tag{4.3} \begin{aligned} W^{(4)}=\;&\underbrace{W_{040}\rho^4}_{\text{球差}}+\underbrace{W_{131}h\rho^3\cos\theta}_{\text{彗差}} \\ &+\underbrace{W_{222}h^2\rho^2\cos^2\theta}_{\text{像散}}+\underbrace{W_{220}h^2\rho^2}_{\text{场曲}} \\ &+\underbrace{W_{311}h^3\rho\cos\theta}_{\text{畸变}} . \end{aligned}\]

4.3 赛德尔和与本讲的约定

1856 年赛德尔给出的不是 \(W_{klm}\)，而是对系统中每个面求和的五个量 \(S_{\rm I}\)–\(S_{\rm V}\)（赛德尔和），它们由近轴边缘光线与主光线在各面上的数据直接算出（第 5 节）。本讲采用的对应关系是[16] \[\tag{4.4} \begin{gathered} W_{040}=\tfrac18S_{\rm I},\quad W_{131}=\tfrac12S_{\rm II}, \\ W_{222}=\tfrac12S_{\rm III}, \\ W_{220}=\tfrac14\big(S_{\rm III}+S_{\rm IV}\big), \\ W_{311}=\tfrac12S_{\rm V}. \end{gathered}\] 其中 \(h\)、\(\rho\) 都归一化到 1，\(S\) 与 \(W\) 都是长度。注意场曲系数 \(W_{220}\) 含两部分：\(S_{\rm IV}/4\) 叫 Petzval 场曲，\(S_{\rm III}/4\) 是像散“附带”的场曲（第 6.4 节解释）。

5 像差的来源（二）：系数从哪里来

第 4 节只用对称性就确定了像差的形式。本节回答五个系数的大小由什么决定。路线是：先用断开光路算两个最简单的例子（球面镜、单个折射球面的轴上点），再用“光阑移动”这一个技巧，把轴上的球差“搬”成彗差、像散、畸变，最后把各面相加。

5.1 球面镜与抛物面镜的球差

5.2 光阑移动：一个技巧生出四种像差

考虑一个已知像差系数的系统，只移动孔径光阑的位置（同时调整光阑大小，使轴上光束不变）。轴上光束不变，所以球差不变；但离轴物点的光束换了一部分：它们穿过各个面的位置整体平移了。

5.3 单个折射球面的五个赛德尔和

第一步：轴上点的球差

物点在轴上、距顶点 \(l\)（实物 \(l<0\)），近轴像点距顶点 \(l'\)，满足 \(n'/l'-n/l=(n'-n)c\)。由断开光路公式 (3.9)，对高度 \(Y\) 处的球面点 \(P\)， \[V(Y)=n\abs{OP}+n'\abs{PI'},\] 把 \(\abs{OP}\)、\(\abs{PI'}\) 用球面矢高 \(z(Y)\) 写出并展开到 \(Y^4\)（附录 A）：\(Y^2\) 项恰好因成像公式而消去——这就是“近轴像点”的意义；\(Y^4\) 项给出 \[\tag{5.8} \begin{gathered} S_{\rm I}=8W_{040}=-A^2y\,\Delta\!\left(\frac{u}{n}\right), \\ A=n(u+yc),\quad \Delta\!\left(\frac{u}{n}\right)=\frac{u'}{n'}-\frac{u}{n}. \end{gathered}\] 这里光阑放在该面上，\(y\) 是边缘光线在该面的高度。这一结果已用 sympy 对一般 \(n,n',l,l'\) 核对。

第二步：光阑放在球心——Petzval 场曲

把光阑放在球心 \(C\)。与球面镜的论证相同，每条主光线都经过 \(C\) 而不偏折，它就是一条对称轴，所以离轴光束只有“沿这条轴”的球差，\(S_{\rm II}=S_{\rm III}=0\)。主光线是过 \(C\) 的直线，它与平的物面、平的高斯像面的交点高度之比是常数（等于这两个面到 \(C\) 的距离之比，可以验证这正是近轴放大率），所以也没有畸变：\(S_{\rm V}=0\)。唯一剩下的视场像差是：平面物上不同点沿各自“轴”到 \(C\) 的距离不同，于是它们的像沿各自的轴前后错开，组成一个弯曲的像面。

把 \(\Delta z\) 与场曲系数联系起来：视场 \(h\) 的光束若有 \(W_{220}h^2\rho^2\)，它在 \(W_{020}=-W_{220}h^2\) 处成像清晰，由式 (3.8) 对应 \(\delta=-2W_{220}h^2/(n'u'^2)\)。令它等于 \(\eta'^2/(2r_P)\)，并用拉格朗日不变量 \(H=-n'u'\eta'_{\max}\)（第 3.2 节）消去 \(u'\)、\(\eta'\)，得 \(W_{220}=-H^2/(4n'r_P)\)。光阑在球心时 \(S_{\rm III}=0\)，\(W_{220}=S_{\rm IV}/4\)，代入式 (5.9)： \[\tag{5.10} \begin{gathered} S_{\rm IV}=-H^2c\,\Delta\!\left(\frac1n\right), \\ \Delta\!\left(\frac1n\right)=\frac{1}{n'}-\frac1n . \end{gathered}\] 由光阑移动公式，\(S_{\rm IV}\) 与光阑位置无关，所以式 (5.10) 对任何光阑位置都成立。

第三步：把光阑移回实际位置

光阑在 \(C\) 时的主光线经过球心，入射角为零，它的折射不变量 \(\bar A_C=0\)。现在写出从任一物点出发、在该面高度为 \(Y\) 的近轴光线的折射不变量。物点高 \(\eta\)、离顶点 \(l\)（\(l<0\)），光线斜率 \(u=(Y-\eta)/(0-l)\)，所以 \begin{gather*} A(Y)=n(u+Yc)=n\Big(c-\frac1l\Big)Y+\frac{n\eta}{l}\\ \equiv\alpha\,Y+\frac{n\eta}{l}, \\ \alpha=n\Big(c-\frac1l\Big). \end{gather*} 比例系数 \(\alpha\) 与物高 \(\eta\) 无关。对视场边缘的物点，\(A\) 在 \(Y=\bar y_C\) 处为零，所以 \(A=\alpha(Y-\bar y_C)\)；对轴上物点（\(\eta=0\)），边缘光线 \(A=\alpha y\)。于是实际主光线的 \(\bar A=\alpha(\bar y-\bar y_C)\)，光阑移动参数 \[s=\frac{\bar y-\bar y_C}{y}=\frac{\bar A}{A}.\] 代入光阑移动公式 (5.7)（旧值：\(S_{\rm II}=S_{\rm III}=S_{\rm V}=0\)），得到单个折射球面的全部赛德尔和： \[\tag{5.11} \begin{aligned} S_{\rm I}&=-A^2y\,\Delta(u/n),\\ S_{\rm II}&=-A\bar Ay\,\Delta(u/n),\\ S_{\rm III}&=-\bar A^2y\,\Delta(u/n),\\ S_{\rm IV}&=-H^2c\,\Delta(1/n),\\ S_{\rm V}&=\frac{\bar A}{A}\big(S_{\rm III}+S_{\rm IV}\big). \end{aligned}\] （\(S_{\rm V}\) 一式来自 \(s(3S_{\rm III}^{C}+S_{\rm IV})+s^3S_{\rm I}=sS_{\rm IV}+s\cdot s^2S_{\rm I}=s(S_{\rm IV}+S_{\rm III})\)，其中 \(S_{\rm III}^{C}=0\)。）这正是赛德尔 1856 年结果的现代写法（Welford 形式）[17]。

5.4 多个面：各面贡献相加

5.5 薄透镜：形状因子与位置因子

把式 (5.11) 对两个面相加（两面上 \(y\) 相同；光阑在透镜处时 \(\bar y=0\)），并用 \(q\)、\(p\) 改写（附录 B，sympy 核对）： \[\tag{5.14} \begin{aligned} S_{\rm I}&=\frac{y^4\varphi^3}{4}\bigg[\Big(\frac{n}{n-1}\Big)^{\!2}\\ &\qquad+\frac{n+2}{n(n-1)^2}\,q^2\\ &\qquad+\frac{4(n+1)}{n(n-1)}\,qp\\ &\qquad+\frac{3n+2}{n}\,p^2\bigg],\\ S_{\rm II}&=\frac{y^2\varphi^2H}{2}\Big[\frac{n+1}{n(n-1)}\,q\\ &\qquad+\frac{2n+1}{n}\,p\Big],\\ S_{\rm III}&=H^2\varphi,\qquad S_{\rm IV}=\frac{H^2\varphi}{n},\\ S_{\rm V}&=0 . \end{aligned}\] 光阑不在透镜处时，再用光阑移动公式，\(s=\bar y/y\)（\(\bar y\) 为主光线在透镜处的高度）。

6 五种像差逐一：来源、效果、示例与消除

本节对每一种像差按同一顺序讲四件事：来源（\(W\) 中哪一项、哪个赛德尔和、物理上从哪里来）；效果（光斑或像的形状，横向与纵向像差随孔径 \(\rho\) 与视场 \(h\) 的标度）；示例（具体系统的数值，均由脚本计算并与实际光线追迹核对）；消除（设计原理与典型结构，较长的推导放在第 7 节）。下文 \(k\equiv R/(n'a)=-1/(n'u')\)。

6.1 球差

来源

\(W_{040}\rho^4\)，\(W_{040}=S_{\rm I}/8\)。它与视场无关，轴上点也有。物理根源是斯涅耳定律的非线性：\(\sin i=i-i^3/6+\dots\)，入射角越大，实际偏折比近轴的线性规律偏离得越多。由式 (5.8)，单个面的贡献正比于 \(A^2=(ni)^2\)——边缘光线的入射角平方。会聚的正透镜对边缘光线“折得过头”，边缘光线的焦点比近轴焦点更靠近透镜，\(S_{\rm I}>0\)，称为欠校正；反之称为过校正。

效果

高斯像面上，\(\vect\varepsilon=-4kW_{040}\rho^3(\sin\theta,\cos\theta)\)：每一环（固定 \(\rho\)）的光线落在半径 \(4kW_{040}\rho^3\) 的圆上，光斑是轴对称的圆盘，边缘亮（各环半径随 \(\rho^3\) 增长，图 5）。

示例

(1) 图 8 的平凸透镜：实际追迹给出 LSA \(=-1.73\) mm（边缘焦点比近轴焦点近 1.73 mm），赛德尔预言（式 (6.1)，\(W_{040}={6.65\,}\mathrm{\mu m}\)）\(-1.70\) mm，差 2%，来自更高阶的球差。最小弥散圆半径 54 μm，是高斯像面上（220 μm）的 0.248 倍；同一透镜的艾里斑半径只有 \(1.22\lambda F\approx{2.9\,}\mathrm{\mu m}\)（587.6 nm），所以它远未达到衍射极限。(2) 哈勃主镜的球差见例题 1。

消除

(i) 弯曲：选最佳形状 \(q_{\min}\)（式 (5.15)），凸面朝物的平凸透镜接近最佳，反过来装球差约大 4 倍（图 7）。(ii) 分裂：把一片透镜的光焦度分给两片，每片的入射角变小。例如 \(f=100\) mm、\(f/4\) 时，最佳形状单片 \(W_{040}={6.24\,}\mathrm{\mu m}\)；改用两片焦距 200 mm 的薄透镜密接，第一片 \(p_1=-1\)，第二片的入射光会聚到 200 mm 处，\(p_2=(u+u')/(u-u')=-3\)，各取最佳形状（\(q_1=0.74\)，\(q_2=2.22\)），总 \(W_{040}={1.23\,}\mathrm{\mu m}\)，只有单片的 0.197 倍（零厚度实际追迹给出同一值）。(iii) 正负透镜组合：负透镜的球差与正透镜反号。消色差双胶合透镜在消色差的同时，可以靠弯曲把球差也消去（例题 2 给出完整设计）。(iv) 非球面：抛物面镜（第 5.1 节）、Schmidt 校正板（第 7.1 节）、手机镜头的塑料非球面。(v) 齐明面：工作在齐明点的球面没有球差（第 5.3 节），用于显微物镜。(vi) 缩小孔径：横向球差 \(\propto a^3\)（\(W_{040}\propto a^4\)，再乘 \(R/a\)），代价是进光量。

6.2 彗差

来源

\(W_{131}h\rho^3\cos\theta\)，\(W_{131}=S_{\rm II}/2\)，对视场是一次的：只要离开光轴就最先出现的像差。两个等价的物理图像：(a) 由光阑移动公式，单个面的 \(S_{\rm II}=(\bar A/A)S_{\rm I}\)——离轴光束在面上的“足迹”偏离了对称中心，它看到的是一块偏心的球差，偏心球差的 \(\rho^3\) 项就是彗差；(b) 不同环带的光线成像的放大率不同（第 7.2 节的正弦条件）。

效果

由表 2，记 \(C\equiv kW_{131}h\)， \begin{gather*} \varepsilon_x=-C\rho^2\sin2\theta, \\ \varepsilon_y=-C\rho^2(2+\cos2\theta). \end{gather*}

• 固定 \(\rho\)，\(\theta\) 从 \(0\) 走到 \(2\pi\)，落点 \((\varepsilon_x,\varepsilon_y)\) 沿一个圆走两圈：圆心 \((0,-2C\rho^2)\)，半径 \(\abs C\rho^2\)。所以出瞳上的一个环在像面上成一个“彗差圆”，环越大，圆越大、离高斯像点越远。

• 所有圆都与两条过原点的直线相切：圆心距原点 \(2\abs C\rho^2\)，半径 \(\abs C\rho^2\)，切线与对称轴的夹角满足 \(\sin\alpha=1/2\)，\(\alpha=30^\circ\)。光斑因此是顶角 \(60^\circ\) 的彗星形，头部（小 \(\rho\) 的光线密集处）在高斯像点，尾巴指向 \(-\mathrm{sgn}(C)\,\uvec y\)。

• \(\theta=0^\circ,180^\circ\)（子午光线）落在 \(\varepsilon_y=-3C\rho^2\)：子午彗差 \(3\abs C\)；\(\theta=\pm90^\circ\)（弧矢光线）落在 \(\varepsilon_y=-C\rho^2\)：弧矢彗差 \(\abs C\)。两者之比恒为 3。

• 标度：彗差的长度 \(\propto h\rho^2\)，正比于视场、正比于孔径的平方。

示例

光阑在镜面上的抛物面镜，第 5.2 节已求得 \(\abs{W_{131}}=\theta_fa^3/(4f^2)\)，取 \(R=f\)，\(\abs C=f\cdot\theta_fa^3/(4f^2a)=\theta_ff/(16F^2)\)（\(a=f/(2F)\)）。用角度表示（除以 \(f\)），子午彗差为 \[\tag{6.2} \frac{3\abs C}{f}=\frac{3\theta_f}{16F^2}.\] \(f/4\)、\(\theta_f=0.5^\circ\)：\(3\abs C/f=1.02\times10^{-4}\) rad \(\approx21''\)，比视宁度（\(\sim1''\)）大得多。所以快焦比的单块抛物面镜只有很小的可用视场——这正是 Schmidt 相机与 RC 望远镜要解决的问题。

消除

(i) 满足正弦条件（齐明设计，第 7.2 节）。(ii) 移动光阑：系统有球差时，取 \(s^*=-S_{\rm II}/S_{\rm I}\)。球面镜的光阑放在球心即无彗差，这是 Schmidt 相机的出发点。(iii) 对称结构：关于光阑对称的系统在 \(1:1\) 成像时彗差严格为零（第 7.3 节）。(iv) 单透镜弯曲到 \(q_c\)（式 (5.14) 推论 3）。(v) 两块非球面镜：RC 望远镜用两个圆锥常数同时消球差与彗差（第 7.4 节）。

6.3 像散

来源

\(W_{222}h^2\rho^2\cos^2\theta\)，\(W_{222}=S_{\rm III}/2\)。它只出现在子午方向（\(\cos^2\theta=y_p^2\)）：离轴光束在子午截面与弧矢截面内会聚到不同的位置。物理来源可以用第 5.3 节的“偏心光束”图像推出来。对单个球面，若光阑在它的球心，离轴光束沿自己的对称轴入射，只有球差 \(W_{040}\rho^4\)，没有像散。实际光阑不在球心时，视场 \(h\) 的光束在“球心光阑”的光瞳上偏到以 \(\rho_0=sh\) 为中心的位置（\(s=\bar A/A\)），它截取的是球差波前 \(W_{040}\rho^4\) 中偏离中心的一块。以这束光自己的光瞳坐标 \((x_p,y_p)\) 写出（\(y_p\) 沿子午方向），并只保留对 \((x_p,y_p)\) 为二次的项： \begin{align*} &W_{040}\big[(\rho_0+y_p)^2+x_p^2\big]^2 \\ &=W_{040}\big[\rho_0^4+4\rho_0^3y_p+6\rho_0^2y_p^2+2\rho_0^2x_p^2+\cdots\big]. \end{align*} 二次项就是这束光的“离焦”。子午方向的系数 \(6\rho_0^2\) 是弧矢方向 \(2\rho_0^2\) 的 3 倍：碗形的 \(\rho^4\) 波前在偏离中心处，沿半径方向比沿切向弯 3 倍，所以子午与弧矢光线会聚到不同位置。写成 \(6\rho_0^2y_p^2+2\rho_0^2x_p^2=2\rho_0^2\rho^2+4\rho_0^2\rho^2\cos^2\theta\)：后一项 \(4s^2h^2W_{040}\rho^2\cos^2\theta\) 是像散，前一项 \(2s^2h^2W_{040}\rho^2\) 是附加的场曲。这正是光阑移动公式中 \(W'_{222}\ni4s^2W_{040}\)、\(W'_{220}\ni2s^2W_{040}\) 两项的几何意义。光阑在透镜处的薄透镜也有像散：\(S_{\rm III}=H^2\varphi\)，与形状无关。这是因为对它的每个面来说，光阑都不在该面的球心（\(\bar A\ne0\)），细光束对各面都是“偏心”的。只要有光焦度和视场，就有像散。

效果

加上离焦 \(W_{020}\)（观察面位置）和场曲项，横向像差为 \begin{gather*} \varepsilon_x=-2k\big(W_{220}h^2+W_{020}\big)x_p, \\ \varepsilon_y=-2k\big[(W_{222}+W_{220})h^2\\ +W_{020}\big]y_p . \end{gather*} 一般情况下光斑是椭圆。两个特殊位置：

• \(W_{020}=-W_{220}h^2\)：\(\varepsilon_x=0\)，所有光线落在沿 \(y\) 方向（径向）的一条线段上，叫弧矢焦线（弧矢光线在此会聚）；

• \(W_{020}=-(W_{220}+W_{222})h^2\)：\(\varepsilon_y=0\)，光线落在沿 \(x\) 方向（切向）的线段上，叫子午焦线。

两者正中间 \(W_{020}=-(W_{220}+W_{222}/2)h^2\) 处，两个方向的系数相等，光斑是圆，叫最小弥散圆，半径 \(k\abs{W_{222}}h^2\)。两条焦线的轴向间距（像散差）由式 (3.8)：\(\delta_T-\delta_S=-2W_{222}h^2/(n'u'^2)\)。标度：焦线长度与弥散圆半径 \(\propto h^2\rho\)。

示例

图 10 的单透镜，视场 \(20^\circ\) 处赛德尔给出子午焦面在高斯像面前 24.2 mm、弧矢焦面在前 11.0 mm；在视场 \(10.3^\circ\)（\(h=0.5\)）处实际追迹为 \(-5.78\) 与 \(-2.66\) mm，赛德尔为 \(-6.06\) 与 \(-2.75\) mm（差 3%–5%，高阶项）。像散差达 13 mm。在平的底片上，\(20^\circ\) 处的星点会拉成沿径向或切向的短线，或者一个椭圆，取决于对焦在哪里。

消除

(i) 移动光阑：\(S'_{\rm III}=S_{\rm III}+2sS_{\rm II}+s^2S_{\rm I}\) 是 \(s\) 的二次式，若判别式 \(S_{\rm II}^2-S_{\rm I}S_{\rm III}\ge0\)，就有使像散为零的光阑位置。风景镜：弯月形薄透镜（\(q=-4\)，凹面朝物，\(f=100\) mm，\(f/10\)，视场 \(10^\circ\)），光阑在透镜处时 \(W_{131}={-8.54\,}\mathrm{\mu m}\)，\(W_{222}={3.89\,}\mathrm{\mu m}\)。由 \(S'_{\rm II}=S_{\rm II}+sS_{\rm I}=0\) 得 \(s^*=0.538\)。主光线在光阑中心过轴、以斜率 \(\tan10^\circ\) 到达透镜，\(s=d\tan10^\circ/a\)，所以光阑在透镜前 \(d^*={15.3\,}\mathrm{mm}\)。此时彗差为零，\(W_{222}\) 降到 −0.71 μm（图 6，实际追迹核对）。\(10^\circ\) 处子午焦面从高斯像面前 5.69 mm 移到前 0.17 mm，像场几乎变平，代价是 \(-0.31\%\) 的桶形畸变。1812 年 Wollaston 提出用弯月形透镜做照相暗箱的物镜，以得到更平的像场[20]。

(ii) 多片透镜组合：同时消像散、消场曲的镜头叫 anastigmat。一个两片的数值例子：N-BK7 负透镜（\(f_1={-44.7\,}\mathrm{mm}\)）在前，相隔 20 mm 放正透镜（\(f_2={44.7\,}\mathrm{mm}\)），光阑在正透镜处。由 \(\varphi=\varphi_1+\varphi_2-d\varphi_1\varphi_2=d/f_2^2\) 得总焦距 100 mm；Petzval 和 \(\varphi_1/n+\varphi_2/n=0\)（第 6.4 节）。剩下两个形状因子作自由度，解 \(S_{\rm II}=S_{\rm III}=0\) 得 \(q_1=0.629\)、\(q_2=-0.412\)，即半径 \(-28.4\)、\(124.5\) mm 与 \(78.6\)、\(-32.7\) mm。注意前面的负透镜会缩小入瞳：光阑（在正透镜处）半径取 7.24 mm 时，入瞳半径才是 5 mm，即 \(f/10\)。在这一真正的 \(f/10\)、\(10^\circ\) 下做实际追迹，得 \(W_{222}={0.010\,}\mathrm{\mu m}\)、\(W_{220}={0.003\,}\mathrm{\mu m}\)；同焦距、同 F 数的单透镜（取 \(q=0\)，光阑在透镜处）为 3.89 与 3.22 μm。T、S 两个像面重合并且是平的。代价是球差与畸变：\(W_{040}={6.52\,}\mathrm{\mu m}\)，是单透镜（0.25 μm）的 26 倍；畸变 \(-1.7\%\)。实际的消像散镜头（如三片式）就是在这类骨架上，再用更多的自由度去平衡球差、畸变和色差。

6.4 场曲

来源

\(W_{220}h^2\rho^2\)，\(W_{220}=(S_{\rm III}+S_{\rm IV})/4\)。它对 \(\rho\) 是二次的，形式上就是一个随视场 \(h^2\) 增长的离焦：每个视场点都成清晰的像（若无像散），只是像点不在同一平面上。\(S_{\rm IV}\) 部分叫 Petzval 场曲，由各面曲率与折射率决定（式 (5.10)），与光阑、物距、透镜形状都无关；\(S_{\rm III}\) 部分来自像散。

效果

若用平的探测器，视场 \(h\) 处的星点有离焦弥散，半径 \(\propto h^2\rho\)；中心对焦时边缘模糊，边缘对焦时中心模糊。

示例

单透镜 \(f=100\) mm、\(n=1.5168\)：\(r_P=-nf={-151.7\,}\mathrm{mm}\)。\(20^\circ\) 视场（像高 36.4 mm）处 Petzval 面在高斯像面前 4.37 mm（图 10）。单块凹面镜：取 \(n=1\)、\(n'=-1\)，\(1/r_P=(-1)\cdot c\,(-1-1)=2c\)，\(\abs{r_P}=R_m/2=f\)，焦面是以球心为心、半径为 \(f\) 的球面，Schmidt 相机正是这样（第 7.1 节）。

消除

(i) 正负透镜分离：两片薄透镜 \(\varphi_1\)、\(\varphi_2\) 相距 \(d\)，总光焦度 \(\varphi=\varphi_1+\varphi_2-d\varphi_1\varphi_2\)，而 Petzval 和 \(\varphi_1/n_1+\varphi_2/n_2\) 与 \(d\) 无关。取同种玻璃 \(\varphi_2=-\varphi_1\)：Petzval 和为零，总光焦度却是 \(d\varphi_1^2>0\)。Petzval 和与光焦度可以分开控制，这是一切平场镜头的原理。Cooke 三片式（正–负–正）是最简单的例子[9]：三片的光焦度、两个间隔与三个弯曲共 8 个自由度，正好够满足焦距、Petzval 和、其余四个赛德尔和与两种色差这 8 个条件。(ii) 场镜/平场镜：在像面附近放一片负透镜，那里边缘光线高度 \(y\approx0\)，它几乎不改变系统光焦度（贡献 \(\propto y\)），却贡献完整的 \(-\varphi/n\) 给 Petzval 和。(iii) 用像散抵消：让 \(S_{\rm III}=-S_{\rm IV}\) 可使弧矢面变平，\(S_{\rm III}=-S_{\rm IV}/2\) 可使中间像面变平，但代价是 T、S 分开。(iv) 弯曲探测器：Schmidt 相机用弯曲的底片；Kepler 空间望远镜（Schmidt 型）的焦面是弯曲的 CCD 阵列，每块 CCD 上再加蓝宝石平场镜[11]。

6.5 畸变

来源

\(W_{311}h^3\rho\cos\theta\)，\(W_{311}=S_{\rm V}/2\)。它对 \(\rho\) 是一次的——是一个随视场 \(h^3\) 增长的“倾斜”：同一物点的光线仍然交于一点，只是这一点不在高斯像高处。像点的位置由主光线决定，所以畸变的物理来源要看主光线怎样穿过系统。光阑移动公式 \(S'_{\rm V}=S_{\rm V}+s(3S_{\rm III}+S_{\rm IV})+3s^2S_{\rm II}+s^3S_{\rm I}\) 中的各项各有几何意义： (a) \(s^3S_{\rm I}\)：主光线在透镜上的高度 \(\bar y=s\,h\,y\) 随视场增大。它穿过的是透镜的“外环”，那里有球差，主光线也被多折或少折一点，偏折量随 \(\bar y^3\propto h^3\) 偏离线性规律。对欠校正的正透镜（\(S_{\rm I}>0\)）、光阑在前（\(s>0\)），主光线被折得过头，像点落得比高斯像高更靠近轴，即桶形。 (b) \(s(3S_{\rm III}+S_{\rm IV})\)：主光线的偏移在子午方向，起作用的是子午像面 T。\(3S_{\rm III}+S_{\rm IV}=4(W_{220}+W_{222})\) 正是子午场曲的系数。视场 \(h\) 的子午光束会聚在弯曲的 T 面上，离开高斯像面 \(\propto h^2\)；而主光线相对光束的“中心光线”（过透镜中心的那条）倾斜一个 \(\propto sh\) 的角度。它穿过平的高斯像面时，落点就偏开（倾角）\(\times\)（像面偏离）\(\propto sh^3\)。 (c) \(3s^2S_{\rm II}\)：彗差使光束内不同光线的落点不同，偏心的主光线取到其中的一条。 光阑在薄透镜处时 \(s=0\)，三项都没有，\(S_{\rm V}=0\)。\(s\) 越大畸变增长越快，所以畸变对光阑位置最敏感。

效果

像是清晰的，只是几何形状变了：直线（不过中心的）成弯曲的像。对测量、拼接、制图用途的镜头，畸变比模糊更要紧。

示例

图 11：同一片透镜，光阑在前 30 mm 时角点（对角视场约 \(21^\circ\)）畸变 \(-5.9\%\)，光阑在后 20 mm 时 \(+12.6\%\)。规律：光阑在正透镜前得桶形，在后得枕形。原因可由光阑移动公式看出。光阑在透镜处时 \(S_{\rm V}=0\)。光阑在透镜前 \(d\) 处时，视场角为 \(\bar u>0\) 的主光线在光阑中心过轴，到透镜时已升到 \(\bar y=\bar ud>0\)，所以 \(s=\bar y/y>0\)，而 \(H=\bar ua>0\)。式 (5.7) 中 \(s\) 的一次项 \(s(3S_{\rm III}+S_{\rm IV})\) 起主导（本例约为二次项的 3 倍），对正透镜 \(3S_{\rm III}+S_{\rm IV}=H^2\varphi(3+1/n)>0\)，于是 \(S'_{\rm V}>0\)，\(D=-S'_{\rm V}/(2H)<0\)，桶形。光阑在透镜后时 \(\bar y<0\)，\(s<0\)，得枕形。用式 (5.14) 与式 (5.7) 算出的 \(5^\circ\) 畸变正是图注中的 \(-0.316\%\) 与 \(+0.465\%\)。对单片薄透镜还可以证明：除 \(s=0\) 外，\(S'_{\rm V}(s)\) 没有别的零点，所以光阑不在透镜上就必有三阶畸变；对正透镜，光阑在前必为桶形、在后必为枕形，负透镜相反（例题 4）。

消除

(i) 关于光阑对称：对称系统在 \(1:1\) 成像时 \(S_{\rm V}=0\)（第 7.3 节），前组的桶形与后组的枕形互相抵消。(ii) 光阑靠近光焦度集中处。(iii) 事后校正：畸变不损失信息，若已知 \(D(h)\)，可以在数字图像上把每个像素搬回原位——这是数字相机能容忍较大畸变的原因。

6.6 色差（补充）

消色差只能让两个波长（F、C）的焦点重合，其余波长的焦点仍有微小差别，叫二级光谱。原因是两种玻璃的色散曲线形状不完全相同。

6.7 小结：五种像差一览

7 消像差的设计原理

7.1 非球面与 Schmidt 相机

由式 (5.3)，一个面相对球面的偏离 \(\Delta z(r)\) 直接给波前加上 \((n'-n)\Delta z(r)\)。只要 \(\Delta z(r)\) 取得合适，就能抵消任意的轴上波像差：对单个物点做到完美成像的非球面（笛卡尔卵形面，第 38 届复赛考过）就是这一思想的极端情形。但式 (5.12) 提醒我们：非球面若不在光阑处（\(\bar y\ne0\)），它在消球差的同时也改变彗差、像散、畸变。所以只想校正球差时，非球面应放在光阑或其像（光瞳）处。

7.2 阿贝正弦条件与齐明系统

7.3 对称原理

7.4 RC 望远镜与哈勃

卡塞格林型双镜望远镜：凹主镜把光会聚，凸副镜在主镜焦点之前把光反射回去，穿过主镜中央的孔成像。两块镜面各有一个圆锥常数 \(\kappa_1\)、\(\kappa_2\)。

哈勃的数值

用 Allen 报告的设计参数（主镜 \(R_1={11040.0\,}\mathrm{mm}\)，副镜 \(R_2={1358.0\,}\mathrm{mm}\)，间距 4906.072 mm，焦点在主镜顶点后 1500.0 mm，光阑半径 1200 mm）[2]，近轴追迹得系统焦距 57.60 m、像面位于主镜后 1500.02 mm。此时 \(m=57.60/5.52=10.435\)，\(\beta=1500/5520=0.2717\)。代入式 (7.5) 得 \(\kappa_1=-1.0022986\)、\(\kappa_2=-1.4969\)（经典卡塞格林的副镜为 \(-1.4689\)）；设计值为 \(-1.0022985\)、\(-1.49600\)[2]。\(\kappa_1\) 一致到 \(10^{-7}\)，\(\kappa_2\) 相差 0.06%（我们只施加了三阶条件，实际设计还要平衡更高阶像差与视场像差）。主镜磨成 \(\kappa_1=-1.0139\) 后，只有 \(S_{\rm I}\) 改变（主镜在光阑上），这就是“纯球差”的由来（图 14，例题 1）。

8 数值光线追迹

赛德尔理论是展开到四阶的近似。要检验它，也为了处理大孔径、大视场，需要实际光线追迹：严格按斯涅耳定律一面一面地追每条光线。

算法

每一面用式 (5.1)（可加 \(r^4\)、\(r^6\) 项）描述。(1) 交点：光线 \(\vect P+t\uvec k\)，解 \(F(t)=z(t)-z_v-\mathrm{sag}(r(t))=0\)，从顶点平面出发做牛顿迭代，收敛到 \(10^{-13}\) mm。(2) 法线：\(\uvec N\propto(-\partial_x\mathrm{sag},-\partial_y\mathrm{sag},1)\)。(3) 用式 (8.1) 或反射公式得新方向，累加光程 \(\abs{n}t\)。(4) 最后求光线与参考球（球心为高斯像点、过近轴出瞳中心）的交点，按定义 (3.5) 得 \(W\)；或求与高斯像面的交点得 \(\vect\varepsilon\)。(5) 在多个视场 \(h\) 与光瞳网格 \((\rho,\theta)\) 上计算 \(W\)，用最小二乘按全部旋转不变单项 \(h^k\rho^l\cos^m\theta\)（\(k+l\le8\)）拟合，读出 \(W_{040},\dots,W_{311}\)。程序见 scripts/optics.py（约 300 行，只用 numpy）。

表 4 中各系统的赛德尔预言与追迹拟合在所列有效数字上完全相同（核对脚本要求每个系数的相对差小于 0.2%）。这同时检验了三件事：横向/波像差的定义与符号约定、单面公式 (5.11)（含光阑移动的推导）、非球面附加项 (5.12)。抛物面镜一行说明：二次曲面消去了球差，彗差与球面镜相同（第 5.2 节）。哈勃设计系统的球差、彗差只剩 \(0.03\)、\(0.004\,\mathrm{\mu m}\) 量级，主要剩下场曲与像散——RC 是齐明而非消像散的系统。

标度律的检验

赛德尔理论的另一个可检验的预言是各像差随 \(\rho\)、\(h\) 的幂次。图 15 用平凸透镜（\(f/5\)、视场 \(5^\circ\)）的子午光线扇，只利用光线的对称性把各像差分开（不做任何拟合）：\(\pm\rho\) 两条光线的平均扣去主光线即为彗差（对 \(\rho\) 偶），差的一半扣去轴上球差即为像散加场曲（对 \(\rho\) 奇），主光线本身即为畸变。双对数图上的斜率分别是 3、2、1（随 \(\rho\)）与 1、2、3（随 \(h\)），与表 2 完全一致；在全口径、全视场处追迹与赛德尔的偏差为 0.3%–6.5%，这就是被忽略的五阶像差的大小。

9 决赛风格例题

10 实验与数据处理：Hartmann 光阑法测透镜球差

11 小结：推导链

1. 起点：费马原理 \(\Rightarrow\) 折线路径误差二阶（推论 1）、端点变分 \(\delta[AB]=n'\uvec k'\cdot\delta\vect r'-n\uvec k\cdot\delta\vect r\) \(\Rightarrow\) 光线垂直波前。

2. 度量：波像差 \(W=[OE']-[OQ]\)（式 (3.5)）\(\Rightarrow\) 横向像差 \(\varepsilon=-(R/n')\nabla W\)（式 (3.6)）；离焦 \(W_{020}=n'u'^2\delta/2\)（式 (3.8)）。

3. 形式：旋转 + 镜面对称 \(\Rightarrow\) \(W(h^2,\rho^2,h\rho\cos\theta)\) \(\Rightarrow\) 二阶 = 高斯光学，四阶 = 五个赛德尔项（式 (4.3)），横向三阶。

4. 大小：断开光路算球面镜（式 (5.4)）与单面轴上球差（式 (5.8)）；光阑在球心 \(\Rightarrow\) 只有 \(S_{\rm I}\) 与 Petzval \(S_{\rm IV}\)（式 (5.10)）；光阑移动 \(\vect\rho\to\vect\rho+s\vect h\)（式 (5.7)，\(s=\bar A/A\)）\(\Rightarrow\) 全部五个和（式 (5.11)），非球面附加项（式 (5.12)）；各面相加；薄透镜的 \(q\)、\(p\) 形式（式 (5.14)）。

5. 效果：表 2、表 3；球差的 3/4、2/3、1/2 三种最佳焦面；彗差 \(60^\circ\) 与 \(3:1\)；像散两条焦线与 T–S–P 三比一（式 (6.3)）；Petzval 和（式 (6.5)）；畸变 \(D=-S_{\rm V}h^2/(2H)\)（式 (6.6)）。

6. 消除：非球面放在光阑处（Schmidt，式 (7.1)）；正弦条件（式 (7.2)）与齐明；对称原理（\(W\) 对 \(\vect h\) 为偶）；光阑位置（\(s^*=-S_{\rm II}/S_{\rm I}\)）；正负透镜分离（Petzval）；两个圆锥常数解两个线性条件（RC）；\(\nu_1f_1+\nu_2f_2=0\)（式 (6.8)）。

7. 检验：矢量斯涅耳定律（式 (8.1)）的实际光线追迹与赛德尔和一致（表 4），标度律斜率 3/2/1 与 1/2/3（图 15）。

参考文献

附录 A 单个折射球面轴上球差的展开

设定

球面曲率半径 \(r>0\)（球心 \(C\) 在顶点右方），左侧折射率 \(n\)、右侧 \(n'\)。实物点 \(O\) 在顶点左方 \(L\) 处，近轴像点 \(I'\) 在顶点右方 \(L'\) 处（\(L'>r\)），满足 \(n/L+n'/L'=(n'-n)/r\)（即 \(n'/l'-n/l=(n'-n)c\)，\(l=-L\)，\(l'=L'\)）。光阑在该面上，出瞳就是该面。由断开光路公式 (3.9)，取折点为球面上的点 \(P\)（与参考球上的点相差像差量级，引起的误差为二阶）： \begin{gather*} V(P)=n\abs{OP}+n'\abs{PI'}, \\ W(P)=V(\text{顶点})-V(P). \end{gather*}

用球心角作参数

设 \(P\) 对球心的张角为 \(\phi\)（\(\phi=0\) 为顶点），\(Y=r\sin\phi\)。\(O\)、\(C\)、\(I'\) 共线，\(\abs{OC}=L+r\)，\(\abs{CI'}=L'-r\)。由余弦定理， \begin{gather*} \abs{OP}^2=(L+r)^2+r^2-2r(L+r)\cos\phi, \\ \abs{PI'}^2=(L'-r)^2+r^2+2r(L'-r)\cos\phi . \end{gather*} 用 \(\cos\phi=1-\phi^2/2+\phi^4/24-\dots\)： \begin{align*} \abs{OP}^2&=L^2\Big[1+g_1\phi^2-\tfrac{g_1}{12}\phi^4\Big],& g_1&=\frac{r(L+r)}{L^2};\\ \abs{PI'}^2&=L'^2\Big[1-g_2\phi^2+\tfrac{g_2}{12}\phi^4\Big],& g_2&=\frac{r(L'-r)}{L'^2}. \end{align*}

开方

\(\sqrt{1+x}=1+x/2-x^2/8+\order{x^3}\)，保留到 \(\phi^4\)： \begin{align*} \abs{OP}&=L\Big[1+\tfrac{g_1}{2}\phi^2-\big(\tfrac{g_1}{24}+\tfrac{g_1^2}{8}\big)\phi^4\Big],\\ \abs{PI'}&=L'\Big[1-\tfrac{g_2}{2}\phi^2+\big(\tfrac{g_2}{24}-\tfrac{g_2^2}{8}\big)\phi^4\Big]. \end{align*}

二次项消去

\(V\) 的 \(\phi^2\) 系数为 \(\tfrac12(nLg_1-n'L'g_2)=\tfrac r2\big[n\tfrac{L+r}{L}-n'\tfrac{L'-r}{L'}\big]=\tfrac r2\big[(n-n')+r\big(\tfrac nL+\tfrac{n'}{L'}\big)\big]=0\)，最后一步用了成像公式。这就是“近轴像点”的含义：在 \(I'\) 处，波前到二阶是严格的球面。

四次项

\(\phi^4\) 系数中，\(-\tfrac{1}{24}(nLg_1-n'L'g_2)\) 同样为零，剩下 \begin{align*} V(\phi)-V(0)&=-\frac{\phi^4}{8}\big(nLg_1^2+n'L'g_2^2\big) \\ &=-\frac{r^2\phi^4}{8}\left[\frac{n(L+r)^2}{L^3}+\frac{n'(L'-r)^2}{L'^3}\right]. \end{align*} 四阶精度下 \(\phi^4=Y^4/r^4\)，于是 \[W(Y)=\frac{Y^4}{8r^2}\left[\frac{n(L+r)^2}{L^3}+\frac{n'(L'-r)^2}{L'^3}\right].\]

化为 Welford 形式

边缘光线 \(u=Y/L\)（\(=-Y/l\)），\(u'=-Y/L'\)，折射不变量 \(A=n(u+Yc)=nY(L+r)/(Lr)\)，折射前后相等，即 \(n(L+r)/L=n'(L'-r)/L'\equiv\hat A\)。于是方括号 \(=\hat A^2\big[1/(nL)+1/(n'L')\big]\)，而 \(\Delta(u/n)=u'/n'-u/n=-Y\big[1/(n'L')+1/(nL)\big]\)，\(A=Y\hat A/r\)。所以 \[W(Y)=-\frac18A^2Y\Delta\!\left(\frac un\right),\] 在光瞳边缘 \(Y=y\) 处即 \(W_{040}=S_{\rm I}/8\)，\(S_{\rm I}=-A^2y\Delta(u/n)\)，这就是式 (5.8)。（虚物、虚像、凹面等情形由解析延拓给出同一公式；verify_sympy.py 对一般 \(n,n',L,L'\) 直接展开核对。）

附录 B 薄透镜赛德尔和的推导

空气中薄透镜，两面曲率 \(c_1\)、\(c_2\)，玻璃折射率 \(n\)，两面上边缘光线高度都是 \(y\)，光阑在透镜处（\(\bar y=0\)）。用 \(\varphi\)、\(q\)、\(p\) 表示： \begin{gather*} c_1=\frac{(q+1)\varphi}{2(n-1)},\quad c_2=\frac{(q-1)\varphi}{2(n-1)},\\ u=\frac{(p+1)y\varphi}{2},\quad u'=\frac{(p-1)y\varphi}{2}. \end{gather*} （后两式由 \(p=(u+u')/(u-u')\) 与 \(u-u'=y\varphi\) 解出。）透镜内部的斜率由第一面的折射公式 \(nu_1'=u-yc_1(n-1)\) 得 \(u_1'=y\varphi(p-q)/(2n)\)。各面所需的量： \begin{align*} &\text{第一面：}A_1=u+yc_1,\\ &\qquad \Delta_1\equiv\Delta(u/n)_1=\frac{u_1'}{n}-u,\\ &\text{第二面：}A_2=n(u_1'+yc_2),\\ &\qquad \Delta_2\equiv\Delta(u/n)_2=u'-\frac{u_1'}{n}. \end{align*}

球差

\(S_{\rm I}=-y(A_1^2\Delta_1+A_2^2\Delta_2)\)。把上面各式代入后，这是 \(q\)、\(p\) 的二次多项式乘 \(y^4\varphi^3\)，按 \(q^2\)、\(qp\)、\(p^2\) 与常数项整理即得式 (5.14) 第一行（verify_sympy.py 逐项核对）。

彗差

主光线过透镜中心，\(\bar y=0\)，所以 \(\bar A_1=\bar u\)，透镜内 \(\bar u_1'=\bar u/n\)，\(\bar A_2=n\bar u_1'=\bar u\)。于是 \(S_{\rm II}=-\bar uy(A_1\Delta_1+A_2\Delta_2)\)，\(H=\bar uy\)，整理得式 (5.14) 第二行。

像散

\(S_{\rm III}=-\bar u^2y(\Delta_1+\Delta_2)=-\bar u^2y(u'-u)=\bar u^2y^2\varphi=H^2\varphi\)：与 \(q\)、\(p\) 无关是因为 \(\bar A_1=\bar A_2\)，两面的贡献只通过 \(\Delta_1+\Delta_2=u'-u\) 出现。

Petzval 与畸变

\(S_{\rm IV}=-H^2[c_1(1/n-1)+c_2(1-1/n)]=H^2\varphi/n\)。\(S_{\rm V}=\sum_j(\bar A_j/A_j)(S_{{\rm III},j}+S_{{\rm IV},j})\)，代入后两面贡献相消，\(S_{\rm V}=0\)（sympy 核对）；物理原因是主光线过薄透镜中心不偏折，与平的物面、像面相交，像高严格正比于物高。

附录 C RMS 波像差与最佳焦面的积分

光瞳平均

对圆形光瞳上均匀照明，按面积平均：\(\avg{f}=\frac1\pi\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1f\,\rho\,\dd\rho\,\dd\theta\)。对只依赖 \(\rho\) 的函数，\(\avg{f}=\int_0^1f\cdot2\rho\,\dd\rho\)，于是 \(\avg{\rho^{2m}}=1/(m+1)\)。环形光瞳 \(\epsilon\le\rho\le1\)：权重 \(2\rho/(1-\epsilon^2)\)，\(\avg{\rho^{2m}}=(1-\epsilon^{2m+2})/[(m+1)(1-\epsilon^2)]\)。

方差

波前的方均根起伏定义为 \(\sigma_W^2=\avg{W^2}-\avg W^2\)（扣除平均值，即活塞项不影响像质）。对 \(W=W_{040}(\rho^4-\beta\rho^2)\)： \begin{align*} \frac{\sigma_W^2}{W_{040}^2}&=\avg{\rho^8}-2\beta\avg{\rho^6}+\beta^2\avg{\rho^4} \\ &\quad-\big(\avg{\rho^4}-\beta\avg{\rho^2}\big)^2 \\ &=\frac15-\frac\beta2+\frac{\beta^2}{3}-\Big(\frac13-\frac\beta2\Big)^2 \\ &=\frac{4}{45}-\frac{\beta}{6}+\frac{\beta^2}{12}. \end{align*} 对 \(\beta\) 求导为零得 \(\beta=1\)，\(\sigma_W^2=W_{040}^2/180\)，\(\sigma_W=W_{040}/(6\sqrt5)\)。一般地，最佳离焦与活塞项就是用 \(\{1,\rho^2\}\) 对 \(\rho^4\) 作（以光瞳面积为权重的）最小二乘，剩余方差为 \(\mathrm{Var}(\rho^4)-\mathrm{Cov}(\rho^4,\rho^2)^2/\mathrm{Var}(\rho^2)\)，这就是例题 1 第 (5) 问所用的公式。

RMS 光斑

光线的径向横向像差 \(\varepsilon_r=-kW_{040}(4\rho^3-2\beta\rho)\)，与 \(\theta\) 无关，光斑质心在原点。 \begin{align*} \frac{\avg{\varepsilon_r^2}}{(kW_{040})^2}&=\avg{16\rho^6-16\beta\rho^4+4\beta^2\rho^2}\\ &=4-\frac{16}{3}\beta+2\beta^2, \end{align*} 极小在 \(\beta=4/3\)。

附录 D RC 圆锥常数的推导

本附录用第 5.3 节的逐面公式 (5.11)、(5.12) 推出式 (7.5)。每一步都已用 sympy 符号核对（脚本见 VERIFY.md）。

几何

主镜焦距 \(f_1\)（凹面，\(c_1=-1/(2f_1)\)），光阑在主镜上，边缘光线高度 \(y_1=a\)。副镜放在离主镜 \(D\) 处，最终焦点在主镜顶点后 \(\beta f_1\) 处。副镜把会聚向主镜焦点 \(F_1\) 的光束（虚物在副镜后 \(f_1-D\) 处）成像到离副镜 \(D+\beta f_1\) 的焦点，横向放大率 \begin{gather*} m=\frac{D+\beta f_1}{f_1-D}\quad\Rightarrow\\ D=f_1\,\frac{m-\beta}{m+1},\qquad f_1-D=f_1\,\frac{1+\beta}{m+1}. \end{gather*}

近轴光线数据

按本讲约定，反射后 \(n'=-n\)。

• 主镜：入射 \(u=0\)，\(n=1\to n'=-1\)。由式 (3.4)，\(u_1'=a/f_1\)。转移距离为 \(-D\)，得副镜处高度 \[y_2=a\Big(1-\frac{D}{f_1}\Big)=ka,\qquad k\equiv\frac{1+\beta}{m+1}.\]

• 副镜：\(n=-1\to n'=1\)，出射光会聚到 \(D+\beta f_1\) 处，\(u_2'=-y_2/(D+\beta f_1)\)。由式 (3.4) 解出副镜曲率 \[c_2=\frac{1-m^2}{2f_1m(1+\beta)}\qquad(\text{凸面}).\]

• 主光线（视场角 \(\theta\)）：过主镜中心，\(\bar y_1=0\)，反射后斜率 \(-\theta\)，到副镜处高度 \(\bar y_2=D\theta\)。拉格朗日不变量 \(H=a\theta\)。

四个赛德尔和

把上面的数据代入式 (5.11)，再加上式 (5.12) 的圆锥项（\(\Delta n=\mp2\)）。逐项整理得 \begin{align*} S_{\rm I}^{(1)}&=\frac{a^4}{4f_1^3}\,(\kappa_1+1),\\ S_{\rm I}^{(2)}&=-\frac{a^4}{4f_1^3}\cdot\frac{(1+\beta)(m-1)^3}{m^3(m+1)}\\ &\qquad\times\Big[\kappa_2+\Big(\frac{m+1}{m-1}\Big)^2\Big],\\ S_{\rm II}^{(1)}&=-\frac{a^3\theta}{2f_1^2},\\ S_{\rm II}^{(2)}&=-\frac{a^3\theta}{4f_1^2}\cdot\frac{m-1}{m^3(m+1)}\\ &\qquad\times\Big[\kappa_2(m-1)^2(m-\beta)-(m+1)^2(m+\beta)\Big]. \end{align*} 几个检查：

• 主镜的 \(S_{\rm I}^{(1)}\) 在 \(\kappa_1=-1\)（抛物面）时为零，与第 5.1 节一致；\(\kappa_1=0\) 时为 \(a^4/(4f_1^3)\cdot1=8\times a^4/(32f_1^3)\)，即 \(W_{040}=a^4/(32f_1^3)\)，与式 (5.4) 一致。

• 主镜的彗差 \(S_{\rm II}^{(1)}\) 与 \(\kappa_1\) 无关（主镜在光阑上），对应 \(W_{131}=-a^3\theta/(4f_1^2)\)，就是第 5.2 节求得的抛物面镜彗差。

• 副镜的方括号说明：\(\kappa_2=-[(m+1)/(m-1)]^2\) 时副镜自身无球差，这就是经典卡塞格林的副镜。

解方程

先由 \(S_{\rm II}^{(1)}+S_{\rm II}^{(2)}=0\)： \begin{gather*} (m-1)\Big[\kappa_2(m-1)^2(m-\beta)-(m+1)^2(m+\beta)\Big]\\ =-2m^3(m+1). \end{gather*} 解出 \(\kappa_2(m-1)^3(m-\beta)=(m+1)^2(m+\beta)(m-1)-2m^3(m+1)\)。右边等于 \(-(m+1)^2(m-1)(m-\beta)-2m(m+1)\)：两者之差为 \((m+1)^2(m-1)\cdot2m-2m^3(m+1)+2m(m+1)=2m(m+1)\big[(m+1)(m-1)-m^2+1\big]=0\)。于是 \[\kappa_2=-\Big(\frac{m+1}{m-1}\Big)^2-\frac{2m(m+1)}{(m-\beta)(m-1)^3}.\] 再由 \(S_{\rm I}^{(1)}+S_{\rm I}^{(2)}=0\)，并利用上式 \(\kappa_2+[(m+1)/(m-1)]^2=-2m(m+1)/[(m-\beta)(m-1)^3]\)： \begin{align*} \kappa_1+1&=\frac{(1+\beta)(m-1)^3}{m^3(m+1)}\cdot\Big[-\frac{2m(m+1)}{(m-\beta)(m-1)^3}\Big]\\ &=-\frac{2(1+\beta)}{m^2(m-\beta)} . \end{align*} 这就是式 (7.5)。RC 的主镜比抛物面略“更双曲”（\(\kappa_1<-1\)）：主镜带一点过校正的球差，由副镜相应地少校正一点来补偿。两者的球差在轴上抵消，而副镜（不在光阑上）的球差经光阑移动生出的彗差，恰好抵消主镜的彗差。

附录 E 加权最小二乘

数据 \((x_i,y_i)\)，\(y_i\) 的标准不确定度 \(\sigma_i\)，模型 \(y=a+bx\)。使 \begin{gather*} \chi^2(a,b)=\sum_i w_i\,(y_i-a-bx_i)^2, \\ w_i=1/\sigma_i^2 \end{gather*} 最小。令 \(\partial\chi^2/\partial a=\partial\chi^2/\partial b=0\)，记 \(S=\sum w_i\)，\(S_x=\sum w_ix_i\)，\(S_y=\sum w_iy_i\)，\(S_{xx}=\sum w_ix_i^2\)，\(S_{xy}=\sum w_ix_iy_i\)，\(\Delta=SS_{xx}-S_x^2\)，得 \begin{gather*} a=\frac{S_{xx}S_y-S_xS_{xy}}{\Delta}, \\ b=\frac{SS_{xy}-S_xS_y}{\Delta}. \end{gather*} \(a\)、\(b\) 是 \(y_i\) 的线性组合，按误差传递， \begin{gather*} \sigma_a^2=\frac{S_{xx}}{\Delta}, \\ \sigma_b^2=\frac{S}{\Delta}, \\ \mathrm{cov}(a,b)=-\frac{S_x}{\Delta}. \end{gather*} 若 \(\sigma_i\) 估计正确，\(\chi^2\) 的期望值为自由度 \(N_{\rm f}=N-2\)；\(\chi^2/N_{\rm f}\) 明显大于 1 说明模型不全或误差低估。多参数模型 \(y=\sum_jc_jf_j(x)\) 的写法相同：设计矩阵 \(X_{ij}=f_j(x_i)\)，权矩阵 \(\mathsf W=\mathrm{diag}(w_i)\)，\(\vect c=(X^{\mathsf T}\mathsf WX)^{-1}X^{\mathsf T}\mathsf W\vect y\)，协方差矩阵 \((X^{\mathsf T}\mathsf WX)^{-1}\)。实验题中 \(x=r^2\)。